第頁(yè)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《7.5判斷兩直線平行的五種方法》同步練習(xí)題（含答案解析）知識(shí)清單一、判斷兩直線平行的方法1平行線的定義（在同一平面內(nèi)。不相交的兩條直線叫做平行線：2平行于同一條直線的兩條直線平行：3.同位角相等，兩直線平行：4內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行：5同旁?xún)?nèi)角夏補(bǔ)，兩直線平行：6.在同一平面內(nèi)，同垂直于第三條直線的兩直線平行二、判定兩直線平行的基本思路1,基本圖形法：若是“三線八角”的基本圖形，剝可利用同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角和等我同常內(nèi)角互補(bǔ)來(lái)說(shuō)明：若是”第三直線”的基本圖形，則可運(yùn)用“第三直錢(qián)線”（平行煮色直）來(lái)說(shuō)明2,添加輔助線法：若圖形不具備“基本圖形”的特征，可作適當(dāng)?shù)妮o動(dòng)線，使它具備基本圖形的補(bǔ)征，再運(yùn)用“基本圖形法”來(lái)說(shuō)明類(lèi)型一、同位角相等，兩直線平行1．（七年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°，直線l?與l22．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，直線AB，AC，CD被直線BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求證：AB∥CD．類(lèi)型二、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行3．（22-23七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，∠1=82°，∠2=98°，∠C=∠D，試探索∠A與∠F有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．（21-22七年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．試判斷BE與CF的關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．類(lèi)型三、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行5．（七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,則AB與CD平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（22-23七年級(jí)下·湖南株洲·期中）如圖，∠ABD和∠BDC的平分線相交于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F,且∠1+∠2=90°．(1)試說(shuō)明AB∥CD；(2)猜想∠2與∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．類(lèi)型四、同平行于第三條直線的兩條直線互相平行7．（23-24七年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD與EF平行嗎？為什么？8．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期中）如圖，已知點(diǎn)A在射線BG上，∠1+∠3=180°，∠1=∠2，∠EAB=∠BCD，說(shuō)明類(lèi)型五、同垂直于第三條直線的兩條直線互相平行（同一平面內(nèi)）9．（21-22七年級(jí)下·廣東廣州·期中）已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求證：∠AGD=∠ACB．10．（21-22七年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖，AB⊥EF于點(diǎn)B，CD⊥EF于點(diǎn)D，∠1＝∠2，試判斷BM與DN是否平行，為什么？一、解答題1．（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠42．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=75°，點(diǎn)D為線段AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE，∠E=40°，DF平分∠ADE．

(1)求∠C的度數(shù)；(2)說(shuō)明BC∥DF的理由．3．（23-24七年級(jí)下·陜西延安·期末）如圖，已知∠B=46°，EF交AB于點(diǎn)D，DG平分∠ADE，∠ADG=67°，求證：BC∥EF．

4．（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）如圖，已知AB∥EF，∠ABE=56°，∠ECD=152°，EC平分(1)求∠CEF的度數(shù)；(2)AB與CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（23-24七年級(jí)下·陜西·期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，連接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于點(diǎn)D．(1)試說(shuō)明OC⊥OD；(2)若∠D與∠1互余，試說(shuō)明ED∥AB．6．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊BC，AC的延長(zhǎng)線上，作射線CE，使CD平分∠ECF．試說(shuō)明：AB∥7．（23-24七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，點(diǎn)D在直線CN上，AD⊥BD，BC平分∠ABD交AD于E，∠2+2∠1=90°．(1)求證：AB∥CD；(2)若DM平分∠ADB，∠BCD：∠2=7:4，求∠MDN的度數(shù)．8．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．(1)求∠A的度數(shù)；(2)AB與EC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（23-24七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期末）如圖，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°．判斷DF與AC的位置關(guān)系，并證明．

