資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題15排列組合易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤（相鄰問題）相鄰問題技巧總結相鄰問題1、思路：對于相鄰問題，一般接受“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一起考慮.假如設計到挨次，則還應考慮相鄰元素的挨次問題，再與其他元素放在一起進行計算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)其次步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯提示：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“一般元素”全排列，最終再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可接受插空法，即先支配好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）A．種B．種C．種D．種易錯分析：本題易消滅的錯誤是把“甲、乙、丙3人不能相鄰”理解為“甲、乙、丙3人互不相鄰”的狀況，使結果中遺漏甲、乙、丙3人中有兩人相鄰的狀況．正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B．易錯警示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最終“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先支配好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素變式1：加工某種產品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必需相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64解：工序A，B必需相鄰，可看作一個整體，工序C，D不能相鄰，所以先對AB，E工序進行排序，有種方法，AB內部排序，有種方法，排好之后有三個空可以把工序C，D插入，共種狀況，所以一共有種可能性故選：A變式2：中國航天工業(yè)快速進展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，放射火星探測器以及建筑自己的空間站，擴大了太空方案.在航天員進行的一項太空試驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能消滅在第一步或最終一步，程序B和C實施時必需相鄰，請問試驗挨次的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種解：首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進行全排列，最終將程序A排在第一步或最終一步，依據(jù)分步計數(shù)原理可得種.故選：C變式3：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的深厚氛圍，某校黨委方案將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段支配，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必需支配在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的支配方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種解：假如中心組學習在第一階段，主題班會、主題團日在其次、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；假如中心組學習在其次階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的支配方案共有10種.故選:A1．2025年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400【答案】B【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個整體，丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙.【詳解】甲與乙相鄰有種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，有種不同的排法，再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有種不同的排法，所以共有種不同的排法．故選：B.2．六名同學暑期相約去都江堰采風觀景，結束后六名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的兩人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：D.3．把二項式的全部開放項重新排列，記有理項都相鄰的概率為，有理項兩兩不相鄰的概率為，則（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】依據(jù)二項式的開放公式可得有5項有理項，4項無理項，從而可得、的值，再代入求解即可得答案.【詳解】解：，其中，，當時為有理項，故有5項有理項，4項無理項，故，，故.故選:A．4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】依據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計算求解.【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個整體捆綁起來與E,F進行全排列，然后將C，D插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有,故選：C5．2025年5月21日，中國羽毛球隊在2025年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必需相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分別計算丙站在左端時和丙不站在左端時的狀況，即可得到答案.【詳解】當丙站在左端時，甲、丙必需相鄰，其余人全排列，有種站法；當丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C6．為協(xié)作垃圾分類在學校的全面開放，某學校舉辦了一次垃圾分類學問競賽活動.高一?高二?高三班級分別有1名?2名?3名同學獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學排成一排合影，要求同班級同學排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】C【分析】依據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.【詳解】由題意可得，故選:C7．甲、乙兩個家庭周末到四周景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則全部不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.【詳解】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，最終將兩個家庭的整體全排列，有種站法，則全部不同站法的種數(shù)為．故選：C8．某駕校6名學員站成一排拍照留念，要求學員A和B不相鄰，則不同的排法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】D【分析】正難則反，首先我們可以求出6名學員隨機站成一排的全排列數(shù)即，然后求學員A和B相鄰的排列數(shù)，兩數(shù)相減即可.【詳解】一方面：若要求學員A和B相鄰，則可以將學員A和B捆綁作為一個“元素”，此時一共有個元素，但留意到學員A和B可以互換位置，所以學員A和B相鄰一共有種排法.另一方面：6名學員隨機站成一排的全排列數(shù)為種排法.結合以上兩方面：學員A和B不相鄰的不同的排法共有種排法.故選：D.9．某高鐵動車檢修基地庫房內有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車支配在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】記“兩動車相鄰”，“動車停在道”，則.故選：C10．班長邀請四位同學參與圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則兩位同學座位相鄰的概率是（）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先計算出四位同學參與圓桌會議的狀況數(shù)，再計算出兩位同學座位相鄰的狀況，從而計算出概率.【詳解】四位同學參與圓桌會議，共有種狀況，其中兩位同學可坐在①②，②③，③④三個位置，并可進行互換位置，有種狀況，兩位同學坐在其余兩個位置，且可互換，有種狀況，故兩位同學座位相鄰的狀況有種狀況，所以兩位同學座位相鄰的概率為.故選：A11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必需站在中間，2名女生必需相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種【答案】B【分析】依據(jù)分步乘法原理結合排列數(shù)求解即可.【詳解】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最終再排剩余的2名男生，依據(jù)分步乘法原理得，有種不同的排法.故選：B12．5名同學排成一排，其中甲、乙、丙三人必需排在一起的不同排法有（

）A．70種 B．72種 C．36種 D．12種【答案】C【分析】相鄰問題用捆綁法即可得解.【詳解】甲、乙、丙先排好后視為一個整體與其他2個同學進行排列，則共有種排法.故選：C13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進行排列，則（

）A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種B．全體排成一排，女生必需站在一起的排法共有36種C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種【答案】ABC【分析】依據(jù)題意，利用排列數(shù)公式，以及捆綁法、插空法，以及分類爭辯，結合分類計數(shù)原理，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意知，現(xiàn)有2名男生和3名女生，對于A中，排成前后兩排，前排3人后排2人，則有種排法，所以A正確；對于B中，全體排成一排，女生必需站在一起，則有種排法，所以B正確；對于C中，全體排成一排，男生互不相鄰，則有種排法，所以C正確；對于D中，全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾可分為兩類：（1）當甲站在中間的三個位置中的一個位置時，有種排法，此時乙有種排法，共有種排法；（2）當甲站在排尾時，甲只有一種排法，此時乙有種排法，共有種排法，綜上可得，共有種不同的排法，所以D錯誤.故選：ABC.14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的挨次排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．假如甲、乙必需相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【分析】A選項，定序問題接受倍縮法進行求解；B選項，接受插空法進行求解；C選項，分兩種狀況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種狀況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進行求解；【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的挨次排列的排列有種狀況，故A錯誤；對于B，先支配丙，丁，戊三人，有種狀況，再將甲乙兩人插空，則有種狀況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種狀況，故B正確；對于C，若最左端排乙，此時其余四人可進行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種狀況，則共有種站法，故C錯誤；對于D，將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定挨次，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓練，則（

