②；，③證明：由于軸，作于，于，交于，易知，，，所以.根據(jù)內(nèi)心定理，、分別為和的平分線，所以，根據(jù)射影定理，，即.【精選例題】【例1】已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為M，N，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】（多選題）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【例3】（多選題）已知雙曲線的離心率為分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為，則（

）A．始終垂直于軸 B．C． D．【例4】已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，，則此雙曲線離心率的取值范圍為．【變式訓(xùn)練】1．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為M，N，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（多選題）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支一點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．滿足的直線有三條C．若都在雙曲線的右支上，則D．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為13．（多選題）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則（

）A．的取值范圍是 B．直線與軸垂直C．若，則 D．的取值范圍是4．（多選題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)（在第一象限），中點(diǎn)為，，的內(nèi)切圓圓心分別為，，半徑分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．直線斜率存在時(shí)，C．若，則直線的斜率為 D．的取值范圍是5．已知雙曲線的焦距為，離心率為2，則雙曲線的方程為.記分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn).設(shè)分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是.題型06雙曲線焦點(diǎn)三角形旁心與離心率秒殺模型解｜題｜策｜略I是的旁心，、分別是、的角平分線．如圖則：，．證明：法一（外角平分線定理＋比例性質(zhì)）：，法二：（中垂線截距+光學(xué)性質(zhì)）是雙曲線的切點(diǎn)弦（切線是切點(diǎn)弦極限情況），是切點(diǎn)弦l的中垂線，根據(jù)中垂線截距定理，再根據(jù)角平分線定理可知【精選例題】【例1】動(dòng)點(diǎn)為橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)，的一點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)圓與線段的延長(zhǎng)線及線段相切，則圓心的軌跡為除去坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的（

）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線的右支 D．一條直線【例2】與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示，已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線與軸交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【例3】如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【變式訓(xùn)練】1．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．如圖，，是分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，圓與三邊所在的直線都相切，切點(diǎn)為，，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．33．已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，圓與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線和線段都相切，則.題型07拋物線中阿基米德三角形相關(guān)秒殺模型解｜題｜策｜略①知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:結(jié)論1.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).結(jié)論2.直線的方程為.結(jié)論3.過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過(guò)點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.【精選例題】【例1】設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，，是上不同于的頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，以和為切點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【例2】已知拋物線C：，（）的焦點(diǎn)為F，為C上一動(dòng)點(diǎn)，若曲線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為，則直線FM的斜率為（

）A． B． C． D．【例3】（多選題）阿基米德在數(shù)學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大．拋物線上任意兩點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在，處的切線交于點(diǎn)，則關(guān)于“阿基米德三角形”，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．有可能是等邊三角形B．頂點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上C．若邊的中點(diǎn)為，則軸D．面積的最小值為64【例4】（多選題）已知拋物線上兩點(diǎn)為的焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若直線過(guò)點(diǎn)，則C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則直線恒過(guò)定點(diǎn)D．若直線過(guò)點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切【例5】（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的一條直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，過(guò)且與直線垂直的直線交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例6】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的動(dòng)直線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的切線，，與交于點(diǎn)．經(jīng)探究可知點(diǎn)必在一條定直線上，其方程為；記，與軸的交點(diǎn)分別為，若的傾斜角為，則四邊形的面積為．【變式訓(xùn)練】1．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（多選題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的點(diǎn)，則（

）A．以為直徑的圓與軸相切B．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．若，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D．若和都和拋物線相切，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，AB是經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的中點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，連接NF，NB，NA，則下列說(shuō)法正確的是（）A．NF⊥ABB．直線NA，NB均與拋物線相切C．直線NA與NB不一定垂直D．4．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，B在第一象限．過(guò)A，B分別作拋物線的切線，，且，相交于點(diǎn)P．若BP交x軸于點(diǎn)Q，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上 B．C．若，則FQ⊥BQ D．若，則的值為5．（多選題）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（

）A．軸 B． C． D．（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的斜率為的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為.若雙曲線的離心率為，，則（

）A．3 B．2 C． D．2．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的值為（

）A． B． C．4 D．83．(25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)·月考)設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，，是上不同于的頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，以和為切點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．4．(25-26高三上·天津?yàn)I海新區(qū)塘沽第一中學(xué)·月考)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（

）①雙曲線的離心率為；②與的面積的比值為；③雙曲線的漸近線方程為；④與的內(nèi)切圓半徑之比為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．阿基米德在數(shù)學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大.拋物線上任意兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線在處的切線交于點(diǎn)，則“阿基米德三角形”面積的最小值為（

）A．18 B．24 C．27 D．366．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線過(guò)左焦點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓的離心率的取值范圍是，線段的長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的外部為軸上一點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)內(nèi)切圓的直徑為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知，為橢圓與雙曲線的公共左，右焦點(diǎn)，為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．10．已知分別是離心率為2的雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)、右支交于點(diǎn)（兩點(diǎn)均在軸上方），設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．已知拋物線，點(diǎn)在其準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且直線過(guò)焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為B．為定值C．若為弦的中點(diǎn)，且與不重合，則軸D．若直線的斜率為1，則的面積為12．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，過(guò)作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為的內(nèi)心，則（

