試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湛江市2026年普通高考測試（一）數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點關(guān)于實軸對稱，，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)為單位向量，且，則（

）A．1 B． C． D．24．若是函數(shù)的兩個相鄰的零點，則（

）A．3 B．4 C．5 D．65．某次展覽會有4個核心主題，已知每個主題下有2個案例，現(xiàn)需從8個案例中隨機抽取4個案例進行重點演示，則抽出的4個案例中，恰好包含某一個主題下的2個案例，而另外2個案例來自兩個不同主題的抽取方案的種數(shù)為（

）A．120 B．96 C．48 D．246．在數(shù)列中，，令，則數(shù)列的前15項的和為（

）A．2 B．3 C． D．47．如圖，正方體的棱長為4，其中，點F為的中點，則點C到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．已知不等式（，且）對任意正實數(shù)x恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．一組互不相等的數(shù)據(jù)從小到大排列為，去掉后，則下列選項正確的有（

）A．極差變大 B．平均數(shù)變大 C．中位數(shù)變小 D．分位數(shù)變大10．已知為的導(dǎo)函數(shù)，兩個函數(shù)的定義域均為，為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則下列選項一定正確的有（

）A． B． C． D．11．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，兩條漸近線互相垂直，點P是雙曲線C右支上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的離心率為B．存在點P，使得為等腰直角三角形C．當時，直線與雙曲線C一定有兩個交點D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則．13．已知直線和直線，則拋物線上一動點P到直線的距離之和的最小值為．14．某智力問答游戲的規(guī)則如下：游戲共有兩類問題（每類問題的數(shù)量無限多，且不重復(fù)）．參加游戲的選手解答任意一道問題正確，則游戲結(jié)束；若解答錯誤，則按以下規(guī)則抽取一道問題進行解答：若解答的是A類問題，則抽取一道B類問題進行解答，若解答的是B類問題，則等可能地抽取一道A類或B類問題進行解答．如此循環(huán)，直到解答正確為止．已知甲解答兩類問題的正確率分別是，且解答每道問題是相互獨立的．若甲最先解答一道A類問題，則他通過解答B(yǎng)類問題結(jié)束游戲的概率是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，是的中點，．(1)當時，求的值；(2)求的面積S．16．某農(nóng)作物的種植過程分為育苗與移栽兩個環(huán)節(jié)．在育苗環(huán)節(jié)，每粒種子的成活率為p．在育苗成功的條件下，對幼苗進行移栽，每株幼苗移栽的成活率為q．若該農(nóng)作物育苗成功且移栽成活則認為種植成功．每粒種子種植是否成功互不影響．(1)若一粒種子種植成功的概率為，在育苗成功的條件下，移栽失敗的概率為，現(xiàn)播撒300粒種子，設(shè)育苗成功的種子數(shù)量為，求；(2)播撒6粒種子，設(shè)種植成功的數(shù)量為X，求的概率P，并求P的最大值．17．如圖，在四棱錐中，平面，且．過點A作平面與棱交于點，其中，且點G為的中點．

