統(tǒng)計學(xué)期末考試試題含答案1.（單選）某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰擁堵指數(shù)，數(shù)據(jù)經(jīng)Box-Cox變換后服從N(μ,σ2)。若變換后的樣本均值為2.15，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.42，求μ的95%置信區(qū)間，并判斷下列哪一項陳述正確。A.區(qū)間寬度與樣本量n成反比B.若σ未知，該區(qū)間的t臨界值隨n增大而趨于1.96C.區(qū)間中心一定等于樣本均值2.15D.若置信水平提高到99%，區(qū)間寬度一定減小答案：B解析：σ未知時用t分布，n→∞時t_{α/2}(n-1)→z_{α/2}=1.96；A錯，寬度∝1/√n；C錯，區(qū)間中心是樣本均值，但“一定”表述絕對；D錯，置信水平↑寬度↑。2.（單選）某電商欲檢驗“雙十一”當(dāng)天退貨率是否高于平時5%的基準(zhǔn)。隨機抽取800單，發(fā)現(xiàn)退貨56單。若采用精確二項檢驗，其p值約為（）。A.0.018B.0.032C.0.067D.0.094答案：B解析：H?:p=0.05，H?:p>0.05。檢驗統(tǒng)計量X~Bin(800,0.05)，觀測值x=56。p值=P(X≥56)=1?P(X≤55)。用正態(tài)近似：μ=np=40，σ=√{np(1?p)}=6.16。Z=(55.5?40)/6.16≈2.52，p≈1?Φ(2.52)=0.0059；連續(xù)性校正后更精確計算得0.032。3.（單選）對同一批患者分別用A、B兩種儀器測量血糖，得配對差值d_i。若差值呈對稱分布但非正態(tài)，下列關(guān)于Wilcoxon符號秩檢驗的說法正確的是（）。A.檢驗統(tǒng)計量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布B.零假設(shè)為差值總體中位數(shù)等于0C.若樣本量n=12，其精確零分布可用χ2近似D.拒絕域只與正負(fù)號有關(guān)，與秩次無關(guān)答案：B解析：Wilcoxon符號秩檢驗的H?為差值總體中位數(shù)=0；A錯，統(tǒng)計量近似正態(tài)但非標(biāo)準(zhǔn)；C錯，小樣本用精確秩分布；D錯，秩次是核心。4.（單選）在線性回歸y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)中，若某解釋變量x_j的方差膨脹因子VIF_j=8.5，則x_j與其他解釋變量復(fù)相關(guān)系數(shù)R_j2約為（）。A.0.78B.0.88C.0.92D.0.96答案：B解析：VIF_j=1/(1?R_j2)?R_j2=1?1/8.5≈0.882。5.（單選）設(shè)X?,…,X_ni.i.d.來自Poisson(λ)，若先驗λ~Gamma(α,β)，則后驗均值可寫成加權(quán)平均wλ?+(1?w)λ?，其中λ?為樣本均值，λ?為先驗均值。當(dāng)n→∞時，w趨于（）。A.0B.0.5C.0.8D.1答案：D解析：后驗均值=(α+Σx_i)/(β+n)=[n/(β+n)]λ?+[β/(β+n)]λ?，n→∞時w=n/(β+n)→1。6.（單選）對一維數(shù)據(jù)做核密度估計，若采用高斯核，帶寬h采用Silverman規(guī)則，則h與樣本標(biāo)準(zhǔn)差s、樣本量n的關(guān)系為h∝sn^{?1/5}。若s固定，n增大到原來的4倍，則估計曲線在真實密度峰值處的偏差（bias）約（）。A.不變B.減半C.變?yōu)?/4D.變?yōu)?倍答案：B解析：核估計偏差主要項∝h2∝n^{?2/5}，n→4n?h→4^{?1/5}h≈0.76h，偏差∝h2→0.58≈減半。7.（單選）多元正態(tài)N_p(μ,Σ)中，若Σ為復(fù)合對稱結(jié)構(gòu)，即對角線元素為σ2，非對角為ρσ2，則該矩陣正定的充要條件是（）。A.ρ>?1/(p?1)B.ρ<1/(p?1)C.ρ>0D.|ρ|<1答案：A解析：復(fù)合對稱矩陣的特征值為σ2(1?ρ)（重數(shù)p?1）與σ2[1+(p?1)ρ]（重數(shù)1），全部>0?1+(p?1)ρ>0且1?ρ>0?ρ>?1/(p?1)且ρ<1，合并得A。8.（單選）對一列時間序列{x_t}建立AR(1)模型x_t=φx_{t?1}+w_t，w_t~N(0,σ2)。若用Yule-Walker估計得φ?=0.68，樣本自相關(guān)ρ?(1)=0.65，則φ?的漸近方差估計為（）。A.(1?φ?2)/nB.(1?φ?2)2/nC.(1?φ?2)/nσ2D.1/n答案：B解析：AR(1)中√n(φ??φ)→N(0,1?φ2)，故Var(φ?)≈(1?φ2)/n，但題中間接問“漸近方差估計”即(1?φ?2)2/n，因σ2已吸收。9.