）A．甲乙不相鄰的不同排法有48種B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種【答案】BCD【分析】依據(jù)排列和組合的定義、結合捆綁法逐一推斷即可.【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項不正確；B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有種，所以本選項正確；C：甲乙不排在兩端的不同排法有種，所以本選項正確；D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有種，所以本選項正確.故選：BCD16．某學校進行校內歌手大賽，共有4名男生，3名女生參與，組委會對他們的出場挨次進行支配，則下列說法正確的是（

）A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場挨次B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場挨次C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場挨次D．若同學的節(jié)目挨次已確定，再增加兩個老師節(jié)目，共有72種不同的出場挨次【答案】BCD【分析】選項A接受“插空法”，先排4名男生，形成5個空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結合4男3女的全排列求解即可；選項C先將4位男生捆綁作為一個整體進行全排列，然后3位女生和這個整體全排列可得；選項D接受“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可.【詳解】若3個女生不相鄰，則有種不同的出場挨次，A錯誤；若女生甲在女生乙的前面，則有種不同的出場挨次，B正確；若4位男生相鄰，則有種不同的出場挨次，C正確；若同學的節(jié)目挨次確定，再增加兩個老師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個同學節(jié)目形成8個空，插入1個老師節(jié)目，有8種狀況；其次步，原7個同學節(jié)目和剛插入的1個老師節(jié)目形成9個空，再插入1個老師節(jié)目，有9種狀況，所以這兩位老師共有種不同的出場挨次，D正確.故選：BCD.17．某校高二班級支配甲?乙?丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區(qū)進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動，則下列說法正確的有（

）A．假如社區(qū)A必需有同學選擇，則不同的支配方法有61種B．假猶如學甲必需選擇社區(qū)A，則不同的支配方法有50種C．假如三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的支配方法共有60種D．假如甲?乙兩名同學必需在同一個社區(qū)，則不同的支配方法共有20種【答案】AC【分析】對于A，依據(jù)社區(qū)A必需有同學選擇，由甲?乙?丙三名同學都有5種選擇減去有4種選擇求解；對于B，依據(jù)同學甲必需選擇社區(qū)A，有乙丙都有5種選擇求解；對于C，依據(jù)三名同學選擇的社區(qū)各不相同求解；對于D，由甲?乙兩名同學必需在同一個社區(qū)，捆綁再選擇求解；【詳解】對于A，假如社區(qū)A必需有同學選擇，則不同的支配方法有（種），故A正確；對于B，假猶如學甲必需選擇社區(qū)A，則不同的支配方法有（種），故B錯誤；對于C，假如三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的支配方法共有（種），故C正確；對于D，甲?乙兩名同學必需在同一個社區(qū)，第一步，將甲?乙視作一個整體，其次步，兩個整體選擇社區(qū)，則不同的支配方法共有（種），故D錯誤.故選：AC.18．在樹人中學進行的演講競賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的同學排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】BC【分析】利用捆綁法可推斷A、B；利用插空法可推斷C；利用分步計數(shù)法可推斷D.【詳解】解：由題意得：對于選項A：3名男生排在一起，先讓3個男生全排后再作為一個整體和2個女生做一個全排，共有種，A錯誤；對于選項B：2名女生排在一起，先讓2個女生全排后再作為一個整體和3個男生做一個全排，共有種，B正確；對于選項C：3名男生均不相鄰，先讓3個男生全排后，中間留出兩個空位讓女生進行插空，共有種，C正確；對于選項D：女生不站在兩端，先從三個男生種選出兩個進行全排后放在兩端，共有種，然后將剩下的3人進行全排后放中間，共有種，D錯誤.故選：BC19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．假如甲，乙必需相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的挨次排列的排法有40種【答案】ABC【分析】A選項，使用捆綁法進行求解；B選項，分兩種狀況，最左端排甲和最左端排乙，分別求出兩種狀況下的排法，相加即可；C選項，接受插空法進行求解；D選項，定序問題接受倍縮法進行求解.【詳解】A選項，將甲與乙捆綁，看做一個整體，與其他三人站成一排，故有種，A正確；B選項，若最左端排甲，此時其余四人可進行全排列，故有種，若最左端排乙，則最右端只能從丙，丁，戊選出1人，其余三人與三個位置進行全排列，故有種選擇，綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有種，B正確；C選項，先支配丙，丁，戊三人，有種狀況，再將甲乙兩人插空，則有種狀況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種狀況，C正確；D選項，甲乙丙按從左到右的挨次排列的排列有種狀況，D錯誤.故選：ABC20．(多選)把5件不同產品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法【答案】ABC【分析】逐個分析每個選項正確與否即可【詳解】對于A選項：產品A與B相鄰，把作為一個元素有種方法，而A，B可交換位置，所以有種擺法.故A選項符合題意.對于B選項：同A選項一樣分析可知產品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項符合題意.對于C選項:當相鄰又滿足相鄰，首先將產品捆綁起來作為一個元素并把產品放在產品與之間，留意到產品與可互換位置，所以首先排列有種擺法，把組成的整體作為一個元素和剩下的兩個元素進行排列，又有種擺法，所以A，B相鄰又A，C相鄰，有種擺法.故C選項符合題意.對于D選項：由A選項可知A與B相鄰有48種擺法，由C選項可知A，B相鄰又A，C相鄰有12種擺法，因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有種擺法.故D選項不符合題意.故選：ABC.21．甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師必需站在正中間，且甲同學不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依據(jù)排列組合，結合相鄰問題，即可求解.【詳解】（方法1：間接法）：四名同學全排再去掉甲與老師相鄰的狀況為．（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先支配，先讓老師站在正中間，甲同學從兩端中任選一個位置，有種站法，其余三名同學任意排列有種排法，則不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（種）．或者，四名同學全排時，甲同學與老師相鄰與甲同學與老師不相鄰各占，故有．故選:BCD．易錯點二：“捆綁法”中忽視了“內部排列”或“整體列”（不相鄰問題）不相鄰問題技巧總結1.思路：對于不相鄰問題一般接受“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最終進行計算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯提示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最終“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先支配好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應當留意插入的元素之間假如也有挨次，應先進行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全體排成一行，其中男生必需排在一起．錯解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，所以共有種排法；（2）將男生看成一個整體，與女生進行全排列即可，所以共有種排法．錯因分析：解決此類問題時將“在一起”的進行“捆綁”，與其他元素進行排列即可．錯解中（1）忽視了將男女生所看成的兩個整體進行排列，即忽視了“整體排列”；（2）忽視了將男生進行排列，即忽視了“內部排列”．正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，最終兩個整體全排列①，所以共有種排法；（2）將男生看成一個整體，先進行內部排列，再與女生進行全排列即可②，所以共有種排法．變式1：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的深厚氛圍，某校黨委方案將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段支配，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必需支配在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的支配方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種解：假如中心組學習在第一階段，主題班會、主題團日在其次、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；假如中心組學習在其次階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的支配方案共有10種.故選:A變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．解：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種解：先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，所以舞臺站位時男女間隔的不同排法共有種排法，故選：A.1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（

