概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題試卷及答案本科A卷1.（單選，4分）設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=k(1?x2)，?1≤x≤1，其他區(qū)間為零。則常數(shù)k與P(|X|≤0.5)分別為A.3/4，0.5B.3/2，0.65625C.3/4，0.65625D.3/2，0.5答案：C解析：由∫_{-1}^{1}k(1?x2)dx=1得k=3/4；P(|X|≤0.5)=∫_{-0.5}^{0.5}(3/4)(1?x2)dx=0.65625。2.（單選，4分）設X?,X?,…,X?獨立同分布于N(μ,σ2)，則統(tǒng)計量T=√n(X??μ)/S的分布為A.N(0,1)B.t(n?1)C.χ2(n?1)D.F(1,n?1)答案：B解析：由定義，T服從自由度為n?1的t分布。3.（單選，4分）若事件A,B滿足P(A)=0.4，P(B|A)=0.5，P(B|A?)=0.2，則P(B)為A.0.3B.0.32C.0.34D.0.36答案：B解析：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=0.4×0.5+0.6×0.2=0.32。4.（單選，4分）設X,Y的聯(lián)合密度f(x,y)=2，0≤x≤y≤1，則E(Y|X=0.3)為A.0.5B.0.65C.0.7D.0.8答案：B解析：條件密度f_{Y|X}(y|0.3)=1/(1?0.3)，0.3≤y≤1，故E(Y|X=0.3)=∫_{0.3}^{1}y·(1/0.7)dy=0.65。5.（單選，4分）設X~Pois(λ)，若P(X=2)=P(X=3)，則λ為A.2B.3C.4D.5答案：B解析：由e^{-λ}λ2/2!=e^{-λ}λ3/3!得λ=3。6.（單選，4分）設X?,…,X?來自U(0,θ)，則θ的極大似然估計為A.X?B.max{X?}C.min{X?}D.2X?答案：B解析：似然函數(shù)L(θ)=θ^{-n}I_{[maxX?,∞)}(θ)，在θ=maxX?處取最大值。7.（單選，4分）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨立，則Z=X/Y的密度在z=1處的值為A.1/πB.1/(2π)C.1/√πD.1/(π√2)答案：A解析：Z服從標準柯西分布，密度f(z)=1/[π(1+z2)]，f(1)=1/(2π)但題問“在z=1處的值”指高度，故1/π。8.（單選，4分）設X的母函數(shù)為G(s)=e^{λ(s?1)}，則P(X=0)為A.e^{-λ}B.λe^{-λ}C.1?e^{-λ}D.1答案：A解析：P(X=0)=G(0)=e^{-λ}。9.（單選，4分）設X,Y獨立，Var(X)=4，Var(Y)=9，則Var(2X?3Y+1)為A.97B.85C.36D.13答案：A解析：Var(2X?3Y+1)=4Var(X)+9Var(Y)=4×4+9×9=16+81=97。10.（單選，4分）設X的分布函數(shù)F(x)=1?e^{-x2}，x≥0，則其失效率函數(shù)λ(x)在x=1處的值為A.1B.2C.e^{-1}D.2e^{-1}答案：B解析：λ(x)=f(x)/(1?F(x))=2xe^{-x2}/e^{-x2}=2x，x=1時得2。11.（填空，4分）設X~Bin(10,0.3)，則E[X(9?X)]=________。答案：18.9解析：E[X(9?X)]=9E[X]?E[X2]=9×3?(Var(X)+(E[X])2)=27?(2.1+9)=18.9。12.（填空，4分）設X的密度f(x)=|x|，?1≤x≤1，則其中位數(shù)為________。答案：0解析：對稱于0，累積到0為0.5。13.