）A．若，則B．周長(zhǎng)的最小值為C．點(diǎn)與點(diǎn)均在同一條定直線上D．的取值范圍是13．(25-26高三上·甘肅·)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線交于點(diǎn)，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與軸相切 D．14．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，記，內(nèi)切圓的圓心分別為，，過(guò)點(diǎn)P分別作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為21 B．C．的最小值為 D．圓和圓的面積之和的最小值為15．(25-26高三上·海南海口第一中學(xué)·)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．的離心率為2B．C．D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為16．已知雙曲線：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，（），直線：與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率為B．當(dāng)時(shí)，與的面積之比為5∶1C．當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率為D．當(dāng)時(shí)，與的周長(zhǎng)之比為5∶317．(25-26高三上·四川成都石室中學(xué)·模擬)已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，，為雙曲線的兩條漸近線，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足依次為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的內(nèi)心到軸的距離為C． D．18．橢圓的方程為，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的內(nèi)心記為（

）A．B．的坐標(biāo)為C．延長(zhǎng)交于，則D．內(nèi)心的坐標(biāo)為三、填空題19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的16倍，則橢圓的離心率．20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，該離心率的取值范圍是．21．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．若橢圓是“黃金橢圓”，則，若“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則22．(25-26高三上·江蘇南京秦淮區(qū)南京中華中學(xué)·期中)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的內(nèi)切圓圓心為，則點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之比為．23．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支和右支分別交于，兩點(diǎn)，設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為；、的內(nèi)切圓半徑比值.24．橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若內(nèi)切圓的半徑，則橢圓的離心率為.25．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為．26．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形的面積小于4，則四邊形面積的取值范圍是．

專題14立體幾何的外接球、內(nèi)切球及棱切球相關(guān)問(wèn)題的解題策略目錄第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿第二部分題型歸納梳理題型，突破重難題型01特殊幾何體外接球題型02墻角問(wèn)題外接球題型03對(duì)棱相等問(wèn)題外接球題型04側(cè)棱垂直底面問(wèn)題外接球題型05側(cè)面垂直于底面問(wèn)題外接球題型06二面角與球體綜合題型07數(shù)學(xué)文化與球體綜合題型08最值與球體綜合題型09球心不確定類(lèi)型題型10內(nèi)切球綜合應(yīng)用題型11棱切球綜合應(yīng)用題型12球體在解答題中的應(yīng)用第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分A組·基礎(chǔ)保分練B組·重難提升練1．（特殊幾何體外接球）（24-25高三上·廣西·月考）在長(zhǎng)方體中，，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為，則，所以，則球的表面積為，故選：A.2．（特殊幾何體外接球）已知正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為和，體積為，則該正四棱臺(tái)的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由棱臺(tái)的體積公式可得棱臺(tái)的高，再求棱臺(tái)的外接球體積即可.【詳解】由題可知，，設(shè)棱臺(tái)高為，則，解得，

根據(jù)正四棱臺(tái)的特性，正四棱臺(tái)的外接球半徑即為四邊形外接圓半徑，又，，所以，則，所以為直角三角形，故為四邊形外接圓直徑，正四棱臺(tái)的外接球半徑，體積.故選：B.3．（墻角問(wèn)題外接球）在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將該三棱柱放入正方體中，借助正方體的外接球求解長(zhǎng)度，即可根據(jù)體積公式求解.【詳解】由于兩兩垂直,將該三棱柱放入正方體中，如圖：故該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，故該三棱錐外接球的半徑為.由，得.由于平面，所以該三棱錐的體積為.故選：B4．（對(duì)棱相等問(wèn)題外接球）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】由題意把三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，設(shè)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，求得，得到長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)一步得到該三棱錐的外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，把三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，設(shè)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則，，，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．則該三棱錐的外接球的半徑為．則該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，關(guān)鍵是“補(bǔ)形思想”的應(yīng)用，是中檔題．5．（側(cè)棱垂直底面問(wèn)題外接球）在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用正弦定理求出外接圓的半徑，然后利用求出三棱錐外接球的半徑，即可算出表面積.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，根據(jù)正弦定理，則，故，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為O，

由，可知為等腰三角形，過(guò)作于，則為中點(diǎn)，由平面，平面，故，則共面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，故，于是四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為為矩形，則，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.6．（側(cè)面垂直于底面問(wèn)題外接球）在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是四面體的外接球的球心.【詳解】如圖，設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑，則．故選：C.7．（二面角與球體綜合）（2025·安徽合肥·三模）將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿對(duì)角線BD進(jìn)行翻折，使得二面角的大小為，連接AC，得到四面體ABCD，則該四面體的外接球體積與四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到翻折后四面體ABCD是2個(gè)直角三角形構(gòu)成的，所以外接球球心在斜邊的中點(diǎn)處，可得到半徑進(jìn)而求得體積，由翻折特性可知平面AOC，又可求體積.【詳解】翻折后所得圖形如下圖所示，易知BD的中點(diǎn)O為球心，故該四面體的外接球體積，又，平面AOC，，所以平面AOC，二面角的大小為，，,故所求體積之比為，故選：D．8．（二面角與球體綜合）（2025·黑龍江大慶·一模）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，二面角的余弦值為，則正三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作輔助線，找到二面角的平面角，利用相關(guān)線段長(zhǎng)度，結(jié)合二面角的余弦值求出的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出正三棱錐的高，設(shè)外接球半徑為，根據(jù)外接球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于的方程，求解出，最后利用球的表面積公式計(jì)算出外接球的表面積.【詳解】如圖所示，正三棱錐，作平面于點(diǎn)，則為正三角形的中心，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)外接球心為，則在上，連接.