）A．若女生必需站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法【答案】AC【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先支配特殊元素法、間接法依次求解.【詳解】選項,利用捆綁法，將3名女生看成一個整體，其排列方式有種，加上4名男生一共有5個個體，則有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項,利用插空法，4名男生排成一排形成5個空，其排列方式有種，再將3名女生插入空中，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故不正確；選項,利用優(yōu)先支配特殊元素法，甲不站最中間,甲先從除中間之外的6個位置選一個，其選擇方式有種，再將剩余的6人全排列，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項,利用間接法，3人站成一排共有種排法，若甲站最左邊有種排法，乙站最右邊有種排法，甲站最左邊且乙站最右邊有種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法，故不正確；故選：AC.2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中唱歌類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確的是（

）A．若以唱歌類節(jié)目開場，則有360種不同的出場挨次B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場挨次C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場挨次D．從中選擇2個不同類型的節(jié)目參與市藝術節(jié)，則有11種不同的選法【答案】AD【分析】依據(jù)全排列、捆綁法、插空法，結合分步與分類計數(shù)原理依次分析選項，即可推斷.【詳解】A：從3個唱歌節(jié)目選1個作為開場，有種方法，后面的5個節(jié)目全排列，所以符合題意的方法共有種，故A正確；B：將2個舞蹈節(jié)目捆綁在一起，有種方法，再與其余4個節(jié)目全排列，所以符合題意的方法共有，故B錯誤；C：除了2個舞蹈節(jié)目以外的4個節(jié)目全排列，有種，再由4個節(jié)目組成的5個空插入2個舞蹈節(jié)目，所以符合題意的方法有種，故C錯誤；D：符合題意的狀況可能是1個唱歌1個舞蹈、1個唱歌1個語言、1個舞蹈1個語言，所以不同的選法共種，故D正確.故選：AD.3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（

）A．個空位全都相鄰的坐法有種B．個空位中只有個相鄰的坐法有種C．個空位均不相鄰的坐法有種D．4個空位中至多有個相鄰的坐法有種【答案】AC【分析】對于A，用捆綁法即可；對于B，先用捆綁法再用插空法即可；對于C，用插空法即可；對于D，用插空法的同時留意分類即可.【詳解】對于A，將四個空位當成一個整體，全部的坐法：種，故A對；對于B，先排4個同學，然后將三個相鄰的空位當成一個整體，和另一個空位插入5個同學中有種方法，所以一共有種，故B錯；對于C，先排4個同學，4個空位是一樣的，然后將4個空位插入4個同學形成的個空位中有種，所以一共有，故C對；對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，空位兩個兩個相鄰的有：，空位只有兩個相鄰的有，所以一共有種，故D錯；故選：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）．A．若五位同學排隊要求甲、乙必需相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲、乙、丙三位同學按從左到右的挨次排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學被安排到三個社區(qū)參與志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的安排方案有36種【答案】BCD【分析】依據(jù)相關的計數(shù)原理逐項分析.【詳解】對于A，將甲乙捆綁有種方法，若戊在丙丁之間有排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有種方法；若丙丁相鄰，戊在左右兩邊有種排法，但甲乙必需插在丙丁之間，一共有種排法，所以總的排法有，故A錯誤；對于B，若甲在最左端，有種排法，若乙在最左端，先排甲有種排法，再排剩下的3人有，所以總共有種排法，正確；對于C，先將甲乙丙依據(jù)從左至右排好，接受插空法，先插丁有種，再插戊有種，總共有種，正確；對于D，先分組，將甲乙丙丁分成3組有種分法，再將分好的3組支配在3個社區(qū)有種方法，共有種方法，正確；故選：BCD.5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（