10．（23-24七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，已知EM平分∠AEF，F(xiàn)N平分∠EFD，∠1=∠2，試說(shuō)明：AB∥11．（23-24七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，∠1=∠2，∠A=∠E，求證：AD∥BE．12．（16-17七年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G，求證：AB∥13．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接AF、BE相交于點(diǎn)O，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)試說(shuō)明AD∥(2)AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？14．（23-24七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠OBE=∠COD，求證：BE∥15．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，∠1=∠2，試說(shuō)明DE∥16．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設(shè)∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數(shù)（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內(nèi)部一點(diǎn)，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC17．（22-23七年級(jí)下·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE=∠BNM．(1)請(qǐng)對(duì)OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．18．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、(1)如圖1，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ=130°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；(3)如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=80°時(shí)，請(qǐng)求出19．（23-24七年級(jí)下·重慶南岸·期末）已知：AB∥CD．(1)如圖1，點(diǎn)E在AB，CD之間，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠C=∠E；(2)如圖2，請(qǐng)用等式表示∠A，∠C，∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，請(qǐng)直接用等式表示∠A，∠C，∠E1，∠E20．（20-21七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為度；（直接寫(xiě)出答案）(2)問(wèn)題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB=α，∠PCD=β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α，參考答案與解析類(lèi)型一、同位角相等，兩直線平行1．（七年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°，直線l?與l2【答案】l1【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠4=55°，再根據(jù)平角的定義得到∠5=40°，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：l1∵∠2=55°（已知），∠2=∠4（對(duì)頂角相等），∴∠4=55°（等量代換）．∵∠3=85°（已知），∠3+∠4+∠5=180°（平角定義），∴∠5=40°，又∵∠1=40°（已知），∴∠1=∠5（等量代換），∴l(xiāng)12．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，直線AB，AC，CD被直線BE所截，CD平分∠ACE，已知∠3=∠5=60°，求證：AB∥CD．【答案】見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查平行線的判定、角平分線的性質(zhì)和平角定義，根據(jù)角平分線得∠1=∠2，結(jié)合已知得∠1=∠2=60°，那么，∠1=∠5，利用同位角相等兩直線平行即可得AB∥CD．【詳解】證明：∵CD平分∠ACE，∴∠1=∠2，∵∠3=∠5=60°，∴∠1+∠2=180°?∠3=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠1=∠5，∴AB∥CD．類(lèi)型二、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行3．（22-23七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，∠1=82°，∠2=98°，∠C=∠D，試探索∠A與∠F有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】∠A=∠F，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，要找∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)平行線的判定，由已知可得∠1+∠2=180°，則CE∥BD；根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠C=∠ABD，結(jié)合已知條件，得∠ABD=∠D，根據(jù)平行線的判定，得AC∥DF，從而求得結(jié)論．【詳解】解：∠A=∠F．理由：∵∠1=82°，∴∠1+∠2=180°，∴CE∥DB，∴∠C=∠ABD，∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．4．（21-22七年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．試判斷BE與CF的關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．【答案】BE∥【分析】本題考查垂直的定義，等角的余角相等，平行線的判定．由垂直的定義得到∠ABC=∠BCD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠EBC=∠BCF，再由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得到BE∥【詳解】解：BE∥∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠ABC?∠1=∠BCD?∠2，即∠EBC=∠BCF，∴BE∥類(lèi)型三、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行5．（七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,則AB與CD平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】平行，理由見(jiàn)解析.【分析】先做輔助線延長(zhǎng)BE，交CD于F，根據(jù)∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度數(shù)；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再結(jié)合平行線的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】解：AB∥CD,理由如下:如圖所示,延長(zhǎng)BE,交CD于點(diǎn)F,因?yàn)椤螧EC=95°,所以∠CEF=180°-95°=85°.又因?yàn)椤螪CE=35°,所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.因?yàn)椤螦BE=120°(已知),所以∠ABE+∠BFC=180°,所以AB∥CD(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是關(guān)鍵.6．（22-23七年級(jí)下·湖南株洲·期中）如圖，∠ABD和∠BDC的平分線相交于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F,且∠1+∠2=90°．