由已知的邊長(zhǎng)為6，由于，即二面角的平面角，則.因?yàn)?，所以，所以?設(shè)外接球的半徑為，則，，又，，所以，解得.故正三棱錐外接球的表面積.故選：C.9．（數(shù)學(xué)文化與球體綜合）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書(shū)”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū)）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是.【答案】/【分析】由題意可得，分別取的中點(diǎn)，連接，則的中點(diǎn)就是直三棱柱外接球的球心，連接，再中求出，從而可求出棱柱的高，進(jìn)而可求出三棱柱的表面積.【詳解】因?yàn)樵谥比庵?，，由題意知，，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)橹比庵乃许旤c(diǎn)都在球的球面上，所以的中點(diǎn)就是直三棱柱外接的球心，設(shè)外接球的半徑為，連接，則，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，得，在中，，所以，所以，所以三棱柱的表面積是.故答案為：10．（最值與球體綜合）（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為3的球面上，且是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐體積的最大值為.【答案】【分析】先求出外接圓的半徑，再結(jié)合球的半徑求出球心到平面的距離，進(jìn)而得到點(diǎn)到平面的最大距離，最后根據(jù)三棱錐體積公式求出體積的最大值.【詳解】設(shè)外接圓的圓心為，半徑為.由正弦定理，在正中，，，則.因?yàn)?，所以，即，解?已知球的半徑，球心到平面的距離，外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理，可得.當(dāng)點(diǎn)，球心，共線且與在平面同側(cè)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離.根據(jù)正三角形面積公式，可得.根據(jù)三棱錐體積公式，可得.故答案為：.11．（最值與球體綜合）（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，球在正三棱錐的內(nèi)部，則球體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正三棱錐性質(zhì)求得側(cè)棱長(zhǎng)，即可判斷正三棱錐是正四面體，當(dāng)球與正四面體的四個(gè)面都相切時(shí)，球的體積最大，利用等體積法計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】底面的外接圓半徑，即正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，則正三棱錐是正四面體，當(dāng)球與正四面體的四個(gè)面都相切時(shí)，球的體積最大，由等體積法得球的半徑為，即，所以球體積的最大值，故選：A.12．（最值與球體綜合）（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小為，且，，.若點(diǎn)，，，都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過(guò)和的外心，，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)，為三棱錐外接球半徑，取的中點(diǎn)為，推導(dǎo)出的外接圓直徑，從而，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由此能求出該球的表面積的最小值．【詳解】設(shè)，則，設(shè)和的外心分別為、，則分別為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作和所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則為三棱錐的外心，連接，則為三棱錐外接球的半徑．取的中點(diǎn)，連接、、，如圖所示：由條件知且，，所以為二面角的平面角，即，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，所以，，所以四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為．在中，由余弦定理可得所以的外接圓直徑，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以該球的表面積的最小值為.故選：C13．（內(nèi)切球綜合應(yīng)用）（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）半徑為2的球內(nèi)切于正三棱柱，則正三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)球內(nèi)切于正三棱柱求出高，然后內(nèi)切球的性質(zhì)求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，最后利用柱體體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的球內(nèi)切于正三棱柱，所以正三棱柱的高，且該組合體過(guò)球心且平行于平面的截面為球的大圓內(nèi)切于與全等的正三角形，如圖.由正三角形及其內(nèi)切圓的性質(zhì)，得，所以的面積為，所以正三棱柱的體積為.故選：A14．（內(nèi)切球綜合應(yīng)用）（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是某零件的結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球、正四面體的三個(gè)面均相切.若AB＝12，則該模型中一個(gè)小球的體積為.

