2026年大學(xué)必修課概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試題及答案(含解析)一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，則λ的值為A.2??B.3??C.4??D.5答案：B解析：泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。由題意e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!，化簡得λ/2=λ^{2}/6，解得λ=3。2.設(shè)X~N(0,1)，Y=X^{2}，則Y的密度函數(shù)在y>0處的表達(dá)式為A.1/√(2πy)e^{-y/2}??B.1/√(2π)e^{-y/2}??C.1/√(2πy)??D.1/√(2π)ye^{-y/2}答案：A解析：Y為χ^{2}(1)分布，其密度f_{Y}(y)=1/√(2πy)e^{-y/2}，y>0。3.設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于U(0,1)，則Z=X+Y的密度函數(shù)在區(qū)間(0,2)上的表達(dá)式為A.z??B.1-|z-1|??C.1-z??D.z(2-z)答案：B解析：卷積積分分段計(jì)算，當(dāng)0<z<1時(shí)f_{Z}(z)=z；當(dāng)1<z<2時(shí)f_{Z}(z)=2-z，合并即1-|z-1|。4.設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自N(μ,σ^{2})的樣本，若σ^{2}已知，則μ的1-α置信區(qū)間長度為A.2σz_{α/2}/√n??B.σz_{α/2}/√n??C.2σt_{α/2}(n-1)/√n??D.σt_{α/2}(n-1)/√n答案：A解析：σ已知時(shí)用z分布，區(qū)間長度=2×臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤=2σz_{α/2}/√n。5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α減小，則A.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率增大B.第一類錯(cuò)誤概率增大，第二類錯(cuò)誤概率減小C.兩類錯(cuò)誤概率均減小D.兩類錯(cuò)誤概率均增大答案：A解析：α↓→P(拒絕H_{0}|H_{0}真)↓，但β=P(接受H_{0}|H_{0}假)↑。6.設(shè)X,Y的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0<y<x<1，則E(Y|X=0.5)為A.0.25??B.0.5??C.0.75??D.1答案：A解析：條件密度f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。故E(Y|X=0.5)=∫_{0}^{0.5}y·(1/0.5)dy=0.25。7.設(shè)X~Bin(n,p)，若np→λ>0，n→∞，則對任意固定k，P{X=k}的極限為A.e^{-λ}λ^{k}/k!??B.e^{-λ}λ^{k}/k??C.e^{-λ}λ^{k-1}/(k-1)!??D.e^{-λ}λ^{k+1}/(k+1)!答案：A解析：二項(xiàng)分布的泊松極限定理直接結(jié)論。8.設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自Exp(λ)的樣本，則λ的極大似然估計(jì)為A.1/\overline{X}??B.\overline{X}??C.n/\sumX_{i}??D.\sumX_{i}/n答案：A解析：似然函數(shù)L=λ^{n}e^{-λ∑X_{i}}，對λ求導(dǎo)得\hat{λ}=n/∑X_{i}=1/\overline{X}。9.設(shè)X,Y的相關(guān)系數(shù)為ρ，若U=aX+b,V=cY+d，其中ac≠0，則U,V的相關(guān)系數(shù)為A.ρ??B.|ρ|??C.ρ·sgn(ac)??D.ρ·ac答案：C解析：線性變換不改變相關(guān)性強(qiáng)弱，僅可能改變符號，故為ρ·sgn(ac)。10.設(shè)X~N(μ,1)，檢驗(yàn)H_{0}:μ=0vsH_{1}:μ=1，取拒絕域\overline{X}>c。若要求α=0.05且功效=0.90，則樣本量n約為A.9??B.16??C.25??D.36答案：C解析：α=0.05?c=1.645/√n；功效0.90?P(\overline{X}>c|μ=1)=0.90，即1-Φ(√n(c-1))=0.90，解得√n(1.645/√n-1)=-1.28，得n≈25。二、填空題（每題5分，共30分）11.設(shè)X~Geo(p)，則P{X≥k}=________。答案：(1-p)^{k-1}解析：幾何分布無記憶性，P{X≥k}=P{前k-1次失敗}=(1-p)^{k-1}。12.設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自Poisson(λ)的樣本，則λ的矩估計(jì)為________。答案：\overline{X}解析：一階矩E[X]=λ，樣本矩等于總體矩?\hat{λ}=\overline{X}。13.設(shè)X,Y獨(dú)立，Var(X)=3,Var(Y)=4，則Var(2X-3Y+1)=________。答案：48解析：Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=12+36=48，常數(shù)平移不改變方差。14.設(shè)T~t(n)，則E(T^{2})=________。答案：n/(n-2),n>2解析：t分布方差為n/(n-2)，而E[T]=0，故E[T^{2}]=Var(T)=n/(n-2)。15.設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自Uniform(0,θ)的樣本，則θ的極大似然估計(jì)為________。