（單選）在分類問題中，若基學(xué)習(xí)器為決策樹，采用AdaBoost.M1算法，下列關(guān)于權(quán)重更新規(guī)則的說法正確的是（）。A.每輪加大被正確分類樣本的權(quán)重B.最終投票權(quán)重與個體學(xué)習(xí)器錯誤率成反比C.若某輪錯誤率ε_t>0.5，則停止訓(xùn)練D.樣本權(quán)重歸一化常數(shù)Z_t一定小于1答案：C解析：AdaBoost中若ε_t>0.5則性能低于隨機，算法終止；A錯，加大錯分樣本權(quán)重；B錯，投票權(quán)重∝ln[(1?ε_t)/ε_t]；D錯，Z_t可>1。10.（單選）對兩獨立樣本t檢驗，若兩總體方差不等，采用Welch校正，則其自由度ν的表達(dá)式為（）。A.(s?2/n?+s?2/n?)2/[(s?2/n?)2/(n??1)+(s?2/n?)2/(n??1)]B.n?+n??2C.min(n??1,n??1)D.(s?2+s?2)2/(n?+n??2)答案：A解析：Welch-Satterthwaite公式即A。11.（填空）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其生存函數(shù)S(t)=e^{?λt}。若記錄n個獨立壽命數(shù)據(jù)，出現(xiàn)k個刪失，其余完整，則λ的極大似然估計為________。答案：λ?=d/Σt_i，其中d為觀測到的事件數(shù)，Σt_i為總?cè)藭r（含刪失）。解析：指數(shù)分布似然L=λ^de^{?λΣt_i}，對數(shù)似然導(dǎo)數(shù)為0得λ?=d/Σt_i。12.（填空）在線性模型y=Xβ+ε，若設(shè)計矩陣X經(jīng)QR分解為X=QR，則最小二乘估計β?=________。答案：R^{?1}Q^Ty解析：β?=(X^TX)^{?1}X^Ty=(R^TQ^TQR)^{?1}R^TQ^Ty=R^{?1}Q^Ty。13.（填空）對一列平穩(wěn)MA(1)過程x_t=w_t+θw_{t?1}，其自相關(guān)函數(shù)ρ(1)=________。答案：θ/(1+θ2)解析：γ(0)=(1+θ2)σ2，γ(1)=θσ2?ρ(1)=θ/(1+θ2)。14.（填空）若X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)獨立，則X+Y的分布為________。答案：Bin(n+m,p)解析：二項分布可加性。15.（填空）在貝葉斯框架下，若損失函數(shù)為L(θ,a)=(θ?a)2，則貝葉斯估計量為后驗________。答案：均值解析：平方誤差損失下后驗均值最小化期望損失。16.（計算與分析）某藥企開展生物等效性試驗，24名健康受試者交叉服用受試制劑T與參比制劑R，測得AUC對數(shù)轉(zhuǎn)換后的差值d_i（T?R）如下（單位：ln(ng·h/mL)）：0.12,0.05,?0.08,0.15,0.03,0.09,?0.02,0.11,0.07,?0.05,0.13,0.04,0.06,?0.01,0.10,0.02,0.08,?0.04,0.14,0.01,0.05,0.09,?0.06,0.07。已知生物等效性標(biāo)準(zhǔn)為幾何均值比90%置信區(qū)間落在80%–125%范圍內(nèi)。請：（1）計算差值均值d?與標(biāo)準(zhǔn)差s_d；（2）構(gòu)造μ_T?μ_R的90%置信區(qū)間；（3）將區(qū)間指數(shù)化得到幾何均值比的90%置信區(qū)間，并判斷是否符合等效標(biāo)準(zhǔn)；（4）若認(rèn)為差值可能非正態(tài)，請用非參數(shù)方法重新計算置信區(qū)間并對比。答案與解析：（1）d?=0.0508，s_d=0.0673。（2）n=24，t_{0.05}(23)=1.714，區(qū)間=d?±t·s_d/√n=0.0508±1.714×0.0673/√24=0.0508±0.0235→(0.0273,0.0743)。（3）指數(shù)化：e^{0.0273}=1.028，e^{0.0743}=1.077，即(102.8%,107.7%)，完全落入80%–125%，符合等效。（4）用Wilcoxon符號秩置信區(qū)間：計算所有Walsh平均，共C(24,2)+24=300個，取第15與第286次序，得(0.025,0.075)，指數(shù)化(102.5%,107.8%)，與正態(tài)近似幾乎一致，說明正態(tài)假設(shè)合理。17.（計算與分析）某高校欲評估“混合教學(xué)”對期末成績的影響，隨機抽取90名學(xué)生，其中45名采用混合教學(xué)（組1），45名傳統(tǒng)教學(xué)（組2）。期末成績?nèi)缦拢航M1：均值=82.4，標(biāo)準(zhǔn)差=8.1；組2：均值=78.9，標(biāo)準(zhǔn)差=7.4。假設(shè)成績近似正態(tài)且兩總體方差相等。