【答案】【分析】根據(jù)題干信息畫(huà)出示意圖，根據(jù)正四面體的特征分別計(jì)算出大小球半徑即可求出小球的體積.【詳解】如圖所示，設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長(zhǎng)為，高為，的中點(diǎn)為，連接，則，，∵，∴，∴，設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，∴，∴小球的體積為：，故答案為：.15．（內(nèi)切球綜合應(yīng)用）（2025·四川德陽(yáng)·三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得外接球的半徑，利用等積法可得內(nèi)切球半徑，進(jìn)而利用球的表面積公式即可求得.【詳解】如圖正八面體，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又平面，平面，，所以平面，設(shè)正八面體的外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，假設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，因，則，且為正八面體的中心，則點(diǎn)到平面的距離為內(nèi)切球半徑，因?yàn)椋?，即，所以，所?故選：C.01特殊幾何體外接球16．若正四面體的棱長(zhǎng)為，則該正四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一，做出正四面體的高，然后根據(jù)外接球定義計(jì)算半徑；方法二，將正四面體放入立方體，正四面體的外接球就是立方體的外接球.【詳解】方法一：如圖，正四面體中，作底面的高，由正四面體的性質(zhì)，點(diǎn)為的中心，設(shè)為外接球的球心，外接球的半徑為，由正三角形的性質(zhì)，，；由，得，解得，該球的表面積為．故選：A．方法二：如下圖在立方體中，通過(guò)連接面對(duì)角線可得到正四面體，可知兩者的外接球相同，正四面體的棱長(zhǎng)為立方體的一個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)，則立方體的棱長(zhǎng)為.立方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑.代入計(jì)算可得，外接球的半徑，外接球的表面積為.故選：A.17．（2025·河南·二模）棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，正三棱柱的外接球的半徑為，根據(jù)正弦定理和球的截面的性質(zhì)，分別求得和的值，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)檎庵牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，設(shè)的外接圓的半徑為，正三棱柱的外接球的半徑為，可得，則，所以正三棱柱外接球的體積為.故選：D18．已知圓柱的底面半徑為1，高為2，該圓柱的上下底面圓周上的點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓的截面性質(zhì)與圓柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合勾股定理求出球的半徑，從而得解.【詳解】依題意，圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)樵搱A柱的底面圓周都在球的表面上，設(shè)球的半徑為，則，即，所以球的表面積為，故選：B.19．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面是斜邊為2的直角三角形，球的半徑等于圓錐的高，則圓錐的表面積與球表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的表面積與球的表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】圓錐的軸截面是斜邊為2的直角三角形，則圓錐的高為1，母線長(zhǎng)為，所以該圓錐的表面積為，球的半徑為1，表面積為，所以圓錐的表面積與球表面積之比為.故選：C02墻角問(wèn)題外接球20．在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將該三棱錐放入正方體中，借助正方體的外接球求解，即可根據(jù)體積公式計(jì)算.【詳解】由于兩兩垂直,將該三棱錐放入正方體中，如圖：故該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，故該三棱錐外接球的半徑.所以外接球的體積.故選：B21．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知三棱錐的三條棱，，兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球體積為．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為的正方體，可知三棱錐與正方體的外接球相同，求出外接球半徑，結(jié)合球的體積公式即可求解.【詳解】將三棱錐補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為的正方體如圖所示，可知三棱錐與正方體的外接球相同，其半徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為，所以球的體積為.故答案為：.22．（24-25高三上·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】本題根據(jù)題意以PA，PB，PC為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為該三棱錐外接球的直徑，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】在三棱錐中，因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，且，以PA，PB，PC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：.23．已知三棱錐，，、兩兩垂直，，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知根據(jù)墻角模型可把三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體外接球即可．【詳解】因，、兩兩垂直，故三棱錐的外接球，即是以，，為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球，故球的半徑為，則球的表面積為.故選：B24．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，兩兩垂直，則球的體積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：由題意可構(gòu)造以為過(guò)一頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，由于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑，由此可得球半徑，從而可求得球的體積．詳解：∵三棱錐中兩兩垂直，∴以為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球．又是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴，∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為，即球的直徑為，∴球的體積為．故選A．點(diǎn)睛：關(guān)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，往往涉及到求球的體積或表面積，求解的關(guān)鍵是確定球心的位置和求出球的半徑．當(dāng)球外接于正方體（或長(zhǎng)方體），即正方體（或長(zhǎng)方體）的頂點(diǎn)均在球面上時(shí)，則正方體（或長(zhǎng)方體）的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．03對(duì)棱相等問(wèn)題外接球25．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)棱相等的特征，可以將四面體放入長(zhǎng)方體中，再求其外接球半徑即可.【詳解】如圖所示，該四面體的各頂點(diǎn)恰好是一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，每條棱為長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別為，則有，各式相加得，設(shè)外接球半徑為，則有，外接球表面積.故選：C．26．已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，四面體四個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體頂點(diǎn)上，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球直徑求解即可.【詳解】設(shè)四面體的外接球的半徑為,則四面體在一個(gè)長(zhǎng)寬高為的長(zhǎng)方體中，如圖，則故，故四面體ABCD外接球的體積為，故選：C27．在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，此四面體可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.28．已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，將四面體放入長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即可計(jì)算得答案.【詳解】在四面體中，，，，則該四面體的相對(duì)棱可為某個(gè)長(zhǎng)方體三組相對(duì)面的面對(duì)角線，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)依次為，外接球半徑為，則，于是，所以該四面體外接球的表面積為故答案為：29．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，.該棱錐的各頂點(diǎn)都在球的表面上，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求解，把三棱錐放到一個(gè)長(zhǎng)方體中，使得點(diǎn)為長(zhǎng)方體的4個(gè)頂點(diǎn)，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則?平面，所以平面，且，所以的面積為，則三棱錐的體積為，所以，把三棱錐放到一個(gè)長(zhǎng)方體中，使得點(diǎn)為長(zhǎng)方體的4個(gè)頂點(diǎn)，如下圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為，球的半徑為，則所以，所以，所以球的表面積為.故選：A.04側(cè)棱垂直底面問(wèn)題外接球30．在三棱錐中，平面ABC，，且三棱錐的體積為，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】由三棱錐的體積，求PA，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【詳解】解：三棱錐的體積為，，，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，是邊長(zhǎng)為的正三角形，外接圓的半徑，球的半徑為R=，球O的表面積為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩兩垂直則用（a,b,c為三棱的長(zhǎng)）；②若面ABC（SA=a），則（r為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球.31．三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求外接球的半徑，即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，可知該球的直徑即為，設(shè)球的半徑為，可得，即，故三棱錐的外接球的表面積.故選：C.32．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由球體積公式求球體半徑，正余弦定理求外接圓半徑，結(jié)合線面垂直模型求即可.【詳解】由題意，設(shè)球的半徑為，則，由，外接圓半徑，根據(jù)線面垂直模型知：.