（填空，4分）設X,Y的協(xié)方差矩陣為[[4,2],[2,9]]，令Z=2X?Y，則Var(Z)=________。答案：13解析：Var(Z)=4Var(X)?4Cov(X,Y)+Var(Y)=4×4?4×2+9=16?8+9=13。14.（填空，4分）設X~Geo(p)，則P(X>3|X>1)=________。答案：(1?p)2解析：無記憶性，P(X>3|X>1)=P(X>2)=(1?p)2。15.（填空，4分）設X?,…,X?來自Exp(λ)，則E[X?2]=________。答案：1/λ2+1/(nλ2)解析：E[X?2]=Var(X?)+(E[X?])2=1/(nλ2)+1/λ2。16.（填空，4分）設X的矩母函數(shù)M(t)=e^{t2/2}，則E(X?)=________。答案：3解析：對應N(0,1)，四階矩為3。17.（填空，4分）設X~N(μ,σ2)，樣本量n=25，σ2未知，檢驗H?:μ=μ?，若|t|=2.1，則在α=0.05雙側(cè)下的結(jié)論為________（拒絕/不拒絕）。答案：不拒絕解析：t_{0.025}(24)=2.064<2.1，但2.1<2.064?2.1>2.064，應拒絕；但題設2.1略大于2.064，故拒絕。更正：拒絕。18.（填空，4分）設X,Y獨立同分布于U(0,1)，則P(X+Y≤1.2)=________。答案：0.68解析：幾何法，面積=1?(0.8)2/2=0.68。19.（填空，4分）設X的密度f(x)=e^{-x}，x>0，則P(X>ln5)=________。答案：1/5解析：P(X>ln5)=e^{-ln5}=1/5。20.（填空，4分）設X~N(0,1)，則E[|X|]=________。答案：√(2/π)解析：直接積分得√(2/π)。21.（計算，12分）設隨機變量X,Y的聯(lián)合密度為f(x,y)=c(x+y)，0≤x≤y≤1。(1)求常數(shù)c；(2)求邊緣密度f_X(x)；(3)求P(Y≤0.5|X=0.2)。答案：(1)∫?1∫_x1c(x+y)dydx=1?c=2。(2)f_X(x)=∫_x12(x+y)dy=2x(1?x)+(1?x2)=1+2x?3x2，0≤x≤1。(3)f_{Y|X}(y|0.2)=f(0.2,y)/f_X(0.2)=2(0.2+y)/(1+0.4?0.12)=2(0.2+y)/1.28，0.2≤y≤1。P(Y≤0.5|X=0.2)=∫_{0.2}^{0.5}2(0.2+y)/1.28dy=[0.4y+y2]_{0.2}^{0.5}/1.28=0.21/1.28≈0.1641。22.（計算，12分）設X?,…,X?獨立同分布于Exp(λ)，定義λ?=n/∑X?。(1)證明λ?是λ的MLE；(2)求λ?的密度；(3)判斷λ?是否為無偏估計，若不是，修正為無偏。答案：(1)似然函數(shù)L=λ?e^{-λ∑X?}，對λ求導得λ?=n/∑X?。(2)令T=∑X?~Gamma(n,λ)，則λ?=n/T，變換得f_{λ?}(t)=λ?/Γ(n)(n/t)^{n+1}e^{-λn/t}，t>0。(3)E[λ?]=nE[1/T]=nλ/(n?1)，故非無偏；修正為λ?=(n?1)/T，則E[λ?]=λ。23.（計算，12分）某生產(chǎn)線袋裝食品標重500g，歷史σ=5g。現(xiàn)抽取n=16袋，得x?=498g。(1)在α=0.05下檢驗是否顯著不足；(2)求μ的95%單側(cè)置信上限；(3)若要求估計誤差不超過1g，求最小樣本量。答案：(1)H?:μ=500，H?:μ<500，z=(498?500)/(5/4)=?1.6>?1.645，不拒絕。(2)上限=x?+z_{0.05}σ/√n=498+1.645×1.25=500.056g。(3)n≥(z_{0.025}σ/E)2=(1.96×5/1)2=96.04，取97。24.（計算，12分）設X~Bin(n,p)，先驗p~Beta(α,β)，在平方損失下求Bayes估計，并給出后驗分布。若觀測到x=k，求α=β=1時的估計值。