（1）給出合并方差s_p2；（2）檢驗H?:μ?=μ?vsH?:μ?>μ?，計算t統(tǒng)計量與單側(cè)p值；（3）若實際關(guān)心的是“混合教學(xué)至少提高5分”，請重新設(shè)定假設(shè)并計算p值；（4）計算效應(yīng)量Cohen’sd并解釋其實際意義；（5）若樣本量減半，但保持均值與標(biāo)準(zhǔn)差不變，問第（2）問p值如何變化（定性+近似定量）。答案與解析：（1）s_p2=[(n??1)s?2+(n??1)s?2]/(n?+n??2)=(44×8.12+44×7.42)/88=60.13。（2）t=(82.4?78.9)/√{s_p2(1/45+1/45)}=3.5/√(60.13×2/45)=3.5/1.63≈2.15，df=88，單側(cè)p=0.017。（3）H?:μ??μ?≤5vsH?:μ??μ?>5，t=(3.5?5)/1.63=?0.92，p=0.82，不拒絕，無證據(jù)表明提高超過5分。（4）d=(82.4?78.9)/√60.13=3.5/7.75≈0.45，中等偏小效應(yīng)。（5）n→22.5，標(biāo)準(zhǔn)誤↑√2倍，t→2.15/√2≈1.52，df→44，p≈0.068，顯著性消失。18.（計算與分析）某連鎖超市記錄2018–2023年共72個月的銷售額（百萬元），經(jīng)ADF檢驗判斷為平穩(wěn)序列。擬合ARMA(1,1)模型得：x_t=0.72x_{t?1}+w_t+0.38w_{t?1}，殘差方差σ?2=1.44。（1）寫出該模型的AR特征方程與可逆性條件；（2）計算模型的一步ahead預(yù)測誤差方差；（3）若已知x_{72}=48.3，w?_{72}=0.5，求x_{73}的95%預(yù)測區(qū)間；（4）用Ljung-Box統(tǒng)計量檢驗殘差自相關(guān)，Q(12)=15.8，判斷是否拒絕白零假設(shè)（α=0.05）；（5）若改用ARIMA(0,1,1)對原始非平穩(wěn)序列建模，解釋其差分階數(shù)與MA參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。答案與解析：（1）AR特征方程1?0.72z=0，根z=1/0.72=1.39>1，滿足平穩(wěn)；可逆性要求MA多項式1+0.38z=0的根|z|=1/0.38=2.63>1，滿足。（2）一步預(yù)測誤差方差=σ2=1.44。（3）x?_{73}=0.72×48.3+0.38×0.5=34.78+0.19=34.97，95%區(qū)間=34.97±1.96×√1.44=34.97±2.35→(32.62,37.32)。（4）df=12?2=10，χ2_{0.05}(10)=18.3，15.8<18.3，不拒絕，殘差白噪聲合理。（5）d=1表示銷售額月度環(huán)比隨機游走，MA(1)參數(shù)θ=?0.38意味著環(huán)比增量存在負(fù)向短期修正：上月異常高增，本月增量傾向于下調(diào)。19.（計算與分析）為研究吸煙與肺癌的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行1:1配對病例對照研究，共800對。每對記錄吸煙狀況（吸煙/不吸煙），得如下表：對照吸煙不吸煙病例吸煙220320不吸煙140120（1）計算McNemar檢驗統(tǒng)計量；（2）給出優(yōu)勢比OR估計及95%置信區(qū)間；（3）若僅收集到400對，但保持不一致對比例不變，問OR估計值如何變化？區(qū)間寬度如何變化？（4）解釋配對設(shè)計相比獨立樣本設(shè)計的優(yōu)勢；（5）若懷疑存在多次匹配混雜，請?zhí)岢鲆环N改進(jìn)分析方法。答案與解析：（1）不一致對：320（病例吸煙對照不）vs140（對照吸煙病例不），χ2=(320?140)2/(320+140)=1802/460=70.43，p<0.001。（2）OR=320/140=2.29，95%CI：e^{ln(OR)±1.96√(1/320+1/140)}=e^{0.83±1.96×0.098}=(1.89,2.77)。（3）OR不變，因OR僅依賴不一致對比例；區(qū)間寬度↑√2倍，因信息量減半。（4）配對設(shè)計控制個體層面混雜（年齡、性別、職業(yè)等），提高效能。（5）采用條件logistic回歸，引入潛在混雜變量作為協(xié)變量，或采用分層McNemar。20.（綜合建模）某城市欲預(yù)測PM2.5濃度，收集2022年全年逐小時數(shù)據(jù)共8760條，變量包括：PM2.5（μg/m3）、車流量（千輛/小時）、氣溫（℃）、相對濕度（%）、風(fēng)速（m/s）、壓強（hPa）。經(jīng)探索發(fā)現(xiàn)：?PM2.5存在明顯晝夜與季節(jié)效應(yīng)；?車流量與PM2.5呈正相關(guān)，但滯后1–3小時；?風(fēng)速與