黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)鐵人中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.2．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.3．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.484．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)6．已知函數(shù)，在上隨機(jī)任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.8．劉徽是一個偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.9．已知向量，且，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.11．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.12．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題14．“五經(jīng)”是《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱，貴為中國文化經(jīng)典著作，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校計劃開展“五經(jīng)”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有、兩位同學(xué)參賽，比賽時每位同學(xué)從這本書中隨機(jī)抽取本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則、兩位同學(xué)抽到同一本書的概率為______.15．__________16．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標(biāo)是_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.18．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設(shè)池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?19．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值20．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點，斜率為k的直線l經(jīng)過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值21．（12分）設(shè)橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.22．（10分）排一張有6個歌唱節(jié)目和5個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.2、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化3、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標(biāo)，再根據(jù)點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.5、C【解析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.8、B【解析】此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.9、A【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A10、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.11、B【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.12、A【解析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.84375【解析】合理設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案為：14、##【解析】計算出、兩位同學(xué)各隨機(jī)抽出一本書的結(jié)果種數(shù)，以及、兩位同學(xué)抽到同一本書的結(jié)果種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】、兩位同學(xué)抽到的結(jié)果都有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，、兩位同學(xué)各隨機(jī)抽出一本書，共有種結(jié)果，而、兩位同學(xué)抽到同一本書的結(jié)果有種，故所求概率為.故答案為：.15、【解析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標(biāo)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個零點.【小問1詳解】若，則，其定義域為，∴，由，得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠，∵，∴當(dāng)時，，故在上無零點；當(dāng)時，，∵且，∴在上有且只有一個零點.綜上，有且只有一個零點.18、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設(shè)池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當(dāng)x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，用“設(shè)而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，則，點到直線的距離為，.令，則..∵在單調(diào)遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.21、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本小題先設(shè)過的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點、的坐標(biāo)為，，因為直線過點，所以可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡整理得，其中，所以，，因為，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)平面四邊形的面積為，則，設(shè)，則