第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i2025)=|2+i|(i為虛數(shù)單位)，則z=A.5?5i B.32.已知集合A={x|y=lg(x?2)}，B={x||x?1|<4,x∈Z}，則A∩B的非空子集個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.43.數(shù)據(jù)3，5，7，10，13，15，18，20的第25百分位數(shù)是(

)A.6 B.5 C.16 D.174.美加墨足球世界杯將于2026年6月至7月在美國、加拿大、墨西哥的16座城市舉行，將是首次有48支球隊(duì)參賽的世界杯，現(xiàn)在要從小馬、小丁、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事宣傳、后勤、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，若小馬和小丁只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有(????)種．A.120 B.60 C.24 D.365.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7=28，A.2 B.3 C.4 D.56.若圓x2+(y?2)2=r2(r>0)上到直線y=2x+4的距離為A.(0,355) B.(37.已知f(x)=ln(x+1),x≥0,ln(1?x),x<0,則f(x)>x+2?eA.(e,+∞) B.(e?1,+∞) C.(?∞,e?1) D.(?∞,e)8.已知拋物線y2=2px，F(xiàn)為它的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作垂直于準(zhǔn)線的直線，垂足分別為A1、B1，其中|A1B1A.6415 B.165 C.125二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知等比數(shù)列{an}滿足a3=2，a7=8，公比為q，前n項(xiàng)和為SnA.q=2 B.a2n+1=2n10.設(shè)函數(shù)f(x)=x+asinx，其中a為實(shí)數(shù)，則(

)A.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

B.若f(x)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(?1,1)

C.若x0為f(x)在(0,π)上的極小值點(diǎn)，當(dāng)?3≤a≤?2時，x0?f(x0)的最小值為3

D.當(dāng)a∈(11.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)為F1A.若存在點(diǎn)P使得△PF1F2為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為2+1

B.△PF1F2外接圓的面積的最小值為b2π

C.x軸與△P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(x,1)，b=(?3,3?x)，若a⊥(a+b)13.函數(shù)f(x)=ax?e2x2(a>0，且a≠1)14.貓?jiān)谧鐾晔中g(shù)后往往需要戴“防舔圈”(也被稱為“伊麗莎白圈”)保護(hù)傷口，可將其視為一個圓臺的側(cè)面.現(xiàn)有一個寬度(圓臺的母線)為13厘米的“防舔圈”，戴在一只貓的頭上，把貓頭理想化為一個半徑為5厘米的球，這個球與“防舔圈”口徑小的圓臺底面相切且與圓臺側(cè)面相切，為了舔不到傷口，頭到口徑大的圓臺底面的距離不小于2厘米，則口徑小的底面半徑最小為

厘米．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<π2)，滿足對于任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤f(π12)恒成立，且函數(shù)f(x)相鄰兩個零點(diǎn)的距離是π2．

(1)求f(x)的解析式，并寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)16.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63，上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(?1,0)的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，O17.(本小題15分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=π2，AB=2，BD=4，BC=CD，將△ABD沿BD翻折至二面角A?BD?C為90°，M為BD中點(diǎn)．

(1)求證：AM⊥CM；

(2)線段AD上是否存在一動點(diǎn)N，使得二面角N?BC?D為π3.若存在，求18.(本小題17分)

某智慧城市在主干道部署了5個獨(dú)立邊緣計算節(jié)點(diǎn).初始時，2個節(jié)點(diǎn)在線，3個為宕機(jī).每個月系統(tǒng)隨機(jī)等概率巡查1個節(jié)點(diǎn)：若該節(jié)點(diǎn)為宕機(jī)，則修復(fù)，成功率為p(0<p<1)；若該節(jié)點(diǎn)已在線，則僅進(jìn)行維護(hù).用Xn表示第n個月后在線節(jié)點(diǎn)數(shù)，E(Xn)表示其期望，且E(Xn+1)=(1?p5)E(Xn)+p．

(1)當(dāng)p=1319.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)?asinx，a≥1．