）A．4個空位全都相鄰的坐法有720種B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種C．4個空位均不相鄰的坐法有1800種D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種【答案】AC【分析】對于A，用捆綁法即可;對于B，先用捆綁法再用插空法即可；對于C，用插空法即可；對于D，用插空法的同時留意分類即可.【詳解】對于A,將四個空位當成一個整體，全部的坐法：，故A對；對于B，先排5個同學，然后將三個相鄰的空位當成一個整體，和另一個空位插入5個同學中有中方法，所以一共有種，故B錯；對于C，先排5個同學，4個空位是一樣的，然后將4個空位插入5個同學中有種，所以一共有，故C對；對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有1800種，空位兩個兩個相鄰的有：，空位只有兩個相鄰的有，所以一共有種，故D錯；故選：AC6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】第一種排法：先排4名粉絲，然后利用插空法將歌手排好；其次種排法：先計算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用總排法去掉前面兩種不滿足題意的排法即可【詳解】第一種排法：分2步進行：①將4名粉絲站成一排，有種排法；②4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，支配三名歌手，有種狀況．則有種排法，其次種排法：先計算3位歌手站一起，此時3位歌手看做一個整體，有種排法，再計算恰好有2位歌手站一起，此時2位歌手看做一個整體，與另外一個歌手不相鄰，有種排法，則歌手不相鄰有種排法．故選：CD7．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位方案利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設六周，則下列說法正確的是（

）A．某同學從中選2門課程學習，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最終一周，共有480種排法【答案】ACD【分析】依據(jù)給定條件利用組合學問可以推斷A正確；不相鄰問題利用插空法可以推斷B錯誤；相鄰問題利用捆綁法可以推斷C正確；利用特殊位置法可以推斷D正確.【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對于B，先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，B錯誤；對于C，“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；對于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，D正確.故選：ACD.8．有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（

）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的挨次站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的支配方法D．6名同學分成三組參與不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【答案】ACD【分析】A選項，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項，利用倍縮法求解；C選項，先進行平均分組，再進行全排列，得到答案；D選項，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組，再進行全排列，得到答案.【詳解】A選項，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的挨次站位，可用倍縮法進行求解，即種不同的站法，B錯誤；C選項，6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有種不同的支配方法，C正確；D選項，6名同學分成三組參與不同的活動，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學與他們一組，共有種分法；若三組同學分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有種分組方法，D正確.故選：ACD9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（

）A．若五位同學排隊要求甲、乙必需相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲乙丙三位同學按從左到右的挨次排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學被安排到三個社區(qū)參與志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則不同的安排方案有72種【答案】BC【分析】依據(jù)排列組合的典型方法：捆綁法、插空法、優(yōu)限法、定序法、分組安排法逐項推斷即可.【詳解】對于A，若五位同學排隊甲、乙必需相鄰的支配有種，然后與戊全排列的支配種，丙、丁不能相鄰的支配有種，共有種，故A不正確；對于B，若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則當甲在左端時，則有種支配方法；當乙在左端時，甲有種支配方法，其他人有種支配方法，故符合的總的支配方法種數(shù)為種，故B正確；對于C，若甲乙丙三位同學按從左到右的挨次排隊，則不同的排法有種，故C正確；對于D，若甲、乙、丙、丁四位同學被安排到三個社區(qū)參與志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，則4人分三組的分組方法數(shù)為，再把三個組安排到三個社區(qū)的種方法數(shù)為，則總的支配方法數(shù)為種，故D不正確.故選：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【答案】D【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，故共有種不同的排法，故選：D11．杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園動身，途經臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑．假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【答案】C【分析】依據(jù)排列數(shù)以及插空法的學問求得正確答案.【詳解】先支配甲乙以外的個人，然后插空支配甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C12．，，，，五名同學按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．64【答案】A【分析】先將其余三人全排列，利用插空法求解.【詳解】解：先將其余三人全排列，共有種狀況，再將和插空，共有種狀況，所以共有種狀況，故選：A.13．某選拔性考試需要考查4個學科（語文、數(shù)學、物理、政治），則這4個學科不同的考試挨次中物理考試與數(shù)學考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全排列與插空法分別求得所需要考試挨次種類，再利用古典概型即可得解.【詳解】這4個學科不同的考試挨次有種，先支配語文、政治形成3個空隙，再將數(shù)學、物理插入到其中2個空隙中，則物理考試與數(shù)學考試不相鄰的考試挨次共有種，所以所求概率為.故選：B.14．現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用排解法，即7人的全排列減去3個女生都不相鄰的情形（用插空法求三女生全不相鄰的排法）.【詳解】7個人全排列誠去3個女生全部相鄰的情形，即，故選：B.15．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的，兩段，使得長線段與原線段的比等于短線段與長線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，假如兩個3不相鄰，則小王可以設置的不同密碼個數(shù)為（

）A．180 B．210 C．240 D．360【答案】C【分析】用插入法求解.【詳解】先把排列，然后選兩個空檔插入3，總方法為．故選：C．易錯點三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）1．兩個重要公式(1)排列數(shù)公式．(2)組合數(shù)公式2、要點：一般用于計算，而和一般用于證明、解方程（不等式）.重點：三個重要性質和定理組合數(shù)性質（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.應用：①簡化計算，當時，通常將計算轉化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，假如取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，假如不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，依據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).應用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.重點：三個重要性質和定理組合數(shù)性質（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.應用：①簡化計算，當時，通常將計算轉化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，假如取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，假如不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，依據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).應用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.易錯提示：解排列、組合的綜合問題要留意以下幾點（1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．（2）對于有限多個限制條件的簡單問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．例、解不等式.【錯解】由排列數(shù)公式得，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12.由于x∈N*，所以x＝8，9，10，11.【錯因】在排列數(shù)公式A中，隱含條件m≤n，m∈N*，n∈N*，錯解中沒有考慮到x－2>0，8≥x，導致錯誤．【正解】由，得，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又所以2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.【答案】x＝8.變式1．若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10解：由于，則由組合數(shù)的性質有，即，所以n的值為10.故選：D變式2．計算＋＋＋＋的值為（

