第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明；3.通過同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用使學(xué)生養(yǎng)成探究、分析的習(xí)慣，提高三角恒等變形的能力，樹立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．難點(diǎn)：同角三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn)：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯的一場(chǎng)龍卷風(fēng).這就是理論界聞名的“蝴蝶效應(yīng)”，從中我們可以看出，南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不相干的兩種事物，卻會(huì)有這樣的聯(lián)系，這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn).思考：既然感覺毫不相干的事物之間都是相互聯(lián)系的，那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)之間有沒有關(guān)系呢？師生活動(dòng)：教師展示“蝴蝶效應(yīng)”小知識(shí)，讓學(xué)生知道事物是普遍聯(lián)系的，同時(shí)提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考同一個(gè)角的三角函數(shù)有沒有關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：通過直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到親切、生動(dòng)、真實(shí)、易于接受.同時(shí)，能使他們體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中.能促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周圍的事物，有效的促進(jìn)知識(shí)的遷移.回顧：請(qǐng)根據(jù)三角函數(shù)的定義完成下列內(nèi)容.1.角α是單位圓內(nèi)的一個(gè)任意角，則：sinα=；cosα=；tanα=2.誘導(dǎo)公式一：sinαcosα+2kπ=；tanα+23.三種三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)答：1.角α是單位圓內(nèi)的一個(gè)任意角，則：sinα=y；cosα=x；tanα=2.誘導(dǎo)公式一：sinα+2kπ=sinα；cosα+23.三種三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)之前知識(shí)的梳理，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容.（二）探究新知任務(wù)1：探究同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系探究：公式一表明終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢?思考：如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P，你能否用含α的三角函數(shù)值表示點(diǎn)P的坐標(biāo)？答：P(cosα，sinα)思考：無論α取何值，即無論點(diǎn)P在單位圓上處于何位置，OP長(zhǎng)度恒為1，你能否用含α的代數(shù)式表示這一關(guān)系？答：x2+y2這就是說，同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.思考：基于你得出的結(jié)論，可以推出哪些常見的變形？答：sin2α=1?sinα+cosα思考：任意角α的sinα、cosα、tanα這三者有什么關(guān)系？答：sinα=y；cosα=x；tanα=yx，思考：這個(gè)商的關(guān)系對(duì)任意角都成立嗎？答:當(dāng)α≠kπ+π2k∈Z思考：sinα答：sinα=tanα·cosα，思考：怎樣理解“同角”？答：角是相同的，與角的表達(dá)形式無關(guān).如sin25α+cos提示：1.sin2α是sinα22.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是針對(duì)三角函數(shù)有意義的角而言的，sin2α+cos2α=1總結(jié)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形設(shè)計(jì)意圖：以單位圓為例，推導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)一步探究同角三角函數(shù)公式的變形使用，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（三）應(yīng)用舉例例1已知cosα=?513，α是第三象限的角，求sinα、解：由cosα=?513，得：sinα=?tanα=總結(jié)：①根據(jù)三角函數(shù)值在各象限中的符號(hào)判斷正負(fù)②代入平方關(guān)系式的變形公式進(jìn)行計(jì)算③代入商數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算例2已知sinα=?35，求cosα、解：∵sinα<0，sinα≠?1，由sin2cos2如果α是第三象限的角，那么cosα＜0.于是cosα=?從而tan如果如果α是第四象限的角，那么cosα=45總結(jié)：由某角的一個(gè)三角函數(shù)值求其它其余各三角函數(shù)值要注意：用sinα=±1?cos2例3求證cosx證法1：由cosx≠0，知sinx≠?1，所以1+sinx≠0，于是

左邊=cos?x(1+sin證法2：因?yàn)?1?sinx)(1+sinx)=1?sin2x=cos2總結(jié)：證明簡(jiǎn)單的三角恒等式的常用策略：1.從一邊開始，證明它等于另一邊；2.證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子；3.逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡(jiǎn).例4：已知tanα=3，求解：因?yàn)閠anαsin2總結(jié)：齊次式求值問題：1.減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，如涉及sinα、cosα的齊次分式問題，常采用分子分母同時(shí)除以cosnαn∈2.在求形如asin2α+bcos2設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)用.（四）課堂練習(xí)1.已知角α是第四象限角，cos?α=1213A.513 B.?513 C.5解：由α為第四象限角，cos?α=1213，

得sinα=?2.設(shè)角α的終邊過點(diǎn)P1,?3，則2sinA.6 B.?3 C.3 D.?6解：角α的終邊過點(diǎn)P(1,?3)，所以tanα=?31=?3，則3.若tanα=3，且α為第三象限角，則cos?α?sinA.?1+32 B.3?1解：因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，且tanα=3，所以sinαcosα=3，

又sin2α+cos2α=14.已知tan?x=2(1)求cosx+(2)求23sin解：(1)cosx+sinxcosx?sinx23sin2x+14cos2x=23sin2x+14cos2xsin2x+cos解：(1)∵sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)①，則sinθ>0，

①式兩邊平方可得1+2sinθcosθ=125，

∴sinθcosθ=?1225②，

由①②求得sinθ=45，cosθ=?36.證明三角恒等式