(1)若φ(x)=f(x)+asinxx+1，求φ(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)在區(qū)間(0,π)上存在唯一的零點(diǎn)和極值點(diǎn)；

(3)設(shè)f(x)在區(qū)間(0,π)上的零點(diǎn)為x0，極值點(diǎn)為x1，試比較參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.1013.(114.10315.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)相鄰兩個零點(diǎn)的距離是π2，可得函數(shù)的最小正周期T=2×π2=π=2πω，可得ω=2，

因?yàn)閒(x)≤f(π12)恒成立，可得2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，

而|φ|<π2，可得φ=π3，

所以f(x)=sin(2x+π3)，

令?π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，16.解：(1)設(shè)C的半焦距為c，

由題意可知：e=ca=63，且b=1，即c=63a，

因?yàn)閍2=b2+c2，即a2=1+23a2，解得a2=3，

所以橢圓C的方程為x23+y2=1；

(2)由題意可知過點(diǎn)(?1,0)的直線l的斜率不為0，且直線l與橢圓C必相交，

設(shè)直線l的方程為x=my?1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立方程x23+y2=1x=my?1，消去x得(m2+3)y2?2my?2=0，

17.(1)證明：因?yàn)锽C=CD，M為BD中點(diǎn)，

所以CM⊥BD，

因?yàn)槎娼茿?BD?C為90°，

所以平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，CM?平面BCD，

所以CM⊥平面ABD，又AM?平面ABD，

所以AM⊥CM；

(2)解：如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC，MD所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)M作Mz⊥平面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得BM=MD=12BD=2，CM=233，

所以A(0,?1,3)，B(0,?2,0)，C(233,0,0)，D(0,2,0)，

則AD=(0.3,?3)，BC=(233,2,0)，

設(shè)AN=tAD=(0,3t,?3t)，0≤t≤1，則N(0,3t?1,3?3t)，

則BN=(0,3t+1,3?3t)，

易知平面BCD的一個法向量m=(0,0,1)，

設(shè)平面NBC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?BC=0n?BN=0，即218.解：(1)若p=13，由題意可知：X1=2，3，

因?yàn)閄1=3表示巡查節(jié)點(diǎn)為宕機(jī)節(jié)點(diǎn)且修復(fù)成功，則P(X1=3)=35×13=15，

可得P(X1=2)=1?P(X1=3)=45，

又因?yàn)閄2=3表示在X1=2的前提下，巡查節(jié)點(diǎn)為宕機(jī)節(jié)點(diǎn)且修復(fù)成功的情況，或在X1=3的前提下，巡查節(jié)點(diǎn)為在線狀態(tài)且無需修復(fù)的情況，

所以P(X2=3)=45×35×13+15(1?25×13)=13；

(2)由題意可知：X1=2，3，

且P(X1=3)=35p，P(X1=2)=1?P(X1=3)=1?319.解：(1)已知f(x)=ln(1+x)?asinx，

則φ(x)=f(x)+asinxx+1=ln(1+x)x+1，其定義域?yàn)??1,+∞)，

可得：φ′(x)=11+x?(x+1)?ln(1+x)(x+1)2=1?ln(1+x)(x+1)2，

令φ′(x)=0，即1?ln(1+x)(x+1)2=0，則1?ln(1+x)=0，解得x=e?1，

當(dāng)?1<x<e?1時，1?ln(1+x)>0，φ′(x)>0，((x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>e?1時，1?ln(1+x)<0，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減，

因此，φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,e?1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e?1,+∞)；

(2)證明：對f(x)=ln(1+x)?asinx求導(dǎo)，可得f′(x)=11+x?acosx，

令g(x)=f′(x)=11+x?acosx，

對g(x)求導(dǎo)得g′(x)=?1(1+x)2+asinx，

當(dāng)x∈(0,π)時，?1(1+x)2<0，asinx>0，

所以g(x)>0，即f′(x)在(0,π)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒′(0)=1?a≤0，f′(π)=11+π+a>0，

根據(jù)零點(diǎn)存