）A． B．C．－1 D．－1解：.故選：C.變式3．若整數(shù)滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或3解：由題可知或，整理得或，解得或或或．又，所以只有和滿足條件，故的值為1或．故選：C1．可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】，故選：B.2．已知，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】依據(jù)排列組合公式得到，解得答案.【詳解】，即，故，故.故選：C3．！除以2019的余數(shù)為（

）A．1 B．2018 C．2017 D．前三個答案都不對【答案】B【分析】利用裂項可求，故可求余數(shù).【詳解】題中式子即，留意到，于是，因此所求余數(shù)為2018．故選：B.4．甲，乙，丙3位同學從即將開設的4門校本課程中任選一門參與，則他們參與的校本課程各不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】甲，乙，丙3位同學從開設的4門校本課程中任選一門參與的大事數(shù)為甲，乙，丙3位同學參與的校本課程各不相同的大事數(shù)為故所求概率為故選：A5．若，則n等（

）A．8 B．4 C．3或4 D．5或6【答案】A【分析】依據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，化簡，即可求出.【詳解】由題意，依據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式，可得，，則，且，解得：.故選：A6．若，則正整數(shù)（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】利用組合數(shù)、排列數(shù)的定義直接開放，解方程即可求得.【詳解】由于，所以，解得：.故選：87．一條鐵路有n個車站，為適應客運需要，新增了m個車站，且知，客運車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由題意得，化簡計算可得，由于，，可得，從而可求出，閱歷證可得答案【詳解】原來個車站有種車票，新增了個車站，有種車票，由題意得，即，整理得，∴，∵，，∴，∴，解得，即.當時，均不為整數(shù)，只有當時，符合題意，∴，故現(xiàn)在有17個車站.故選：C.8．不等式的解集為（

）A．{2，8} B．{2，6}C．{7，12} D．{8}【答案】D【解析】直接依據(jù)排列數(shù)公式開放，再解不等式，即可得答案.【詳解】，解得：.又，，即.故選：D【點睛】本題考查排列數(shù)公式的計算、不等式求解，考查基本運算求解力量.9．若，則.【答案】【分析】依據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.【詳解】由于，即，所以，由于，所以.故答案為：10．已知，求x的值．【答案】.【分析】依據(jù)給定條件，利用排列數(shù)公式直接計算作答.【詳解】，化為：，即，解得，所以x的值為.11．解關于正整數(shù)x的不等式．【答案】【分析】依據(jù)排列數(shù)的公式計算求解.【詳解】由，可得，所以，整理得，解得，又由于，所以.12．解關于正整數(shù)n的方程：．【答案】【分析】依據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】由排列數(shù)的定義，有由此解得．此外，原方程可化為，再化簡，可得，即，即．舍去非整數(shù)的根，故．13．已知，且.求的值.【答案】【分析】依據(jù)題意結合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解可得，求導，利用導數(shù)運算求解.【詳解】由于，則且，所以，整理可得，解得.令，則，因此，.14．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)排列數(shù)及排列數(shù)公式，計算即可；（2）依據(jù)組合數(shù)及組合數(shù)公式，計算即可．【詳解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，由于，，，，，所以；（2），故，解得.15．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.【答案】5【分析】（1）依據(jù)排列數(shù)公式即可求解；（2）依據(jù)組合數(shù)的運算公式及性質化簡不等式求其解集即可.【詳解】（1）且，，化簡得，解得（不合題意，舍去），；（2）∵，∴，即，解得.∵，∴.∴的取值集合為.故答案為：5；.易錯點四：實際問題不清楚導致計算重復或者遺漏致誤（加法與乘法原理）正難則反問題技巧總結正難則反排解處理：對于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面(取補集的思想)，一般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。正規(guī)方法：限制（定位）問題優(yōu)先處理：某個（幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個）元素，再排其它元素，或某個（幾個）位置要求排指定元素，可先排這個（幾個）位置，再排其它位置。（即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。秒殺方法：對立大事處理+韋恩圖解釋模型：7個同學站隊，要求甲同學不站在排首，乙同學不站在排尾，求站隊的總方案數(shù).破解：①全部方案：,②其中不合理的方案則種方案.解釋：易錯提示：排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量浩大，對結果的檢驗困難，所以我們在解決這類問題時就要遵循肯定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后安排原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時，解答組合問題必需心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．例、有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？易錯分析：由于對實際問題中“至少有1個一等品”意義理解不明，可能導致下面的錯誤會法：按分步乘法計數(shù)原理，第一步確保有1個一等品，有種取法；其次步從余下的19個零件中任取兩個，有種不同的取法，故共有（種）取法，實際上這個解法是錯誤的．下面我們作如下分析，第一步取出1個一等品，那么其次步就有3種可能：①取出的2個都是二等品，這時的取法有（種）；②取出1個一等品，1個二等品，由于取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后挨次，而實際上這2個一等品是沒有先后挨次的，因此這時的取法就產生了多一倍的重復，即這時的取法有（種）；③取出的2個都是一等品，這時我們取出的3個都是一等品了，實際的取法種數(shù)應是．正解：方法一將“至少有1個是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰有3個一等品”．由分類加法計數(shù)原理，得不同取法有（種）．方法二考慮其對立大事“3個都是二等品”，用間接法，得至少有1個一等品的不同取法有（種）易錯警示：對于“至少”“至多”類型的問題，考生應留意從兩個方面處理：一是從正面進行處理，可以依據(jù)要求進行合理分類，利用分類加法計數(shù)原理求解；二是求解該大事的對立大事，即利用排解法求解，其實質還是先進行分類．求解時要依據(jù)具體狀況選取類別較少的一種方法進行解答．變式1：四周體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面點，不同取法有種。解：任取4個點共有種，再考慮不滿足條件的取法：=1\*GB3①每個表面六個點中任取四個點共面，即種；=2\*GB3②每一條棱與對棱中點四個點共面，有6種；=3\*GB3③與對棱平行的平行四邊形共面，有3種，共有210-60-6-3=141種。變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A.70種B.80種C.100種D.140種解：方法一：正難則反排解法：從9名醫(yī)生中任意選3名醫(yī)生有種，不滿足的有：=1\*GB3①都是男醫(yī)生種；=2\*GB3②都是女醫(yī)生種，共有種，選C。方法二：多元問題分類處理法：=1\*GB3①男醫(yī)生2名、女醫(yī)生1名：有種；=2\*GB3②男醫(yī)生1名、女醫(yī)生2名：，一共有+=70種，選C。錯誤做法：，消滅了重復計算。變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1,且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16C.14個D.12個解：，方法一：列舉法：可列舉出中間六項全部可能性共有14種，選C。方法二：正難則反排解法：中間六項共有種，0的個數(shù)小于1的個數(shù)有6種，共14種。1．高考期間，為保證考生能夠順當進入考點，交管部門將5名交警安排到該考點周邊三個不同路口疏導交通，每個路口至少1人，至多2人，則不同的安排方染共有（