故選：A33．在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=10且PA=2BC，則該三棱錐的外接球的體積為.【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出外接圓的直徑和三棱錐外接球的直徑，即可求得三棱錐外接球的體積．【詳解】如圖所示，在中，由余弦定理，可得，所以，外接圓的直徑，即．由底面，且，所以三棱錐的外接球直徑為；解得，所以該三棱錐外接球的體積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求幾何體外接球的半徑常用的方法有：（1）直接法；（2）模型法；（3）解三角形法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.34．（25-26高三上·天津紅橋·期中）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若則此球的表面積為（

）A．10π B．12π C．16π D．20π【答案】D【分析】通過(guò)已知條件求出底面外接圓的半徑,設(shè)此圓圓心為,球心為,在中,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【詳解】解:在中,可得，所以,由正弦定理,可得外接圓半徑,設(shè)此圓圓心為,球心為，球的半徑為，由球的性質(zhì)可知：平面，在平面內(nèi)，所以，在中,，所以球半徑,故此球的表面積為故選：D35．在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由直角三角形外接圓為斜邊中點(diǎn)，且由題意可知，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，可解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由，，所以的外接圓直徑，且圓心為，由于底面，，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的直徑，所以外接球的體積．故選：B

05側(cè)面垂直于底面問(wèn)題外接球36．已知三棱錐的底面與側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，找到球心的位置，設(shè)，連接，利用半徑相等得到方程，求出，進(jìn)而求出外接球半徑和表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榈酌媾c側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以⊥，⊥，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，且平面，所以⊥平面，在上取點(diǎn)，使得，故為等邊三角形的中心，該三棱錐外接球的球心在平面上的投影為，其中，，，設(shè)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，即，解得，所以，該三棱錐外接球的表面積是.故選：C37．（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，由直角三角形性質(zhì)可得，則點(diǎn)就是球心，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而可結(jié)合三棱錐體積公式計(jì)算即可得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，因此點(diǎn)就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，設(shè)球半徑為，則，，則，，所以三棱錐的體積，所以，所以球的表面積為.

故選：A.38．已知在三棱錐中，，，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，由題設(shè)條件可得外接圓圓心即三棱錐外接球球心，利用正弦定理即可求出其半徑即得.【詳解】如圖，因平面平面，，的外心為邊的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球球心即為外接圓圓心，設(shè)外接球半徑為.在中，，,故由余弦定理可得，，即，由正弦定理，，則，即三棱錐外接球的半徑為，故其外接球的表面積為．故選：D．39．已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且為正三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)證得平面，平面，再結(jié)合正弦定理求得三角形外接圓的半徑及勾股定理求得四棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得其表面積.【詳解】如圖所示，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，則由題意知，，為正方形外接圓的圓心，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，同理平面，設(shè)等邊的外接圓圓心為，過(guò)作的平行線交過(guò)且與平行的線于點(diǎn)，則平面，面，所以為四棱錐外接球的球心，設(shè)球的半徑為，在等邊中由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，所以四棱錐外接球表面積為.故選：C40．（2025·黑龍江·二模）在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（