(1)證明：平面；(2)求的值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的左、右頂點分別為，其離心率為，且上的點到其中一個焦點的距離的最小值為，過點的直線交橢圓于兩點，直線分別交直線于點．(1)求橢圓的方程；(2)證明：三點共線；(3)試問以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．19．已知，設(shè)與的圖象位于第一象限的交點為．(1)求的最大值；(2)證明：；(3)證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性求解得出，然后根據(jù)并集的運算求解即可得出答案.【詳解】解可得，所以，所以.故選：D．2．B【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的特征可得，由復(fù)數(shù)的除法運算可求得結(jié)果.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)的點關(guān)于實軸對稱，；.故選：B.3．B【分析】根據(jù)向量模的關(guān)系得，再計算即可.【詳解】因為為單位向量，所以，因為，平方得，即，所以，即.故選：B．4．A【分析】由兩個相鄰零點得，由求得.【詳解】由題意得，故，因為，所以，故選：A．5．C【分析】由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】先取出同一主題的兩個案例有種取法，再從剩下的主題中取出2個主題，有種方法，最后再從這2個主題分別包含的2個案例中各取一個案例有種，由分步計數(shù)原理，可得取法種數(shù)為.故選：C．6．B【分析】根據(jù)遞推公式判斷是等差數(shù)列，進而求出，將裂項，相消求和.【詳解】因為，所以，即，故為首項是，公差為的等差數(shù)列，所以，．，所以數(shù)列的前項的和，故，故選：B．7．C【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，從而利用點到平面的距離公式進行求解.【詳解】以點D為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．可得，,設(shè)平面的一個法向量為，則，令得，故，其中，點C到平面的距離.故選：C．8．D【分析】變形得到．考慮時，不滿足要求，所以，不等式等價于，設(shè)函數(shù)，直線，直線l經(jīng)過點，可得，，求出答案.【詳解】原不等式等價于．若，則曲線必然有一部分位于直線的上方，與原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令進行排除）．所以上述不等式等價于，設(shè)函數(shù)，直線．經(jīng)過分析可知，單調(diào)遞增且上凸，直線l經(jīng)過點，要想恒成立，需滿足在函數(shù)上方或在上且與相切于此點，可得，由此即可得，顯然等號成立時，在上，即直線l與相切于點，又的斜率為，，故，解得，此時，所以的最大值為.故選：D．9．BD【分析】分別計算去掉前后的數(shù)據(jù)的極差，平均數(shù)，中位數(shù)及分位數(shù)并比較可得.【詳解】由題意，去掉后，極差為，極差變小，故A錯誤；平均數(shù)，所以平均數(shù)變大，故B正確；原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為，且，故中位數(shù)變大，故C錯誤；原數(shù)據(jù)的分位數(shù)：，取第5個數(shù)，新數(shù)據(jù)的分位數(shù)：，取第4、5個數(shù)的平均，因為，所以，故分位數(shù)變大，故D正確.和新數(shù)據(jù)故選：BD．10．AC【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及賦值法，對選項進行分析判斷．【詳解】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，令，則，解得，是偶函數(shù)，，選項A正確；，且，，故的周期，，但的值不確定，故選項B不一定正確；是偶函數(shù)，，，即，為奇函數(shù)，故，故選項C正確；令，則，，為奇函數(shù)，滿足題設(shè)條件；，，故D不一定正確；故選：AC．11．ACD【分析】利用雙曲線的定義和性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出的關(guān)系，進而利用雙曲線離心率公式、等腰直角三角形的性質(zhì)、判別式等逐一分析判斷選項．【詳解】漸近線互相垂直，，解得，即，兩條直線的斜率分別為1和，雙曲線C的離心率為，選項A正確；點P是雙曲線C右支上任意一點，，若為等腰直角三角形，假設(shè)直角頂點為，則，與矛盾；直角頂點為，故且有，，，解得，故或，，，，無法構(gòu)成等腰直角三角形，故B錯誤；聯(lián)立直線與雙曲線，整理得，當時，，，直線與雙曲線有2個交點，故C正確；根據(jù)雙曲線的定義可知，，的最小值為，，的最大值為，故D正確．故選：ACD．12．##【分析】根據(jù)正切函數(shù)計算求解即可.【詳解】因為正切函數(shù)的最小正周期是，所以，解得，所以．故答案為：13．【分析】作出圖象，過點作直線的垂線，垂足為，過點作直線的垂線，垂足為，點作直線的垂線，垂足為，由拋物線定義可知，數(shù)形結(jié)合得點P到直線的距離之和為，當且僅當三點共線時等號成立，計算即可求解.【詳解】拋物線，即，焦點坐標，準線方程，設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，由拋物線的定義可知點到直線的距離等于點到焦點的距離，過點作直線的垂線，垂足為，過點作直線的垂線，垂足為，則，過點作直線的垂線，垂足為，故點到直線的距離之和為，當且僅當三點共線時等號成立，即點到直線的距離之和的最小值為焦點到直線的距離，即.故答案為：.14．【分析】先根據(jù)題意列出關(guān)于和表達式，再解方程即可.【詳解】設(shè)表示先解答A類最終通過解答B(yǎng)類問題結(jié)束游戲的概率，設(shè)表示先解答B(yǎng)類最終通過解答B(yǎng)類問題結(jié)束游戲的概率，通過題意可得，，計算可得，則可得甲先通過解答A類問題再通過解答B(yǎng)類問題結(jié)束游戲的概率為．故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則，進而在中結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)正弦定理求解即可；（2）設(shè)，在和中利用余弦定理得，進而得，再根據(jù)即可得答案．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，則，因為，所以，在中，由余弦定理得，即，故，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．所以.（2）解：如圖，設(shè)，在和中，由余弦定理得，即，，得，所以，所以所以．