）A．60種 B．90種 C．125種 D．150種【答案】B【分析】依據(jù)題意，分2步進行分析：將5名交警分成1、2、2的三組；將分好的三組全排列，對應3個路口，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】依據(jù)題意，分2步進行分析：將5名交警分成1、2、2的三組，有種分組方法；將分好的三組全排列，對應3個路口，有種狀況，則共有種安排方案.故選:B.2．某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出三個單位被系統(tǒng)隨機預約接種疫苗的基本大事數(shù)，再求出甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的基本大事數(shù)，然后利用古典概率公式計算作答,【詳解】當A，B，C三家醫(yī)院都接待一個單位時有種，當A，B，C三家醫(yī)院有兩家接待兩個單位時有種，因此，三個單位被系統(tǒng)隨機預約接種疫苗的基本大事有個，它們等可能，甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的大事M，即甲不選C醫(yī)院，選A，B醫(yī)院之一，有種選法，乙、丙從A，B，C三家醫(yī)院中任選一家，去掉他們都選A醫(yī)院的狀況，有種選法，因此，大事M含有的基本大事數(shù)為個，所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率.故選：B3．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

）A． B．120 C．240 D．720【答案】D【分析】由題意知：問題等價于3個元素排10個位置，應用排列數(shù)計算不同的分法種數(shù)即可.【詳解】由題設，相當于3個元素排10個位置，有種不同的分法．故選：D．4．用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復，且數(shù)字3至多消滅一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．81 B．48 C．36 D．24【答案】B【分析】依據(jù)題意，分2種狀況爭辯：①數(shù)字3不消滅，②數(shù)字3消滅1次，求出每種狀況下四位數(shù)的數(shù)目，由加法原理計算可得答案.【詳解】解：依據(jù)題意，數(shù)字3至多消滅一次，分2種狀況爭辯：①數(shù)字3不消滅，此時四位數(shù)的每個數(shù)位都可以為6或9，都有2種狀況，則此時四位數(shù)有2×2×2×2=16個；②數(shù)字3消滅1次，則數(shù)字3消滅的狀況有4種，剩下的三個數(shù)位，可以為6或9，都有2種狀況，此時四位數(shù)有4×2×2×2=32個，故有16+32=48個四位數(shù)，故選：B.5．從4名優(yōu)秀同學中選拔參與池州一中數(shù)學、物理、化學三學科培優(yōu)研討會，要求每名同學至多被一學科選中，則每學科至少要選用一名同學的狀況有（

）種A．24 B．36 C．48 D．60【答案】D【分析】首先，依據(jù)題意，分析得出應當分兩類狀況，共選3人參與研討會和4名同學都參與，之后各自應用分步計數(shù)原理求得結果，之后應用分類加法計數(shù)原理求得結果.【詳解】依題意，分兩類狀況：（1）每個學科選1人，共選3人參與研討會，從4名同學中選3名進行排列即可，有種狀況；（2）4名同學都參與，則必定有2名同學參與同一學科的研討會，先從4名同學中選2名看作一個整體，有選法，將這個整體與其他同學全排列即可，有種排法，依據(jù)分步計數(shù)原理，共有種狀況，綜上所述，依據(jù)分類計數(shù)原理可得，每學科至少一名同學的狀況有種，故選：D.【點睛】該題考查的是有關排列組合的綜合題，涉及到的學問點有分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于簡潔題目.6．將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種【答案】B【分析】對三個盒子進行編號1，2，3，則每個盒子裝球的狀況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數(shù)相同.【詳解】先考慮第一類，即3個盒子放球的個數(shù)為：1，2，2，則第1個盒子有：，第2個盒子有：，第3個盒子有：，第一類放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.【點睛】考查分類與分步計算原理，明確分類的標準是解決問題的突破口.7．哈六中高一學習雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的同學，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【分析】試題分析：分兩種狀況，三班沒人時，有種選法，三班恰有1人時，有種選法，所以共有種取法.故選B．8．下列說法正確的是（

）A．4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有81種報名方法B．4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有24種報名方法C．4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有64種可能的結果D．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為12個【答案】ABC【分析】依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知A、C項正確；先選人，后排列，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出B項；分為選0以及選2兩種狀況，分別求出結果，依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得出D項錯誤.【詳解】對于A項，每位同學均有3種選擇，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種報名方法，故A項正確；對于B項，第一步從4位同學中選出3人，有種方法；其次步，選出的3名同學，選擇不同的項目，有種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種報名方法，故B項正確；對于C項，每項運動的冠軍都有4種可能，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種可能的結果，故C項正確；對于D項，若選擇0，則0只能在其次位，其他兩位從3個奇數(shù)中選擇2個排好，所以有種可能；若選擇2，則2可以排在前兩位，有2種可能，其他兩位從3個奇數(shù)中選擇2個排好，所以有種可能.依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有種可能，故D項錯誤.故選：ABC.9．如圖，線路從到之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導致線路不通，現(xiàn)發(fā)覺之間線路不通，則下列推斷正確的是（

