2026屆西寧市第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.3．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的方程是（）A. B.C.或 D.或4．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.5．下列通項(xiàng)公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.6．已知函數(shù)，，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]7．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形9．有關(guān)橢圓敘述錯誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，點(diǎn)，.若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A. B.C. D.11．一條直線過原點(diǎn)和點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.12．曲線的一個焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知存在正數(shù)使不等式成立，則的取值范圍_____14．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式___________15．如果點(diǎn)在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，記滿足此條件的點(diǎn)M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是坐標(biāo)原點(diǎn)，過的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值19．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為5，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)，，，求證：.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（A、B非橢圓頂點(diǎn)），求的最大值.22．（10分）已知是公比不為1的等比數(shù)列，，且為的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由，得點(diǎn)為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設(shè)雙曲線的焦距為，與軸交于點(diǎn)，由題可知，則，由，得點(diǎn)為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.2、C【解析】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.3、C【解析】由分焦點(diǎn)在軸的正半軸上和焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，兩種情況討論設(shè)出方程，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對稱軸，且通經(jīng)長為8，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上時，設(shè)拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時，設(shè)拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為，所以所求拋物線的方程為.故選：C.4、B【解析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，所以，所以，即，對于A：，故選項(xiàng)A不正確；對于B：，故選項(xiàng)B正確；對于C：，故選項(xiàng)C不正確；對于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.5、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，B選項(xiàng)對應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.6、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當(dāng)時，，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對于任意的，．因?yàn)殚_口向下，對稱軸為軸，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在[，2]上的值域?yàn)閇a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對稱，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.7、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B8、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)椋凿J角，所以為銳角三角形.故選：A.9、A【解析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯誤，B,C,D正確.故選：A.10、A【解析】由在直線上，設(shè)，再利用向量垂直，可得，進(jìn)而可求E點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)樵谥本€上，故存在實(shí)數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.11、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.12、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1，1）【解析】存在性問題轉(zhuǎn)化為最大值，運(yùn)用均值不等式，求出的最大值，轉(zhuǎn)化成解對數(shù)不等式，進(jìn)而解出【詳解】解：∵，由于，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即：時，∴有最大值，又存在正數(shù)使不等式成立，則，即，∴，即的取值范圍為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用和對數(shù)不等式的解法，還涉及存在性問題，考查化簡計(jì)算能力14、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.15、8【解析】根據(jù)橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結(jié)合橢圓定義可知當(dāng)直線x=m過右焦點(diǎn)時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點(diǎn)，的距離和等于常數(shù)，點(diǎn)軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與C交于D，E，則，不妨設(shè)D在軸上方，E在軸下方，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為A'，連接DA'，EA'，因?yàn)镈A'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當(dāng)時取得最大值8，故答案為：816、或##或【解析】根據(jù)向量平行時坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程消去x，借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對值即可計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，由消去x并整理得：，因與有公共點(diǎn)，則，解得：，所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)，則，設(shè)，由(1)知，，則，因此，，所以的面積.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個法向量和平面DCM的一個法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得結(jié)果代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】解析：（1）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）∴上述兩式相減可得∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、錯位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1），無極大值（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無極大值.；【小問2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可（2）設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理表示出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，并表示出為直線斜率的函數(shù)，然后求出的最大值【小問1詳解】由橢圓過點(diǎn)，則有：由可得：解得：則橢圓的方程為：【