答案：X_{(n)}解析：似然函數(shù)L=θ^{-n}I_{X_{(n)}≤θ}，在θ≥X_{(n)}時(shí)取最大，故\hat{θ}=X_{(n)}。16.設(shè)X~N(0,1)，則E(|X|)=________。答案：√(2/π)解析：E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|φ(x)dx=2∫_{0}^{∞}xφ(x)dx=√(2/π)。三、解答題（共80分）17.（15分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估計(jì)\hat{θ}_{M}；（2）求θ的極大似然估計(jì)\hat{θ}_{L}；（3）比較\hat{θ}_{M}與\hat{θ}_{L}的均方誤差MSE(θ)。解：（1）E[X]=∫_{0}^{1}x·θx^{θ-1}dx=θ/(θ+1)。令樣本矩等于總體矩：\overline{X}=θ/(θ+1)?\hat{θ}_{M}=\overline{X}/(1-\overline{X})。（2）似然函數(shù)L(θ)=θ^{n}∏X_{i}^{θ-1}，對數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ-1)∑lnX_{i}。令導(dǎo)數(shù)為0：n/θ+∑lnX_{i}=0?\hat{θ}_{L}=-n/∑lnX_{i}。（3）MSE分解為方差加偏差平方。對\hat{θ}_{L}，已知其為無偏估計(jì)的漸近有效估計(jì)，故MSE≈Var(\hat{θ}_{L})=θ^{2}/n。對\hat{θ}_{M}，利用Delta方法：令g(x)=x/(1-x)，g'(x)=1/(1-x)^{2}，則Var(\hat{θ}_{M})≈[g'(θ/(θ+1))]^{2}·Var(\overline{X})=[(θ+1)^{2}]^{2}·θ(θ+2)/[n(θ+1)^{4}]=θ(θ+2)/n。偏差：E[\hat{θ}_{M}]-θ≈θ(θ+2)/[n(θ+1)]，故偏差平方≈θ^{2}(θ+2)^{2}/[n^{2}(θ+1)^{2}]。當(dāng)n大時(shí)，\hat{θ}_{L}的MSE更小。18.（15分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=e^{-y},0<x<y<∞。（1）求邊緣密度f_{X}(x)；（2）求條件密度f_{Y|X}(y|x)；（3）求E(Y|X=x)與Var(Y|X=x)。解：（1）f_{X}(x)=∫_{x}^{∞}e^{-y}dy=e^{-x},x>0，即X~Exp(1)。（2）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{-(y-x)},y>x，即Y|X=x~Exp(1)右移x。（3）E(Y|X=x)=∫_{x}^{∞}y·e^{-(y-x)}dy=x+1；Var(Y|X=x)=∫_{x}^{∞}(y-x-1)^{2}e^{-(y-x)}dy=1。19.（15分）某生產(chǎn)線包裝量X~N(μ,σ^{2})。隨機(jī)抽取n=16袋，測得\overline{x}=502g，s=8g。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)H_{0}:μ=500vsH_{1}:μ≠500，給出p值并下結(jié)論（α=0.05）；（3）若要求估計(jì)誤差不超過1g，置信水平95%，求所需最小樣本量。解：（1）σ未知，用t分布：502±t_{0.025}(15)·8/4=502±2.131·2=502±4.262，即(497.74,506.26)。（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(502-500)/(8/4)=1，雙尾p=2P{t(15)≥1}=2×0.166=0.332>0.05，不拒絕H_{0}。（3）誤差Δ=z_{0.025}σ/√n≤1?n≥(1.96×8)^{2}=245.86，取n=246。20.（15分）設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自密度f(x)=λe^{-λx},x>0的樣本。（1）求λ的Fisher信息量I(λ)；（2）證明\hat{λ}=1/\overline{X}為有效估計(jì)；（3）給出λ的近似95%置信區(qū)間。解：（1）對數(shù)密度lnf=-λx+lnλ，得分函數(shù)?lnf/?λ=-x+1/λ，二階導(dǎo)數(shù)-1/λ^{2}，故I(λ)=-E[?^{2}lnf/?λ^{2}]=1/λ^{2}。（2）Var(\hat{λ})=Var(1/\overline{X})≈1/[nλ^{2}]，Cramér-Rao下界為1/[nI(λ)]=λ^{2}/n，二者相等，故有效。（3）由漸近正態(tài)性，\hat{λ}≈N(λ,λ^{2}/n)，故λ的區(qū)間：\hat{λ}±1.96\hat{λ}/√n。21.（20分）某校欲評估在線學(xué)習(xí)效果，隨機(jī)抽取兩組學(xué)生，每組30人。甲組采用傳統(tǒng)教學(xué)，乙組采用在線教學(xué)。期末成績?nèi)缦拢杭捉M：\overline{x}_{1}=72.4,s_{1}^{2}=64；乙組：\overline{x}_{2}=76.8,s_{2}^{2}=81。假設(shè)成績服從正態(tài)分布且方差齊性。（1）檢驗(yàn)兩組平均成績是否有顯著差異（α=0.05）；（2）若方差不齊，重新檢驗(yàn)并給出修正自由度；（3）計(jì)算兩組均值差的95%置信區(qū)間；（4）解釋（1）與（2）結(jié)果差異的原因。解：（1）合并方差s_{p}^{2}=(29×64+29×81)/58=72.5，t=(72.4-76.8)/√[72.5(1/30+1/30)]=-4.4/√4.833=-2.00，|t|=2.00<t_{0.025}(58)=2.001，邊緣不顯著，但p≈0.0503，嚴(yán)格意義下不拒絕。（2）Welch檢驗(yàn)：t=-4.4/√(64/30+81/30)=-4.4/√4.833=-2.00，自由