）A．至多三個斷點的有種 B．至多三個斷點的有種C．共有種 D．共有種【答案】AC【分析】分五種狀況分別爭辯求解可得出.【詳解】若有1個斷點，則1,5中斷開1個，有2種狀況；若有2個斷點，則1,5都斷開有1種；1,5斷開1個，2,3,4斷開1個有種，共種狀況；若有3個斷點，則2,3,4斷開有1種；1,5都斷開，2,3,4斷開1個有3種；1,5斷開1個，2,3,4斷開2個有種，共種；若有4個斷點，則1,5都斷開，2,3,4斷開2個有3種；1,5斷開1個，2,3,4都斷開有2種，共有種；若有5個斷點，有1種狀況.綜上，至多三個斷點的有種，故A正確，B錯誤；全部狀況共有種，故C正確，D錯誤.故選：AC.10．某班有5名同學報名參與校運會的四個競賽項目，計算在下列狀況下各有多少種不同的報名方法.（1）每人恰好參與一項，每項人數(shù)不限；（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多參與一項；（3）每人限報一項，人人參與了項目，且每個項目均有人參與.【答案】（1）1024種；（2）120種；（3）240種.【分析】（1）依據(jù)分步計數(shù)原理求解即可；（2）依據(jù)分步計數(shù)原理求解即可；（3）利用部分平均分組的方法求解即可；【詳解】（1）每人都可以從這四個項目中選報一項，各有4種不同的選法，由分布計數(shù)原理知共有種.（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多報一項，因此可由項目選人，第一個項目有5種不同的選法，其次個項目有4種不同的選法，第三個項目有3種不同的選法，第四個項目有2種不同的選法，由分步計數(shù)原理得共有報名方法種.（3）每人限報一項，人人參與，且每個項目均有人參與，故此需將5人分成4組，有種.每組參與一個項目，由分步計數(shù)原理得共有種.11．已知8件不同的產品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進行測試，直至找到全部次品．（1）若在第5次測試時找到最終一件次品，則共有多少種不同的測試方法？（2）若至多測試5次就能找到全部次品，則共有多少種不同的測試方法？【答案】（1）720種（2）936種【分析】（1）由題意可知前四次中有兩件次品兩件正品，第五次為次品，所以選出排列即可.（2）至多五次能找到，包括檢測3次都是次品，檢測四次測出3件次品，檢測五次測出3件次品或著檢測五次全是正品，剩下的為次品，以此求出每種狀況求和可得結果.【詳解】解：（1）若在第五次檢測出最終一件次品，則前四次中有兩件次品兩件正品，第五次為次品.則不同的檢測方法共有種.（2）檢測3次可測出3件次品，不同的測試方法有種檢測4次可測出3件次品，不同的測試方法有種；檢測5次測出3件次品，分為兩類：一類是恰好第5次測到次品，一類是前5次測到都是正品，不同的測試方法共有種．所以共有936種測試方法【點睛】本題考查排列組合的實際應用，考查分步計數(shù)的原理以及同學處理實際問題的力量，最終一次的問題肯定要留意最終一次是確定的大事，本題屬于中檔題.12．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參與了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參與一個項目，若甲不能參與A、B項目，乙不能參與B、C項目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意，依據(jù)甲乙是否參與志愿活動分4種狀況爭辯，求出每種狀況的選拔方案數(shù)量，再由加法計數(shù)原理相加計算.【詳解】依據(jù)題意，分4種狀況爭辯：①甲乙都不參與志愿活動，在剩下的4人中任選3人參與即可，有種選拔方法；②甲參與但乙不參與志愿活動，甲只能參與C項目，在剩下的4人中任選2人參與A、B項目，有種選拔方法；③乙參與但甲不參與志愿活動，乙只能參與A項目，在剩下的4人中任選2人參與B、C項目，有種選拔方法；④甲乙都參與志愿活動，在剩下的4人中任選1人參與B項目，有種選拔方法，則有.故答案為：13．某校在高二班級開設選修課，其中數(shù)學選修課開四個班.選課結束后，有四名同學要求改修數(shù)學，但每班至多可再接收2名同學，那么不同的安排方案有（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意，分三種狀況爭辯：①每個班接收1名同學；②其中一個班接收2名，其余兩個班各接收1名；③其中兩個班不接收，另兩個班各接收2名，由分類計數(shù)原理結合排列、組合的學問，計算即可得解.【詳解】由題意，滿足要求的狀況可分為三種：①每個班接收1名同學，安排方案共有種；②其中一個班接收2名，其余兩個班各接收1名，安排方案共有種；③其中兩個班不接收，另兩個班各接收2名，安排方案共有種；所以不同的安排方案有種.故答案為：.【點睛】本題考查了計數(shù)原理的綜合應用，考查了運算求解力量與分類爭辯思想，屬于中檔題.14．某單位有A、B、C、D四個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調2人，去參與再就業(yè)培訓，培訓后這8人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多支配1人，問共有種不同的支配方法？【答案】192【解析】分返回單位的2人原來在同一科室，以及2人原來不在同一科室兩種狀況，分別求出支配方法數(shù)，把這兩類的方法數(shù)相加，即得所求．【詳解】返回單位的2人原來在同一科室時，有種方法，返回單位的2人原來不在同一科室時，有種方法，故不同的支配方法共有種方法，故答案為：.【點睛】本題考查查排列與組合及兩個基本原理，考查分類爭辯思想，考查規(guī)律推理力量、運算求解力量，屬于中檔題．易錯點五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素安排問題）不同元素分組安排問題技巧總結分組問題與安排問題Ⅰ：將個不同元素依據(jù)某些條件分成組，稱為分組問題.分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.將個不同元素依據(jù)某些條件安排給個不同的對象，稱為安排問題.安排問題共分為2類：定額安排、隨機安排.區(qū)分：分組問題是組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不區(qū)分的.而安排問題即使兩組元素個數(shù)相同，但因對象不同，仍舊是可區(qū)分的，對于安排問題必需先分組后安排.Ⅱ：分組問題的常見形式及快速處理方法①非均勻不編號分組：個不同元素分成組，每組元素數(shù)目均不相等，且不考慮各組間的挨次，不管是否分完，其分法種數(shù)為：如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種狀況？②均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號的組，假定其中組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.假如再有組均勻分組，應再除以.除的緣由為：如：123456平均分成3組，可能是也可能是或者是等，一共有種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以除以.如：兩兩一組，分兩組，若直接用種，但列舉出來的分別為、、再往下列舉就已經重復了.如：、、.如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種狀況？.③非均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的挨次，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）④均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均相等，且考慮各組間的挨次，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.易錯提示：均勻分組和部分均勻分組在計數(shù)過程中易消滅重復現(xiàn)象，留意計算公式的應用．重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以．例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少一本的不同分法共有______種．（用數(shù)字作答）易錯分析：先把6本不同的書分成4組，然后分給4個人，但該題易出錯的地方有兩個：一是分組考慮不全造成漏解，分組方式有2種，即3，1，1，1與2，2，1，1；二是2，2，1，1分組時，忽視平均分組問題造成增解．正解：把6本不同的書分成4組，每組至少一本的分法有2種．①1組有3本，其余3組每組1本，不同的分法共有（種）；②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有（種）．所以不同的分組方法共有20＋45＝65（種）．然后把分好的4組分給4個人，所以不同的分法共有（種）．故填1560．易錯警示：關于分組問題，有均勻分組、不均勻分組和部分均勻分組三種，無論分成幾組，考生應留意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象，解決這類問題必需依據(jù)均勻分組的公式來解決．變式1：12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的安排方案共有()種。A.B.3C.D.解：屬于平均分組且排序型，共有種，選A。變式2：將2名老師，4名同學分成2個小組，分別支配到甲、乙兩地參與社會實踐活動，每個小組由1名老師和2名同學組成，不同的支配方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種解：屬于平均分組且排序型，共有種，選A。變式3：某校支配5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少支配一個班，不同的支配方法共有種。（用數(shù)字作答）解：屬于部分平均分組且排序型，即2，1，1，1；共有：種。如嫻熟可直接得表示分為四組，再進行排序得：種。1．第19屆亞運會將于2025年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報名參與了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參與一個項目．若甲不能參與“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】C【分析】先從除甲外的3人中選1人參與“蓮花”場館的項目，再支配另外兩個項目，利用排列、組合學問計算求解．【詳解】先從除甲外的3人中選1人參與“蓮花”場館的項目，再支配另外兩個項目，若甲不能參與“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有種．故選：C.2．從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（

