濱海新區(qū)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測卷高二年級(jí)數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間100分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題紙上.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利!第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將所選答案填入答題紙中的答題欄內(nèi).1.已知直線的方程是，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.5.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B. C. D.6.若1，，，5依次成等差數(shù)列，1，，4依次成等比數(shù)列，則的值為（）A.3 B.-3 C.或3 D.或47.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.內(nèi)含8.已知三棱錐O-ABC中，點(diǎn)M、N分別為AB、OC的中點(diǎn)，且，，，則（）A. B.C. D.9.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且圓C在A，B兩點(diǎn)處切線交于點(diǎn)M，若為正三角形，則（）．A.1 B.2 C.3 D.410.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，.則截口寬長為（）A. B. C. D.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.1 B. C. D.12.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則有下列說法：①若，，則平面；②若，，則平面；③若，則到平面的距離為；④若，時(shí)，直線與平面所成角為，則以上說法中正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.第II卷（90分）注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共12小題，共90分.二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.13.過點(diǎn)且垂直于的直線方程是_____.14.向量與共線，則_____.15.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．16.已知數(shù)列滿足，，則_____.17.已知等差數(shù)列的公差為,若成等比數(shù)列,則=_________，數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值是_________18.已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上的點(diǎn)，且滿足．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________，的面積為____________．19.角谷猜想又稱冰雹猜想，指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出：，共需要經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），（i）若，則使得至少需要_____步雹程；（ii）若，則所有可能取值的和為_____.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，滿足，與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的離心率的值為_____；若的面積為6，則雙曲線的方程為_____.三、解答題：本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.21.已知圓的圓心為，經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓方程；（2）若直線過點(diǎn)（2，2），與圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.22.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面和平面夾角的余弦值.23.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，（1）求橢圓的方程；（2）若為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)（異于點(diǎn)），過點(diǎn)作垂直于交直線于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線上.24.已知是遞增的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求，的通項(xiàng)公式：（2）對任意的，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，（i）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（ii）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.濱海新區(qū)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測卷高二年級(jí)數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間100分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題紙上.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利!第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將所選答案填入答題紙中的答題欄內(nèi).1.已知直線的方程是，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程可得直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】由，可得直線的斜率，設(shè)該直線的傾斜角為，，所以，所以.故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用的準(zhǔn)線方程為，能求出拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，故選A.本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程公式即可得到答案.【詳解】雙曲線中，則，故其漸近線方程為.故選：B.4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系的性質(zhì)求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)是.故選：D.5.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用兩直線平行關(guān)系求出m，然后利用條平行直線間的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，則直線與直線之間的距離是.故選：C6.若1，，，5依次成等差數(shù)列，1，，4依次成等比數(shù)列，則的值為（）A.3 B.-3 C.或3 D.或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比中項(xiàng)求值.【詳解】由題意可得，，，則，故的值為或3.故選：C7.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】A【解析】【分析】利用圓心距和半徑之間的關(guān)系判斷.【詳解】即，圓心，半徑，的圓心，半徑，則，故兩圓的位置關(guān)系是外切.故選：A8.已知三棱錐O-ABC中，點(diǎn)M、N分別為AB、OC的中點(diǎn)，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，可得.故選：D.9.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M，若為正三角形，則（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)三角形中的關(guān)系，結(jié)合垂徑定理求解即可.【詳解】因?yàn)闉檎切?，且均與圓相切，故，，由四邊形內(nèi)角和為可得.又圓，圓心為，半徑為.故到直線的距離為.故，解得或（舍）.故選：C10.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，.則截口寬長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出，再代入通徑公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，，解得，，可得，所以.故選：C.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知得，進(jìn)而有的公差，則，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，最后由不等式恒成立求參數(shù)最小值.【詳解】由題設(shè)，則，又為等差數(shù)列，則其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即實(shí)數(shù)最小值為.故選：B12.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則有下列說法：①若，，則平面；②若，，則平面；③若，則到平面的距離為；④若，時(shí)，直線與平面所成角為，則以上說法中正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷命題①②③④，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、、，則，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，故．對于①，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故?dāng)，時(shí)，平面，①對；對于②，當(dāng)，時(shí)，，，所以，即，所以當(dāng)，時(shí)，則平面，②對；對于③，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離為，③錯(cuò)；對于④，當(dāng)，時(shí)，，，，設(shè)，其中，任取、且，則，因?yàn)?，則，，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，故，④?故選：C.第II卷（90分）注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共12小題，共90分.二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.13.過點(diǎn)且垂直于的直線方程是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程即可求解斜率，根據(jù)垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求解直線方程.【詳解】由，得，所以直線的斜率為.所以與直線垂直的直線的斜率為，所以過點(diǎn)且垂直于的直線方程為，即.故答案為：.14.向量與共線，則_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，設(shè)，即，所以，解得，故.故答案為：.15.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】##【解析】【分析】代入遞推關(guān)系求值即得.【詳解】由題意得，，，，.故答案為：17.已知等差數(shù)列的公差為,若成等比數(shù)列,則=_________，數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值是_________【答案】①.②.【解析】【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，即，解得．∴．又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴數(shù)列前項(xiàng)和的最小值是．答案：，18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上的點(diǎn)，且滿足．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________，的面積為____________．【答案】①.3②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，利用求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出進(jìn)而求的面積即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則由拋物線的定義可知，解得，將代入拋物線方程，解得，由對稱性不妨取，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，解得，即，所以，所以的面積，故答案為：3；.19.角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出：，共需要經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），（i）若，則使得至少需要_____步雹程；（ii）若，則所有可能取值的和為_____.【答案】①.9②.41【解析】【分析】（i）根據(jù)運(yùn)算法則逐一計(jì)算；（ii）根據(jù)運(yùn)算法則逆向計(jì)算找出所有可能.【詳解】（i），故使得至少需要步雹程；（ii）若，則逆向計(jì)算，所有可能結(jié)果有，，，故所有可能取值為，其和為.故答案為：；20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，滿足，與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的離心率的值為_____；若的面積為6，則雙曲線的方程為_____.【答案】①.②.【解析】【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理，可求得，.代入，可得，從而求得雙曲線的離心率；由的面積為6，得的面積為12，從而求得的值，得到雙曲線的方程.【詳解】連接，設(shè)雙曲線的焦距為.由雙曲線的定義可知，，因?yàn)椋?由，得，所以，所以，所以.所以.由題可知，，所以，即.所以，所以.即雙曲線的離心率的值為.若的面積為6，則的面積，.即，所以，所以，所以.所以雙曲線的方程為.故答案為：①，②.三、解答題：本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.21.已知圓的圓心為，經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若直線過點(diǎn)（2，2），與圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離求出半徑，再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；（2）應(yīng)用圓的弦長公式計(jì)算得出，再設(shè)直線方程應(yīng)用點(diǎn)到直線距離計(jì)算求解.【小問1詳解】圓的半徑，所以圓的方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，且，所以由題意可知，直線的斜率定存在，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，即，所以，解得或，所以直線的方程為或，即或.綜上，的方程為或.22.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離；（3）求出平面的法向量，利用空間向量法求出兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，所以.以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以，，，則，即，，所以，，又因?yàn)?，且，平面，所以平?【小問2詳解】由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可得所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】由（2）可得平面的一個(gè)法向量為，又由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.23.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，（1）求橢圓的方程；（2）若為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