(1)試說(shuō)明AB∥CD；(2)猜想∠2與∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠2+∠3=90°，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握角平分線，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由∠ABD和∠BDC的平分線相交于點(diǎn)E，可得∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∠EDF=∠2，由∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠CDB=2∠1+∠2（2）由∠1+∠2=90°，可得∠DEF=∠DEB=90°，由∠3+∠EDF=∠DEB，可得∠3+∠2=90°．【詳解】（1）解：∵∠ABD和∠BDC的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠CDB=2∠1+∠2∴AB∥CD；（2）解：∠2+∠3=90°，理由如下：∵∠1+∠2=90°，∴∠DEF=∠1+∠2=90°，∴∠BED=180°?∠DEF=90°∵∠3+∠EDF=∠DEB=90°，∴∠2+∠3=90°．類(lèi)型四、同平行于第三條直線的兩條直線互相平行7．（23-24七年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD與EF平行嗎？為什么？【答案】AD∥EF，證明見(jiàn)解析．【分析】此題考查了平行線的判斷和性質(zhì)，由∠2=∠D得到AD∥BC．又由∠1+∠B=180°得到EF∥BC，即可得到AD∥EF．【詳解】解：AD∥EF．理由如下：∵∠2=∠D，∴AD∥BC．∵∠1+∠B=180°，∴EF∥BC，∴AD∥EF．8．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期中）如圖，已知點(diǎn)A在射線BG上，∠1+∠3=180°，∠1=∠2，∠EAB=∠BCD，說(shuō)明【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行的傳遞性；由∠1+∠3=180°，∠1=∠2可分別得EF∥BG，AE∥BC，則∠EAB+∠2=180°；由∠EAB=∠BCD得【詳解】解：∵∠1+∠3=180°，∴EF∥∴∠EAB+∠2=180°；∵∠EAB=∠BCD，∴∠BCD+∠2=180°，∴BG∥∵EF∥∴EF∥類(lèi)型五、同垂直于第三條直線的兩條直線互相平行（同一平面內(nèi)）9．（21-22七年級(jí)下·廣東廣州·期中）已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求證：∠AGD=∠ACB．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，先根據(jù)EF⊥AB，CD⊥AB，得出EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠3，根據(jù)∠1=∠2，得出∠1=∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠AGD=∠ACB．熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DG∥BC，∴∠AGD=∠ACB．10．（21-22七年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖，AB⊥EF于點(diǎn)B，CD⊥EF于點(diǎn)D，∠1＝∠2，試判斷BM與DN是否平行，為什么？【答案】BM∥DN；理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)AB⊥EF，CD⊥EF，得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根據(jù)∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出BM∥DN．【詳解】BM∥DN；理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定義)，∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，兩直線平行)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義，余角的性質(zhì)，平行線的判定，根據(jù)題意得出∠MBE＝∠NDE，是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意可證∠MEF=∠NFE，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可求證，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴180°?∠1+∠2=180°?∠3+∠4∴EM∥FN．2．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=75°，點(diǎn)D為線段AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE，∠E=40°，DF平分∠ADE．

(1)求∠C的度數(shù)；(2)說(shuō)明BC∥DF的理由．【答案】(1)35°(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和平行直線的判定，（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和直接求解即可；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE，從而求得∠ADF，即可證得∠ADF=∠C，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證得BC∥DF．【詳解】（1）解：∵∠A=70°，∠ABC=75°，∴∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?70°?75°=35°；（2）解：∵∠A=70°，∠E=40°，∴∠ADE=180°?∠A?∠E=180°?70°?40°=70°；∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=1∴∠ADF=∠C，∴BC∥DF．3．（23-24七年級(jí)下·陜西延安·期末）如圖，已知∠B=46°，EF交AB于點(diǎn)D，DG平分∠ADE，∠ADG=67°，求證：BC∥EF．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，先由角平分線的定義得到∠ADE=2∠ADG=134°，再由平角的定義得到∠ADF=∠B=46°，則可由同位角相等，兩直線平行證明BC∥EF．【詳解】證明：∵DG平分∠ADE，∠ADG=67°，∴∠ADE=2∠ADG=134°，∴∠ADF=180°?∠ADE=46°，∵∠B=46°，∴∠ADF=∠B=46°，∴BC∥EF．4．（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）如圖，已知AB∥EF，∠ABE=56°，∠ECD=152°，EC平分(1)求∠CEF的度數(shù)；(2)AB與CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)∠CEF=28°(2)平行，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的計(jì)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠FEB=∠ABE=56°，結(jié)合EC平分∠BEF，得出∠CEF=28°，即可作答．（2）根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得出CD∥EF，結(jié)合AB∥【詳解】（1）解：∵AB∥EF∴∠FEB=∠ABE=56°∵EC平分∠BEF．∴∠CEF=（2）解：AB與CD平行，理由如下：∵∠ECD=152°，∠CEF=28°∴∠ECD+∠CEF=152°+28°=180°∴CD∵AB∴AB5．