2026屆上海市師大附中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.2．橢圓的長軸長是（）A.3 B.6C.9 D.43．在中，角、、的對邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.4．如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.5．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.6．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．已知為拋物線上一點，點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.38．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．不等式的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.10．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.11．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.12．與向量平行，且經(jīng)過點的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，則_________.14．已知函數(shù)的導函數(shù)為，，，則的解集為___________.15．某中學高三（2）班甲，乙兩名同學自高中以來每次考試成績的莖葉圖如圖所示，則甲的中位數(shù)與乙的極差的和為___________.16．如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.18．（12分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點，求的取值范圍；（2）是坐標原點，過的焦點且與交于兩點，求的面積.19．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.20．（12分）如圖，C是以為直徑的圓上異于的點，平面平面分別是的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.21．（12分）如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，（1）設，，，用向量表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值22．（10分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設為拋物線焦點，則，拋物線準線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.2、B【解析】根據(jù)橢圓方程有，即可確定長軸長.【詳解】由橢圓方程知：，故長軸長為6.故選：B3、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因為，則，則，由余弦定理可得，因為，則，故.故選：B.4、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B5、B【解析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題6、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.7、B【解析】先求出點的坐標，然后根據(jù)拋物線的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因為為拋物線上一點，所以，得，所以，拋物線的焦點為，因為點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡得，因為，所以，故選：B8、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C9、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個必要不充分條件是.故選：B10、D【解析】將題設條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題,也可以進行分情況討論.11、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C12、A【解析】利用點斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，進而可求得數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】由題意知：，即，而，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，有，∴，則.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由遞推關系求數(shù)列的通項，進而得到的通項公式寫出項.14、【解析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.【詳解】因為，所以，令，則，，所以是減函數(shù)，又，即，，所以，所以，則的解集為故答案為：15、111【解析】求出甲的中位數(shù)和乙的極差即得解.【詳解】解：由題得甲的中位數(shù)為，乙的極差為，所以它們的和為.故答案為：11116、2【解析】根據(jù)體積公式直接計算即可.【詳解】設正方體邊長為，則，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理即可求出的值;當直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標,即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達定理得：，，，當直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.18、（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程消去x，借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點縱坐標差的絕對值即可計算作答.【小問1詳解】依題意，由消去x并整理得：，因與有公共點，則，解得：，所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點，則，設，由(1)知，，則，因此，，所以的面積.19、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為（），聯(lián)立方程得設兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由分別是的中點，得到，在由是圓的直徑，所以，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標原點，為x軸，為y軸，過C垂直于面直線為z軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：在，因為分別是的中點，所以，又因為是圓的直徑，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因為，所以面.【小問2詳解】解：由（1）知面，所以直線與平面所成角為，由題意知，以C為坐標原點，為x軸，為y軸，過C垂直于面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，，設面的法向量為，則，取，可得，所以，設面的法向量為，則，取，可得，所以，則，所以銳二面角的余弦值為.21、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)向量加減法運算法則可得，根據(jù)計算可得的長度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計算可得結(jié)果.【