遼寧省2025-2026學年高一上學期第二次月考（12月）數學試卷一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則下列條件中使成立的充要條件是（

）A． B． C． D．3．已知函數，，如圖是下列四個函數中某個函數的大致圖象，則該函數是（

）

A． B． C． D．4．定義在上的函數，并且滿足，則下列一定正確的是（

）A．是奇函數 B．是偶函數C．是奇函數 D．是偶函數5．已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．6．若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數，曲線和恰有一個交點，則（

）A．1 B．-1 C． D．08．函數的圖象關于對稱，則的最大值為（

）A．16 B． C． D．36二、多選題9．已知，且，則（

）A．B．C．D．10．已知函數的零點為，函數的零點為，則（

）A． B．C． D．11．已知函數，的定義域均為，且，.若是偶函數，，則（

）A．是奇函數 B．4是的一個周期C． D．三、填空題12．冪函數沒有零點，則函數恒過定點13．已知函數，則不等式的解集為14．已知函數滿足，其中表示中最大的數，表示中最小的數，則四、解答題15．（1）計算：（2）計算：；（3）設正實數滿足，求的值16．已知函數(1)若，求的值域；(2)若，函數的最小值為，求的值．17．某醫(yī)藥公司研發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，由監(jiān)測數據可知，服用后6小時內每毫升血液中含藥量（單位：微克）與時間（單位：小時）之間的關系滿足如圖所示的曲線，當時，曲線是二次函數圖象的一部分，當時，曲線是函數圖象的一部分，根據進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于2微克時，治療有效.

(1)試求服藥后6小時內每毫升血液中含藥量與時間之間的函數關系式；(2)問服藥多久后開始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時？（精確到0.1）（參考數據）18．已知函數的反函數為(1)求的解析式，并判斷單調性（無需證明）；(2)當時使得關于不等式有解，求的取值范圍：(3)若關于的不等式有2個整數解，求的取值范圍．19．已知(1)證明：為定值；(2)函數在上只有一個零點，求的取值范圍；(3)證明：有唯一的正零點，并比較和的大小，說明理由．