（23-24七年級(jí)下·陜西·期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，連接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于點(diǎn)D．(1)試說(shuō)明OC⊥OD；(2)若∠D與∠1互余，試說(shuō)明ED∥AB．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)．（1）利用角平分線的定義結(jié)合平角的性質(zhì)即可證明；（2）利用∠COD=90°結(jié)合已知求得∠D=∠DOB，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：因?yàn)镺C平分∠AOF，OD平分∠BOF所以∠COF=12∠AOF因?yàn)椤螦OF+∠BOF=180°，所以∠COD=∠COF+∠DOF=1所以O(shè)C⊥OD；（2）解：由（1）知∠COD=90°，所以∠1+∠DOB=90°因?yàn)椤螪與∠1互余，所以∠D+∠1=90°，所以∠D=∠DOB，所以ED∥AB．6．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊BC，AC的延長(zhǎng)線上，作射線CE，使CD平分∠ECF．試說(shuō)明：AB∥【答案】見(jiàn)詳解【分析】該題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是證明∠B=∠DCF=∠DCE．根據(jù)角平分線得出∠DCF=∠DCE，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ACB，證出∠B=∠DCF=∠DCE，即可證明；【詳解】證明：∵CD平分∠ECF，∴∠DCF=∠DCE，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠DCF=∠ACB，∴∠B=∠DCF=∠DCE，∴AB∥7．（23-24七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，點(diǎn)D在直線CN上，AD⊥BD，BC平分∠ABD交AD于E，∠2+2∠1=90°．(1)求證：AB∥CD；(2)若DM平分∠ADB，∠BCD：∠2=7:4，求∠MDN的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠MDN=105°【分析】本題主要考查了垂直的定義、平行線的判定、角平分線的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)題意可得∠ABD=2∠1，∠ADB=90°，進(jìn)而可知∠2+∠ABD=90°，可證明∠CDB+∠ABD=180°，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平分線的定義可得∠BDM=45°，設(shè)∠BCD=7x,∠2=4x，則∠1=45°?2x，再求出∠BDN，可得關(guān)于x的一元一次方程，解得x的值，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠1，∵∠2+2∠1=90°∴∠2+∠ABD=90°∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠2+∠ADB+∠ABD=180°，即∠CDB+∠ABD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵DM平分∠ADB，∠ADB=90°，∴∠EDM=∠BDM=45°∵∠BCD:∠2=7:4，設(shè)∠BCD=7x,∠2=4x，∵∠2+2∠1=90°，∴∠1=90°?4x∴∠BDN=∠BCD+∠1=4x+45°?2x=45°+2x，∴4x+90°+45°+2x=180°，解得：x=7.5°∴∠MDN=45°+2x+45°=105°．8．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．(1)求∠A的度數(shù)；(2)AB與EC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)72°(2)平行，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，平行線的判定：（1）根據(jù)∠A=∠B=2∠ACB，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，推出∠A=∠ACE即可得證．【詳解】（1）解：∵∠A=∠B=2∠ACB，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴5∠ACB=180°，∴∠ACB=36°，∴∠A=72°；（2）平行，理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD∴∠ACD=∠A+∠B=2∠A，∠ACD=2∠ACE，∴∠A=∠ACE，∴AB∥EC．9．（23-24七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期末）如圖，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°．判斷DF與AC的位置關(guān)系，并證明．

【答案】DF∥【分析】本題考查平行線的判定，先求出∠DEA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行，可證DF∥【詳解】解：DF∥∵∠DEB=100°，∴∠DEA=180°?∠DEB=180°?100°=80°，∵∠BAC=80°，∴∠DEA=∠BAC，∴DF∥10．（23-24七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，已知EM平分∠AEF，F(xiàn)N平分∠EFD，∠1=∠2，試說(shuō)明：AB∥【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，掌握內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行是解題關(guān)鍵．由角平分線的性質(zhì)，得到∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，進(jìn)而得出∠AEF=∠EFD，即可證明平行．【詳解】證明：∵EM平分∠AEF，F(xiàn)N平分∠EFD，∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠AEF=∠EFD，∴AB∥11．（23-24七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，∠1=∠2，∠A=∠E，求證：AD∥BE．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由∠1=∠2，可證DE∥AC，則∠EBC=∠E=∠A，進(jìn)而可得AD∥BE．【詳解】證明：∵∠1=∠2，∴DE∥AC，∴∠EBC=∠E，∵∠A=∠E∴∠EBC=∠A∴AD∥BE．12．（16-17七年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G，求證：AB∥【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的判定，余角的定義．首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，從而證得AB∥【詳解】證明：∵BE⊥FD（已知），∴∠EGD=90°（垂直的定義），∴∠1+∠D=90°，又∵∠2與∠D互余（已知），∴∠2+∠D=90°∴∠1=∠2（同角的余角相等），∵∠1=∠C（已知），∴∠2=∠C（等量代換），∴AB∥13．