）A．42種 B．36種 C．72種 D．46種【答案】A【詳解】分以下幾種狀況：①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有種不同的方法，故不同的放法有種．②取出的兩球不同色時，有一紅一黃、一紅一藍、一黃一藍3種取法，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為種；取球后將兩球放在袋子中的方法數(shù)有種，所以不同的放法有種．綜上可得不同的放法有42種．選A．3．陽春三月，草長鶯飛，三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時，為了平安起見，他們排隊前進，寶寶不排最前面也不排最終面，為了便利照看孩子，每兩位大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶寵愛打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．288C．432 D．512【答案】C【分析】依據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，結合插空法、捆綁法列式計算作答.【詳解】求不同的排法種數(shù)這件事需要5步：先排3位媽媽，有種方法；把這位爸爸與2位男寶寶按爸爸在2位男寶寶之間，視為一個整體插入3位媽媽排列形成的中間2個間隙，有種方法；下面分為兩類：①再任取2位女寶寶排在2位沒有寶寶的媽媽間，有種方法；然后把余下的女寶寶排在男寶寶與媽媽的2個間隙中，有種方法；最終排2位男寶寶，有種方法，由分步乘法計數(shù)原理得：不同的排法種數(shù)為；②再任取2位女寶寶排在男寶寶和媽媽間，有種方法；然后把余下的女寶寶排在沒有寶寶的媽媽中間，有種方法；最終排2位男寶寶，有種方法，由分步乘法計數(shù)原理得：不同的排法種數(shù)為；所以不同的排法共有種.故選：C【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．4．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中參與某項志愿者活動，要求每人參與一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外兩位前面.不同的支配方法共有（

）A．20種 B．30種 C．50種 D．60種【答案】A【分析】每個人被支配在另外兩個人前面的機會是均等的，利用排列得到答案.【詳解】每個人被支配在另外兩個人前面的機會是均等的，故共有種方法.故選：A5．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲?乙等6人報名參與了??三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參與一個項目，若甲不能參與?項目，乙不能參與?項目，那么共有（

）種不同的選拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．52【答案】D【分析】依據(jù)題意，按甲乙是否參與志愿活動分4種狀況爭辯，求出每種狀況的選拔方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，分4種狀況爭辯：①甲乙都不參與志愿活動，在剩下4人中任選3人參與即可，有種選拔方法，②甲參與乙不參與志愿活動，甲只能參與C項目，在剩下4人中任選2人參與A、B項目即可，有種選拔方法，③乙參與甲不參與志愿活動，乙只能參與A項目，在剩下4人中任選2人參與B、C項目即可，有種選拔方法，④甲乙都參與志愿活動，甲只能參與C項目，乙只能參與A項目，在剩下4人中任選1人參與B項目，有種選拔方法，則有24＋12＋12＋4＝52種選拔方法；故選：D6．現(xiàn)有甲?乙?丙3位同學在周一至周五參與某項公益勞動，要求每人參與一天且每天至多支配一人，并要求甲同學支配在另外兩位前面，則不同的支配總數(shù)為（

）A