1．A由函數定義域求出集合，由函數值域求出集合，由并集的定義求得結果.【詳解】∵，∴，即，∵指數函數，即，∴.故選：A.2．A逐一分析各選項條件和能否互相推出即可求解.【詳解】對于A，因為是上的增函數，所以，故A正確；對于B，不能推出，如，故B錯誤；對于C，不能推出，如，故C錯誤；對于D，不能推出，如，故D錯誤.故選：A.3．D根據函數圖象得到對應的函數的定義域為和當時，，再一一判斷各個選項即可.【詳解】由圖象可得，該圖象對應的函數的定義域為，對于A選項：的定義域為，所以A選項錯誤；對于B選項：的定義域為，所以B選項錯誤；又知當時，，對于C選項，的定義域為，當時，，所以C選項錯誤；對于D選項，的定義域為，當時，，所以D選項符合題意.故選：D.4．B令，根據為偶函數得，進而判斷即可得答案.【詳解】由函數為定義在上的函數，故函數的定義域也是，令，則，即為偶函數，所以也是偶函數，即，所以，即是偶函數，對于函數無法判斷函數的奇偶性.故選：B5．A根據指數函數、對數函數及冪函數的性質判斷即可.【詳解】因為，，，又，因為在上單調遞增，且，所以，即，綜上可得.故選：A6．B根據給定條件，利用對數函數單調性及復合函數單調性，結合真數恒大于0列式求解.【詳解】由，得函數在上單調遞減，而函數在上單調遞減，則函數在上單調遞增，因此，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B7．C將轉化為，構造函數，利用偶函數的對稱性即可確定方程只有一個根時的值.【詳解】由可得，整理得，設，則函數的定義域為，所以，則在上為偶函數，若方程只有一個根，根據偶函數的對稱性可得.故選：C.8．D根據函數的對稱性利用特殊值列方程組求解析式，驗證對稱性即可確定解析式，根據對多項式乘法運算性質，結合二次函數的圖像性質，從而得函數的最大值.【詳解】由函數的圖象關于直線對稱可知，，即，解得：，則，所以對稱性成立，，令，所以，根據二次函數的性質可得，故當，即時函數的最大值為36.故選：D．9．ABD利用不等式性質判斷A；利用基本不等式判斷BCD.【詳解】對于A，因為，所以，所以，所以，故A正確；對于B，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C不正確；對于D，，當且僅當時取等號，所以，故D正確.故選：ABD.10．ABD根據題意，轉化為與函數和的圖象，作出函數及和的圖象，結合圖象得到點關于原點對稱，且，結合選項，逐項分析判斷，即可求解.【詳解】由函數的零點為，函數的零點為，所以函數與函數的圖象交點的橫坐標為，函數與函數的圖象交點的橫坐標為，作出函數，以及和的圖象，如圖所示，點的橫坐標為，點的橫坐標為，因為函數和的圖象關于直線對稱，且點關于對稱，又因為點關于上，所以點關于原點對稱，對于A，由圖象可得，所以，所以A正確；對于B，，且，所以，所以B正確；對于C，由函數，可得，且，當時，，根據零點的存在性定理，可得，所以，又由，所以，所以C不正確；對于D，由，則，所以，即，所以，所以D正確.故選：ABD.11．BCD利用，，及是偶函數，經過等量代換可推出，可得為偶函數，判斷A選項；推出可判斷B選項；由的周期性可求解C選項；利用可求解D選項.【詳解】由，用代入，得，又，兩式相加得，由是偶函數，得，代入上式，得，可得，所以，即，因為，則，所以，所以為偶函數，A選項錯誤；由，得，又，兩式相減得，所以，因此，即4是的一個周期，B選項正確；由，可得，所以，由可得，所以，由，，可得，由，，可得.所以，C選項正確；由上面推導可知，因為奇數的平方可表示為，所以奇數的平方除以4的余數為1，同理可得偶數的平方除以4的余數為，所以，D選項正確.故選：BCD.12．根據冪函數系數為求出的值，代入判斷函數恒過的定點.【詳解】因為是冪函數，所以系數，即，化簡得，解得或，當時，指數，冪函數為，定義域為，函數值恒不為，沒有零點，符合題意，當時，指數，冪函數為，有零點，不符合題意，故，則函數，令，即，此時，所以恒過定點.故答案為：13．借助指數函數、對數函數單調性探討函數在上單調性，再構造函數，并確定其奇偶性及單調性，再求解不等式.【詳解】依題意，，則函數定義域為R，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，而函數在上單調遞減，因此函數在上單調遞減，令，，函數是R上的奇函數，且在上單調遞減，則在上單調遞減，于是函數在R上單調遞減，不等式，即，因此，解得，所以所求不等式的解集為.故答案為：14．31根據給定條件，取可得，再利用賦值法計算即得．【詳解】由函數滿足，取，則，因此，，，所以．故答案為：31．15．（1）100；（2）．（3）（1）根據指數冪的運算法則，準確運算，即可求解；（2）根據對數的運算法則和對數的換底公式，準確計算，即可求解；（3）設，求得和，結合立方和公式，即可求解.【詳解】（1）由；（2）由.（3）設，可得，則，所以，又由，可得，所以.16．(1)；(2)或.（1）將整理成，代入，利用換元法設，，利用對數函數和二次函數的圖像求值域；（2）將整理成，設，利用對數函數和二次函數的圖像求值域，分別討論二次函數的對稱軸在區(qū)間的左中右這三種情況求解.【詳解】（1），時，設，當時，取最小值；當時，取最大值2；因此函數的值域為．（2），設，，，①當，即，函數的最小值為，滿足題意；②當，即，函數的最小值為，由已知，解得（舍去）或（舍去）；③當，即，函數的最小值為，由已知，故，綜上所述：的值為或.17．(1)(2)0.3小時后，5.2小時（1）當時，設，再將代入即可求出的值，當時，將點的坐標代入函數表達式即可求出的值，則可寫出答案；（2）分段求出時，對應的的取值范圍，即可寫出答案.【詳解】（1）當時，由圖象可設，將點的坐標代入函數表達式，解得，即當時，，當時，將點的坐標代入函數，得，解得，所以，故.（2）當時，，令，即，解得，即，又，∴，故服藥0.3小時之后開始有治療效果，當時，，令，即，解得，又，∴，綜上，，所以服藥后的治療效果能持續(xù)5.2小時.18．(1)，在上單調遞增.(2)(3)（1）根據反函數的求法可求出答案，利用復合函數的單調性可判斷單調性；（2）證明為奇函數，將不等式化為，由題意可知，求最大值即可求出答案；（3）利用函數的單調性和奇偶性將不等式化為，結合一元二次不等式解的情況分類討論，即可求出答案.【詳解】（1）由得，可化為，故，在上單調遞增.（2）定義域為，，，所以函數是奇函數，可化為，即，因為在上單調遞增，所以，當時若關于不等式有解，則，令，因此有，在單調遞增，所以當時，取得最大值，即的最大值為,故.（3）根據函數的單調性和奇偶性，原不等式可化為，即，即，①當時，不等式解集為，此時不等式有無數個整數解，不滿足題意；②當時，不等式解集為，此時不等式有無數個整數解，不滿足題意；③當時，不等式解集為，不滿足題意；④當時，不等式解集為，此時，不等式無整數解，故不滿足題意；⑤當時，不等式解集為，若不等式有2個整數解，則，解得.綜上所述，的取值范圍為.19．(1)證明見解析；(2)或；(3)證明見解析，，理由見解析.（1）根據指數冪的運算直接證明即可；（2），，方法一：進而將問題轉化為的零點個數問題，再結合二次函數零點分布分類討論求解即可；方法二：分離參數，轉化為函數圖象交點個數問題，再研究性質，數形結合求解；（3）方法一：由題知，且為增函數，進而根據，得有唯一的正零點，,，,再作差法比較得，最后根據比較大小即可，方法二：同方法一得有唯一的正零點，,，進而比較與的大小即可得答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，即為定值；（2），設，由得，設，則在有且只有一個零點，①時，不滿足題意.②解得，③解得無解，④時，即，此時，滿足題意，⑤時，，檢驗，當時，，滿足題意．當時，，不滿足題意．綜上所述：的取值范圍為或.方法二：，設，設，令.由對勾函數性質知，在單調遞減，上單調