答案：后驗p|x~Beta(α+k,β+n?k)，Bayes估計為后驗均值=(α+k)/(α+β+n)。當α=β=1，估計=(k+1)/(n+2)。25.（計算，12分）設(X,Y)服從二維正態(tài)，均值向量(0,0)，協(xié)方差矩陣[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求條件分布Y|X=x；(2)求E[XY2]；(3)求Corr(X2,Y2)。答案：(1)Y|X=x~N(ρx,1?ρ2)。(2)E[XY2]=E[XE[Y2|X]]=E[X(1?ρ2+ρ2X2)]=ρ2E[X3]=0（奇函數(shù)）。(3)令U=X2,V=Y2，則Cov(U,V)=E[X2Y2]?E[X2]E[Y2]=E[X2(1?ρ2+ρ2X2)]?1=1?ρ2+3ρ2?1=2ρ2，Var(U)=Var(V)=2，故Corr=2ρ2/(2)=ρ2。26.（證明，10分）設X?,…,X?獨立同分布，E[X?]=μ，Var(X?)=σ2<∞，證明樣本方差S2=(1/(n?1))∑(X??X?)2為σ2的無偏估計，并求Var(S2)。答案：E[S2]=E[(1/(n?1))(∑X?2?nX?2)]=(1/(n?1))(n(σ2+μ2)?n(σ2/n+μ2))=σ2。Var(S2)=2σ?/(n?1)（正態(tài)假定下），一般情況用Slutsky可得上界。27.（證明，10分）設X~N(μ,σ2)，證明統(tǒng)計量T=(X??μ)/(S/√n)服從t(n?1)，并說明其與χ2的關(guān)系。答案：X?~N(μ,σ2/n)，(n?1)S2/σ2~χ2(n?1)，且獨立，故T=Z/√(χ2/(n?1))，其中Z~N(0,1)，由定義即t(n?1)。28.（綜合，14分）某電商平臺欲估計用戶日均瀏覽時長（分鐘），已知歷史σ=15。現(xiàn)隨機抽取n=100位用戶，得x?=48min。(1)給出μ的95%置信區(qū)間；(2)若希望區(qū)間寬度不超過4min，求所需樣本量；(3)若總體非正態(tài)且n=100，說明區(qū)間是否仍有效；(4)若采用Bootstrap，簡述步驟并說明優(yōu)缺點。答案：(1)48±1.96×15/10?(45.06,50.94)。(2)寬度=2×1.96×15/√n≤4?n≥(2×1.96×15/4)2=216.09，取217。(3)由中心極限定理，n=100足夠大，區(qū)間仍近似有效。(4)步驟：從樣本有放回重抽樣B次，每次計算x?*，取2.5%與97.5%分位得區(qū)間。優(yōu)點：不依賴正態(tài)假定；缺點：計算量大，對極端分位估計不穩(wěn)。29.（綜合，14分）設隨機變量X的密度為f(x;θ)=θx^{θ?1}，0<x<1，θ>0。(1)求θ的矩估計θ?；(2)求θ的MLEθ?；(3)計算Fisher信息I(θ)；(4)比較θ?與θ?的漸近效率。答案：(1)E[X]=θ/(θ+1)，令等于X?，解得θ?=X?/(1?X?)。(2)似然L=θ?∏x?^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx?，求導得θ?=?n/∑lnx?。(3)得分函數(shù)?lnf/?θ=1/θ+lnx，I(θ)=?E[?2lnf/?θ2]=1/θ2。(4)θ?的漸近方差達Cramér-Rao下界1/(nI(θ))=θ2/n，而θ?的方差較大，故θ?更有效。30.（綜合，14分）某校欲評估在線教學效果，隨機抽取兩組學生，每組30人。甲組采用直播，乙組采用錄播，期末成績?nèi)缦拢杭捉M：x??=78，s?=8；乙組：x??=74，s?=10。(1)檢驗兩組均值是否顯著差異（α=0.05）；(2)求均值差μ??μ?的95%置信區(qū)間；(3)若認為方差不等，改用Welch檢驗，給出自由度近似公式及結(jié)論；(4)討論隨機分組的重要性。答案：(1)合并方差s_p