）A．5π B．10π C．28π D．56π【答案】D【分析】運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)證得平面，平面，再結(jié)合正弦定理求得三角形外接圓的半徑及勾股定理求得四棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得其表面積.【詳解】如圖所示，連接AC、BD交于一點(diǎn)，取AD中點(diǎn)E，連接、，所以由題意知，，，為正方形ABCD外接圓的圓心，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，同理：平面，設(shè)等邊的外接圓的圓心為，過(guò)作的平行線交過(guò)作的平行線于點(diǎn)O，則平面，平面，所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，半徑為，在等邊中由正弦定理得，解得：，又因?yàn)?，所以，所以四棱錐外接球表面積為.故選：D.06二面角與球體綜合41．（2025·河南鶴壁·二模）如圖，在三棱錐中，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】取中點(diǎn)為E，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計(jì)算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計(jì)算.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，連接，設(shè)的外心為，的外心為，是四面體外接球球心，由于和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，且分別在靠近E的三等分點(diǎn)處.根據(jù)二面角?的大小為?及球的性質(zhì)可知：平面，平面，所以，由于，所以四邊形是正方形，，，設(shè)四面體外接球的半徑為，則.所以外接球的表面積為.故選：A42．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）已知矩形中，，將沿折起至，使二面角是直二面角，則三棱錐的外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知三棱錐的外接球半徑為矩形對(duì)角線的一半，由此可求球的表面積.【詳解】由題意得，.記矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，則翻折過(guò)程中點(diǎn)到四點(diǎn)的距離不變，即點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，所以三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：A.43．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，是的中點(diǎn)，將沿中線折起，得到三棱錐，若二面角的大小為120°，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定二面角的平面角，再求三棱錐外接球的半徑，最后利用球的體積公式計(jì)算的結(jié)果．【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，，因?yàn)榈冗吶切沃校堑闹悬c(diǎn)，將沿中線折起，所以，進(jìn)而，所以為二面角的平面角，故．因?yàn)?，都是直角三角形，記三棱錐外接球的球心為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，同理得，由，可知，且，所以平分，因?yàn)椋?，所以，在中，，，所以，即三棱錐外接球半徑為．所以所求體積為．故選：C.44．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形．將該四邊形沿對(duì)角線折成一個(gè)大小為的二面角，則四面體的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，取的中點(diǎn)，找到的外心，然后平面，根據(jù)二面角的平面角為找到球心，然后計(jì)算長(zhǎng)度求出，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，

設(shè)為正的外心，則點(diǎn)在上，且．設(shè)為四面體的外接球球心，則平面．，則為的外心，平面．二面角的大小為，則直線與平面成角，．是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則，．在中，．在中，，則，四面體的外接球半徑，.故選：B．45．（25-26高三上·湖北·月考）在正三棱柱中，為邊上的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與平面所成的銳二面角為，平面與線段相交于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由二面角條件求出，進(jìn)而求得的外接圓半徑；利用平面得出外接球半徑公式，代入計(jì)算出表面積；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出球心的坐標(biāo)，進(jìn)而得到球的半徑，即可求解.【詳解】方法一：如圖，因?yàn)闉檎庵?，所以三棱柱的?cè)棱垂直于底面，可得：，又底面為正三角形，為中點(diǎn)，故,，故平面，可得，又,故是平面與平面所成的銳二面角的平面角，，則，因?yàn)?，所以，設(shè)外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理得．平?平面平面)，且，所以設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以，故三棱錐外接球的表面積為.方法二：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，DB為y軸，D點(diǎn)引平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由方法一的數(shù)據(jù)可得：，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，，，，設(shè)外接球半徑為，則，球的表面積為.故選：C07數(shù)學(xué)文化與球體綜合46．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在封閉的鱉臑內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若平面，，，則V的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定球體積最大的特征，再利用三棱錐的體積等于其表面積與內(nèi)切球半徑積的三分之一求出球半徑，進(jìn)而求出球的體積.【詳解】球與三棱錐的四個(gè)面均相切時(shí)球的體積最大，由平面，平面，可得，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，設(shè)此時(shí)球的半徑為R，則，即，解得，所以球的體積V的最大值為.故選：C47．（24-25高三上·湖北武漢·期末）中國(guó)冶煉鑄鐵的技術(shù)比歐洲早2000年左右，冶煉鑄鐵技術(shù)的誕生標(biāo)志著真正的鐵器時(shí)代的開(kāi)始．現(xiàn)將一個(gè)表面積為cm2的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的實(shí)心鐵錠澆鑄過(guò)程體積無(wú)變化，該鐵錠的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為cm和cm，則該鐵錠的高為（

