PAGEPAGE2新課標(biāo)必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議江蘇省錫ft高級中學(xué)楊志文5（）與原全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較課程內(nèi)容安排上的變化中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。教學(xué)要求的變化原大綱對“解斜三角形”的教學(xué)要求是：問題。通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。實(shí)習(xí)作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和實(shí)際操作的能力。《標(biāo)準(zhǔn)》對“解三角形”的教學(xué)要求是：三角形度量問題。能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。3、課程關(guān)注點(diǎn)的變化而《標(biāo)準(zhǔn)》則關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。側(cè)重點(diǎn)放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。4、內(nèi)容處理上的變化原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識(shí)的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題及教學(xué)建議要重視探究和推理《標(biāo)準(zhǔn)》要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建定理。從中體會(huì)發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法。參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明從特殊三角形入手進(jìn)行發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生觀察并測量一個(gè)三角板的邊長。提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，則有：

5sin300

10

8.6sin600

10

10sin900

10a b c對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 。sinA sinB sinC提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？實(shí)驗(yàn)，探索規(guī)律abcABCsinAsinBsinCa：sinAbabcABCsinAsinBsinCa：sinAb：sinBc：sinC得出試驗(yàn)結(jié)論忽略測量誤差，通過實(shí)驗(yàn)，對任意三角形，有結(jié)論：

a b c ，即在一個(gè)三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等。

sinA sinB sinC提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實(shí)驗(yàn)(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？研究定理證明的方法（向量法）①ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABCAjACjAB900-A量j與向量CB的夾角為90-（如圖），且有：ACCBAB，所以j·(AC+CB)=j·AB 即j·AC+j·CB=AB展開|j||AC|cos900+|j||CB|cos(900-C) =|j||AB|cos(900-A)a c則得asinC=csinA ， 即 。sinA sinCc同理，過點(diǎn)C做單位向量j垂直于CB,可得：

b ，故有

a b c 。sinC sinB sinA sinB sinCABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>90（如圖，過點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與ABA-900j與向量CB900-CACCBAB，同樣可證得：a b c 。BBjjACAC1BBjjACAC12提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？（）中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。要重視綜合應(yīng)用DCDC如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135BC教學(xué)建議：BBCDBC=135，BDC=30，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求.再引導(dǎo)學(xué)生將 A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理BC。

例2圖要重視實(shí)際應(yīng)用北C北CBA東1A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45A的距10C處正以20海里/h的速度向南偏東75的方向航行，已知甲船速度是20海里/h乙船相遇？tBACB，容易AB20BC海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。 D答:甲船沿北偏東75的方向，經(jīng)過0.5小時(shí)與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選擇了A，B，C三點(diǎn)，使ABBC60m，在A，B，C三點(diǎn)觀察塔的最高點(diǎn)，測得仰角分別為4554.260，若測量 E

例1圖者的身高為1.5m，試求電視塔的高(結(jié)果保留1位小). F教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在ACE中和BCE答:158.3m.

ABC例ABC要重視研究性學(xué)習(xí)解三角形的內(nèi)容有較強(qiáng)的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的參考案例：研究性學(xué)習(xí)課外研究題：將一塊圓心角為120，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計(jì)裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．教學(xué)建議課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)評。參考答案：這是一個(gè)如何下料的問題，一般有如圖1、圖）形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行。從圖形的特點(diǎn)來看，涉及到線段的長度和角度，將比較，就可以得出問題的結(jié)論．NMPNNMPNMO P A圖（1）

O Q A圖（2）按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點(diǎn)M在圓弧上，設(shè)MOA，則：MP20sin,OP20cosS400sincos200sin．即當(dāng)4

max

200．按的裁:矩形一邊PQ與弦AB平行設(shè)MOQ在中由正弦定理，得：20sinMQsin120

40 333

sin．3又MN2OMsin(60)40sin(60)，331600 3

800 ∴SMQMN∴當(dāng)30

sinsin(60) cos(260)cos60．3 3 400 3． max 33由于400 3

200，所以用