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接AF、BE相交于點(diǎn)O，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)試說(shuō)明AD∥(2)AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AB∥EF，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義：（1）根據(jù)平角的定義和已知條件證明∠ADF=∠BCF，即可證明AD∥BC；（2）由角平分線的定義和已知條件證明∠ABE=∠E，即可證明AB∥EF．【詳解】（1）證明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠BCF，∴AD∥BC；（2）解：AB∥EF，理由如下：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵∠ABC=2∠E，∴∠ABE=∠E，∴AB∥EF．14．（23-24七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠OBE=∠COD，求證：BE∥【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．根據(jù)垂直的定義，得出∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，進(jìn)而得出∠OBE=∠AOB，即可求證BE∥【詳解】證明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，∴∠COD=∠AOB，∵∠OBE=∠COD，∴∠OBE=∠AOB，∴BE∥15．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，∠1=∠2，試說(shuō)明DE∥【答案】見(jiàn)解析．【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，先由同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行證明AD∥EF，根據(jù)性質(zhì)得∠1=∠ADE，再用【詳解】∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB=∠ADB=90°．∴AD∥∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠2，∴∠2=∠ADE，∴DE∥16．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點(diǎn)，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設(shè)∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數(shù)（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內(nèi)部一點(diǎn)，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【答案】(1)50°(2)∠APD=α+β?180°(3)4【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，進(jìn)而求出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°?α，進(jìn)而求出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)P向左作PF∥AB，過(guò)N向左作NM∥AB，則PF∥MN∥AB∥CD，設(shè)∠PAN=x，∠PCN=y，則∠BAN=3x，【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE=∠D=130°，∵∠A=100°，∴∠APE=80°，∴∠APD=∠DPE?∠APE=130°?80°=50°；（2）過(guò)點(diǎn)P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠A=180°，∵∠A=α，∴∠APE=180°?α，∴∠APD=∠DPE?∠APE=β?180°?α（3）過(guò)點(diǎn)P向左作PF∥AB，過(guò)N向左作NM∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥MN∥AB∥CD，與（2）同理，得∠APC=∠PAB?∠PCD，∠ANC=∠BAN?∠DCN.依題意，設(shè)∠PAN=x，則∠BAN=3x，∴∠APC=4x?4y，∴∠APC∠ANC=4x?4y3x?3y17．（22-23七年級(jí)下·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，∠AOE=∠BNM．(1)請(qǐng)對(duì)OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)105°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角相等推出∠AOE=∠BNM，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可；本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的定義，平行公理推論，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥（2）解：∵AB與底座CD都平行于地面EF，∴AB∥∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥∴∠ANM=∠BOE=105°．18．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、(1)如圖1，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ=130°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；(3)如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ=80°時(shí)，請(qǐng)求出【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由見(jiàn)解析(2)∠PFQ=(3)∠PFQ=【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代換即可得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BPE+∠EQD=360°?∠APE+∠CQE=230°，根據(jù)角平分線的定義得到BPF=（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥CD，設(shè)∠QEM=α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DQE=180°?α，根據(jù)角平分線的定義得到∠DQH=12∠DQE=90【詳解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，∴∠APE=∠PEH，∵EH∥AB，∴EH∥∴∠CQE=∠QEH，∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，同理（1）可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130∵∠BPE=180°?∠APE∴∠BPE+∠EQD=360∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPF=12∠BPE∴∠BPF+∠DQF=1作NF∥AB，同理（1）可得，（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥設(shè)∠QEM=α，∴∠DQE=180∵QH平分∠DQE，∴∠DQH=1∴∠FQD=180∵EM∥CD，