湖北省宜昌市秭歸縣第二中學2026屆高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.272．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.3．已知，則（）A. B.C. D.4．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.5．已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.126．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.57．日常飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時所需費用單位：元為那么凈化到純凈度為時所需凈化費用的瞬時變化率是（）元/t.A. B.C. D.8．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.9．在中，已知角A，B，C所對的邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.110．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.2211．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.12．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為.14．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________15．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______16．如圖：雙曲線的左右焦點分別為，，過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，其中P在右支上，且，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點，使MN//平面PAB？說明理由18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點.19．（12分）在實驗室中，研究某種動物是否患有某種傳染疾病，需要對其血液進行檢驗．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需要檢驗n次；二是混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，如果檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，那么這k份血液的檢驗次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的．且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；（2）假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：4個樣本混合在一起檢驗；方案二：4個樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)現(xiàn)將該4份血液樣本進行檢驗，試比較以上兩個方案中哪個更優(yōu)？20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，左焦點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.21．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.2、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B3、C【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C4、D【解析】若直線傾斜角為，由題設(shè)有，結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D5、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因為，，所以，故的周長為故選：B6、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點時，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C7、B【解析】由題意求出函數(shù)的導函數(shù)，然后令即可求解【詳解】因為，所以，則，故選：8、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.9、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.10、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.11、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因為函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C12、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.14、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e15、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.16、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，由雙曲線的對稱性知，P，Q關(guān)于原點O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點，連接，由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論；（2）取中點N，連接，，根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性【小問1詳解】如下圖，若為中點，連接，由E是PD的中點，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.小問2詳解】取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，線段存在點N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的動點，平面，∴平面PAB，∴線段存在點N，使得MN∥平面18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得，代入可得值，得定點坐標【小問1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點為，所以，解得（因為），所以拋物線方程為；【小問2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，所以，所以，直線不過原點，，所以所以直線過定點19、（1）（2）方案一更優(yōu)【解析】（1）分兩類，由古典概型可得;（2）分別求出兩種方案的數(shù)學期望，然后比較可知.【小問1詳解】恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢測出來分為兩種情況：第一種：前兩次檢測中出現(xiàn)一次陽性一次陰性且第三次為陽性第二種：前三次檢測均陰性，所以概率為【小問2詳解】方案一：混在一起檢驗，記檢驗次數(shù)為X，則X的取值范圍是，，，方案二：每組的兩個樣本混合在一起檢驗，若結(jié)果呈陰性，則檢驗次數(shù)為1，其概率為，若結(jié)果呈陽性，則檢驗次數(shù)為3，其概率為設(shè)檢驗次數(shù)為隨機變量Y，則Y的取值范圍是，，，，，所以，方案一更優(yōu)20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點斜式求出直線的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯(lián)立，設(shè)，則，∴的面積.點睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時弦長的計算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計算公式21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，