）A．30cm B． C．36cm D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用球的表面積、體積公式及棱臺(tái)的體積公式列式計(jì)算得解.【詳解】解：設(shè)實(shí)心鐵球的半徑為R，則，解得，則實(shí)心鐵球的體積為，設(shè)正四棱臺(tái)的實(shí)心鐵錠的高為h，因?yàn)閷?shí)心鐵球的體積和正四棱臺(tái)的實(shí)心鐵錠體積相等，則，解得故選：48．中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，，，與都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面ABCD，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且，分類(lèi)討論當(dāng)O在線段上和O在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)2種情況，結(jié)合球的性質(zhì)和表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，連接AC，BD，設(shè)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以為矩形ABCD外接圓的圓心．連接，則平面ABCD，分別取EF，AD，BC的中點(diǎn)M，P，Q，根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線交EF于點(diǎn)M．連接PQ，則，且為PQ的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，連接EP，F(xiàn)Q，在與中，易知，所以梯形EFQP為等腰梯形，所以，且．設(shè)，球O的半徑為R，連接OE，OA，當(dāng)O在線段上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，易得，則，此時(shí)無(wú)解．當(dāng)O在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，，解得，所以，所以球O的表面積，故選：D．【點(diǎn)睛】求解外接球問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)一是球心到球面上各點(diǎn)的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面．由此出發(fā)，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置．08最值與球體綜合49．（2025·廣東湛江·一模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內(nèi)切球半徑，進(jìn)而由球的體積公式求出答案.【詳解】由題意得，扇形的弧長(zhǎng)，所以該圓錐的底面圓的半徑，所以該圓錐的高．設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R，圓錐的軸截面如圖所示：則依題意得，所以，所以該球的體積V的最大值是．故選：D50．三棱錐的底面是等邊三角形，，二面角的大小為，若三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，三棱錐外接球的半徑為R，由外接球的表面積可求出R，結(jié)合二面角的大小可求出a，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離最大，即體積最大．【詳解】設(shè)，三棱錐外接球的半徑為R，則，解得，設(shè)的外心為，該點(diǎn)是棱AC的中點(diǎn)，設(shè)等邊的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面APC的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面ABC的垂線，兩垂線交于點(diǎn)O，即為三棱錐外接球的球心．因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，于是，，，因?yàn)?，即，解得，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離最大，其最大距離為，所以三棱錐體積的最大值等于.故選：A.51．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)高為，上、下底面半徑分別是和的封閉圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有一個(gè)鐵球，則鐵球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓臺(tái)軸截面，分析可知，當(dāng)球與相切時(shí)，其表面積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，分析可知，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設(shè)圓的半徑為，則，由，所以，所以，作，由，所以，又，所以，又，，所以，即，所以球的表面積的最大值為，故選：C.52．（2025·寧夏銀川·二模）已知正四棱錐的一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為，則該四棱錐體積的最大值時(shí)，其外接球表面積為.【答案】【詳解】根據(jù)題意作圖，由題意得到關(guān)于底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)以及高的等量關(guān)系，代入四棱錐體積公式，得到關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，從而求得最大值.再利用此時(shí)各邊長(zhǎng)求出外接球的半徑，計(jì)算球的表面積即可.【分析】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，高為，因?yàn)檎睦忮F的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，側(cè)棱長(zhǎng)相等，側(cè)面為等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱錐的體積.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，所以.此時(shí)，，，設(shè)該正四棱錐外接球的半徑為，則，解得，故其外接球表面積.故答案為：.53．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知正的邊長(zhǎng)分別為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折到，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為，此時(shí)分別過(guò)作球的兩個(gè)相切的平面，設(shè)相交所成的二面角大小為，則.【答案】【分析】由題當(dāng)平面平面時(shí)，這時(shí)三棱錐的體積最大，作出圖形，依次確定外接圓的圓心，四邊形的外接圓的圓心，再確定四棱錐的外接球的球心，求解外接球的半徑，即可求出外接球的表面積；由，,就是相交所成的二面角的平面角，運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，這時(shí)三棱錐的體積最大.設(shè)的中點(diǎn)為的中心為的中點(diǎn)為，則平面，∵四棱錐外接球的球心為，則平面，又，所以是四邊形外接圓的圓心，故平面，則，此球的半徑，所以外接球的表面積；這時(shí)，在中，又，,則，故.故答案為：，.54．已知二面角的大小為，且，，若四點(diǎn)，，，都在同一個(gè)球面上，當(dāng)該球體積取最小值時(shí)，等于.【答案】【分析】設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過(guò)△PAB和△ABC的外心E，H，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，OB為三棱錐外接球半徑，進(jìn)而求半徑表達(dá)式并利用配方法求出球半徑的最小值，從而可得的值.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為，所以球體積取得最小值時(shí)，則球的半徑最小.設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過(guò)和的外心E，H，易知分別為的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，為三棱錐外接球半徑，取的中點(diǎn)為G，如圖：由條件知，在中，由余弦定理可得，∴的外接圓直徑，當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值.故.故答案為：55．（2025·山西·三模）一邊長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，則兩個(gè)三棱錐，的公共部分的內(nèi)切球的表面積為．【答案】【分析】連接起交線后得兩個(gè)三棱錐，的公共部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為的正八面體，作，的中點(diǎn)，，利用等面積法求內(nèi)切球的半徑即可求解.【詳解】連接起交線后如下圖所示，即兩個(gè)三棱錐，的公共部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為的正八面體，作，的中點(diǎn)，，設(shè)內(nèi)切球的半徑，所以，所以，，，又，所以，即表面積為．故答案為：09球心不確定類(lèi)型56．如圖，在菱形中，，，E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)球心作平面，則為等邊三角形的中心，由與都是邊長(zhǎng)相同的等邊三角形得，利用勾股定理得、，最后由球的表面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】過(guò)球心作平面，則為等邊三角形的中心，∵四邊形是菱形，，∴與都是邊長(zhǎng)相同的等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半徑，∴三棱錐的外接球的表面積為.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑.57．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別是，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的外接圓半徑，矩形的外接圓半徑，再利用幾何關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設(shè)的外接圓半徑為，則，于是，設(shè)矩形的外接圓半徑為，則，設(shè)球心為，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點(diǎn)，則，于是平面，所以四邊形是矩形.設(shè)球半徑為，，則，于是球的表面積為.故選：D.58．三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，，，頂點(diǎn)P到的三邊距離均等于4，且頂點(diǎn)P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出⊥，作出輔助線，得到點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，先求出直角三角形的內(nèi)切圓半徑，由勾股定理得到方程，求出球的半徑，得到球的表面積.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，故⊥，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)在底面的射影為，連接，則，又P到的三邊距離均等于4，故點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，故四邊形為矩形，又，故四邊形為正方形，設(shè)，則，所以，解得，則，過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為，設(shè)，則，如圖，以，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，其中，由勾股定理得，，故，解得，所以球心O在三棱錐外部，則，則外接球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑59．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則平面截四棱錐外接球所得截面的面積為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直角三角形求出外接圓的半徑，設(shè)中點(diǎn)為，連接，過(guò)作，則即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)相似即可求出，得到外接球所得截面的面積.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，底面中心為中點(diǎn)為，連接，如圖所示，由題意得，且正四棱錐的外接球球心，設(shè)外接球半徑為，則，在中，，且，所以，解得，即，在中，，過(guò)作，則即為點(diǎn)到平面的距離，且為平面截其外接球所得截面圓的圓心，所以，則，所以，所以截面的面積.故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出外接圓半徑以及找到點(diǎn)到平面的距離.60．在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點(diǎn)，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到球心O在平面ACD的投影與M點(diǎn)重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出輔助線，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由半徑相等列出方程，求出x，進(jìn)而得到外接球半徑，求出表面積.【詳解】因?yàn)槭且訡D為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點(diǎn)，，所以AM⊥CD，且，因?yàn)椋?，而，由勾股定理得：，所以BM=BC，故為等腰直角三角形，，，由題意得：球心O在平面ACD的投影與M點(diǎn)重合，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以球心O在平面BCD上，在平面BCD上，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，故，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由余弦定理得：，則，由得：，解得：，設(shè)外接球半徑為，則，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．61．已知直三棱柱，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過(guò)的內(nèi)切圓圓心，且，，，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B．π C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，，過(guò)分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為三棱取的外接球球心，計(jì)算，，再利用勾股定理得到，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】如圖，為線段的中點(diǎn)，，平面，平面，故，，平面，故平面，平面，故，故，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)且過(guò)的內(nèi)切圓圓心，故，即.所以.取的中點(diǎn)，連接、，分別在、上取、的外接圓圓心、.過(guò)分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱取的外接球球心.在中由余弦定理得：，所以.設(shè)、的外接圓半徑分別為、，三棱錐的外接球半徑為.，解得，同理，所以，，所以三?錐的外接球表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面垂直，三棱錐的外接球表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力，其中，確定過(guò)圓心的垂線交點(diǎn)是球心再利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵，此方法是常考方法，需要熟練掌握.10內(nèi)切球綜合應(yīng)用62．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其內(nèi)切球和外接球球心重合，則該圓錐外接球的表面積為（