16．(1)(2)概率，最大值【分析】(1)育苗成功的種子數(shù)量為服從二項分布，按照二項分布性質(zhì)即可得；(2)為了保證，則6粒種子中育苗成功的數(shù)量需大于或等于5．接著計算其概率，令，設(shè)函數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性即可得.【詳解】（1）記育苗成功為事件A，移栽成活為事件B．由題意得，因為，所以．設(shè)播撒300粒種子時育苗成功的種子數(shù)量為，根據(jù)題意可得，由此可得．（2）解法一：一粒種子種植成功概率為，“”表示事件“恰好有5粒種子種植成功”，所以．令，設(shè)函數(shù)，．當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，綜上，的概率，其最大值．解法二：為了保證，則6粒種子中育苗成功的數(shù)量需大于或等于5．設(shè)育苗成功的數(shù)量等于5為事件C，育苗成功的數(shù)量等于6為事件D，則可得，則有，從而可得．令，設(shè)函數(shù)，．當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，綜上，的概率，其最大值為．17．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）證明線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，設(shè)的中點為M，證明；（2）證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得；（3）二面角用向量法求解.【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)的中點為M，連接．

在中，點G為中點，M為中點，，且．根據(jù)條件可得，且，且，四邊形為平行四邊形，．又平面平面平面．（2）解：平面，平面，平面平面，．又，，．又，．（3）解：如圖，以點A為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，

可得．設(shè)平面的法向量為，則即令，可得．易得平面的一個法向量為，故平面與平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)證明見解析(3)是，【分析】（1）利用橢圓的基本性質(zhì)：離心率，以及橢圓上點到焦點的最小距離為，聯(lián)立這兩個條件即可解出，從而得到橢圓方程。（2）通過設(shè)過點的直線方程，聯(lián)立橢圓得到韋達定理關(guān)系；再求出直線與的交點的坐標，最后通過證明向量與共線，即可證得共線。（3）先求出的坐標，得到以為直徑的圓的方程；再將韋達定理代入圓的方程，整理后分析方程恒成立的條件，從而確定是否存在定點?！驹斀狻浚?）設(shè)點P是上任意一點，是其左、右焦點，則有．又，即，結(jié)合以上兩式可得，當且僅當三點共線時取等號，點P到其中一個焦點的距離的最小值為，故．又，解得，故，∴橢圓的方程為．（2）依題意可設(shè)直線的方程為，代入的方程消去x得存在兩個不相等的實數(shù)根．設(shè)，則故直線的方程為，令，可得．又，．，故三點共線．（3）是．由（2）易得，直線的方程為，令可得．設(shè)為以為直徑的圓上一點，則有，即，由對稱性可知，若存在定點，則定點必須在x軸上令，得，，∴以為直徑的圓恒過兩定點．19．(1)1；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）直接用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值可得；（2）先構(gòu)造函數(shù)且，再用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再分別判斷及，其中要通過放縮可得，