天津市部分區(qū)2025～2026學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.5.下列說(shuō)法中，不正確的是（）A.已知變量和變量的四對(duì)隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.在研究吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001C.若隨機(jī)變量，則D.在1，4，7，8，11，15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為7.56.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)的圖象D.在區(qū)間上的最小值為7.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)．若，，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.8.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.9.在三棱錐中，，，，，，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.第II卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________．11.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)__________．（用數(shù)字作答）12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，且．若直線與圓相切，則___________．13.盒中有3個(gè)紅球、5個(gè)黑球（這些球除顏色外沒(méi)有其他差異）．隨機(jī)從中抽取一個(gè)球，觀察其顏色后放回，并放入2個(gè)與取出的球同色的球，再次從盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，則第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)__________；在第一次取出黑球的條件下，第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)__________．14.在梯形中，，，，．若，其中為實(shí)數(shù)，則___________；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．15.設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求值．17.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓頂點(diǎn)），直線相交于軸正半軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)，證明：為鈍角．19.已知為公比大于1等比數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，（i）記，寫出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）求的取值范圍；（ii）記最大值為，若，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．天津市部分區(qū)2025～2026學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算法則可直接求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，可?故選：A2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】若，則,故充分性不成立，若，則，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性排除AB；根據(jù)正負(fù)性排除C.【詳解】的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，故排除AB選項(xiàng)；因?yàn)椋?，所以的正?fù)性與的正負(fù)性相同，排除C.故選：D5.下列說(shuō)法中，不正確是（）A.已知變量和變量的四對(duì)隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.在研究吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001C.若隨機(jī)變量，則D.在1，4，7，8，11，15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為7.5【答案】C【解析】【分析】利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷C選項(xiàng)；計(jì)算百分位數(shù)判斷D選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，計(jì)算得，故直線過(guò)，A正確；選項(xiàng)B：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，且推斷犯錯(cuò)誤概率不大于，B正確；選項(xiàng)C：正態(tài)分布關(guān)于對(duì)稱，故，而非，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為中位數(shù)，第個(gè)數(shù)據(jù)是，第個(gè)數(shù)據(jù)是，中位數(shù)為，D正確.故選：C6.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)的圖象D.在區(qū)間上的最小值為【答案】D【解析】【分析】先將函數(shù)化為的形式，再逐一分析周期、對(duì)稱性、平移變換和區(qū)間最值，從而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)：最小正周期，不是，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：正弦函數(shù)的對(duì)稱軸滿足,為整數(shù)，檢驗(yàn)，將其代入后得，不是整數(shù)，所以圖像并不關(guān)于對(duì)稱，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：左移得，而非，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：在上，，，所以，最小值為，該選項(xiàng)正確.故選：7.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)．若，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】比較的大小關(guān)系，再結(jié)合單調(diào)性即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，故.故選：C8.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖利用點(diǎn)線距和勾股定理求出，過(guò)點(diǎn)作于，推理可得，根據(jù)解三角形和雙曲線的定義可得，即可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，則，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則，且為線段的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則為銳角，且，可得，，由雙曲線定義得，即，解得．所以該雙曲線的離心率為．故選：C．9.在三棱錐中，，，，，，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先找到外接球球心位置判斷出，設(shè)在底面的投影為，利用三垂線定理證明底面為矩形，再由勾股定理求出棱錐的高，然后計(jì)算體積可得.【詳解】因?yàn)?，，由直角三角形斜邊的中線為斜邊的一半可得三棱錐的外接球球心在的中點(diǎn)，又三棱錐的外接球的表面積為，設(shè)外接球半徑為，所以，即，設(shè)在底面的投影為，則底面，因?yàn)?，，由三垂線定理可得，同理可得，又，所以底面為矩形，所以，所以，所以三棱錐的體積為.故選：B.第II卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則和模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故答案為：11.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先求通項(xiàng)，由通項(xiàng)即可求解.【詳解】由題二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為令，解得，所以的系數(shù)為.故答案為：.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，且．若直線與圓相切，則___________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)及直線的方程，再利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，得，解得，拋物線方程為，設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，，點(diǎn)，而，直線的方程為，即，由直線與圓相切，得.故答案為：313.盒中有3個(gè)紅球、5個(gè)黑球（這些球除顏色外沒(méi)有其他差異）．隨機(jī)從中抽取一個(gè)球，觀察其顏色后放回，并放入2個(gè)與取出的球同色的球，再次從盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，則第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)__________；在第一次取出黑球的條件下，第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)__________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用全概率公式計(jì)算即可求得第二次取出的球是黑球的概率，再結(jié)合條件概率以及乘法公式計(jì)算可得在第一次取出黑球的條件下，第二次取出的球是黑球的概率.【詳解】根據(jù)題意記“第一次取出紅球”為事件，“第二次取出黑球”為事件，易知，再由放球規(guī)則可知，第二次取球時(shí)袋中共有10個(gè)球，所以可得；由全概率公式可得第二次取出的球是黑球的概率為；在第一次取出黑球的條件下，第二次取出的球是黑球的概率為.故答案為：14.在梯形中，，，，．若，其中為實(shí)數(shù)，則___________；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】①.②.【解析】【分析】建系并標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)題意可得，即可得和；設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而分析的最小值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，，，因?yàn)椋瑒t，可得，又因?yàn)?，則，解得，所以；設(shè)，，即，則，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.故答案為：；.15.設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】討論的范圍，結(jié)合函數(shù)圖像，一元二次方程根的分布，導(dǎo)數(shù)等確定符合題意的的范圍即可.【詳解】設(shè)，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即圖像與圖像恰有3個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由圖像可得此時(shí)最多有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)即，至少有1個(gè)解，則，得，則當(dāng)時(shí)，必有2個(gè)解，則需當(dāng)時(shí)恰有1個(gè)解，此時(shí)，，即在處的切線更陡，則只需即可，即；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，與恰有3個(gè)交點(diǎn)，由于與均關(guān)于直線軸對(duì)稱，且直線不是方程的解，則只需要時(shí)恰有2解，時(shí)恰有1解即可，當(dāng)時(shí)，如圖，恰有3個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，即，解得或或符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，，若，則在至多有1個(gè)零點(diǎn)，在至多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若，則，對(duì)稱軸，且，，則在有2個(gè)零點(diǎn)，在有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系，再代入余弦定理，建立方程求解；(2)用正弦定理求解；(3)用三角函數(shù)的二倍角及和角公式求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及，得，得由余弦定理，即，，，.【小問(wèn)2詳解】由上一小問(wèn)可知，由正弦定理得，從而.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，，?17.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量即可證明平面；（2）先求兩個(gè)平面的法向量，兩個(gè)法向量夾角的余弦值就是平面與平面夾角的余弦值；（3）求出平面法向量后使用點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，依題意，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，不妨設(shè)，得，所以平面的一個(gè)法向量為，依題意，，有，故又因?yàn)槠矫?，所以平面【小?wèn)2詳解】因?yàn)橹彼睦庵?，平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.所以，點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線相交于軸正半軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)，證明：為鈍角．【答案】（1）（2）（0，2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式以及即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由向量關(guān)系坐標(biāo)化可解得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解；（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式，再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)不等式求解可得范圍.小問(wèn)1詳解】依題意得，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由可得，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，從而，又因?yàn)?，所以．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，所以和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率，從而的垂直平分線的斜率為2，所以的垂直平分線的方程為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得，，，由于，，所以為鈍角.19.已知為公比大于1的等比數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，（i）記，寫出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）（i）3，6，9，；（ii）【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為，由等比數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系得到方程組解得，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）（i）由遞推