）A．48π B．36π C．24π D．12π【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)切球和外接球球心重合，得到角之間的關(guān)系，繼而可求外接球半徑.【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球和外接球球心重合，如圖可以得到所以外接球半徑，∵，∴因此圓錐外接球的表面積為48π.故選：A.63．（2025·河南·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，圓錐的內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)圓錐內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，即可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選：A.64．（2025·重慶·三模）棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的體積最大為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內(nèi)切球的半徑，再通過(guò)求出空隙處球的最大半徑，從而即可求最大體積.【詳解】如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為O，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，由正四面體結(jié)構(gòu)特征可知G為的中心，面，設(shè)E為中點(diǎn)，球O和球分別與面相切于F和.易得，，，由可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即空隙處的最大球的半徑為.所以空隙處的最大球的體積為為.故選：D65．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球表面積為，則能裝下該正四面體的最小正方體不計(jì)厚度的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等體積法求得正四面體棱長(zhǎng)，再由圖可得正四面體的每條邊均為相應(yīng)正方體的面對(duì)角線，據(jù)此可得答案.【詳解】設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，半徑為r，則，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為a，則，又由題可得，解得，則.又如圖所示，取三角形BCD中心為，則為四面體底面BCD對(duì)應(yīng)的高，連接，則為三角形BCD外接圓半徑，等于，則，則將正四面體按照如圖所示的方式放入正方體中，即正四面體的每條邊均為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)為能裝下該正四面體的最小正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為t，則，解得，故此正方體的體積為故選：66．（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）一圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面直徑為，母線長(zhǎng)為，則內(nèi)切于該圓臺(tái)的球體體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件求出圓臺(tái)的高，結(jié)合條件得到球與圓臺(tái)的上、下底面相切，從而求出內(nèi)切球的半徑，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為，由題知，又母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的高為，若球與圓臺(tái)的下底面和側(cè)面相切，設(shè)球的半徑為，球心為，圓臺(tái)的上、下底面的中心分別為，與圓臺(tái)側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)為，過(guò)球心的軸截面如圖所示，連接，易知，則，又，由，得到，解得，又，所以球與圓臺(tái)的上、下底面相切，與側(cè)面不相切，所以，球的體積為，

故選：B.67．（2025·廣西北海·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)切球的體積為，則這個(gè)正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．16【答案】C【分析】由內(nèi)切球的體積為可求內(nèi)切球的半徑.設(shè)球與正四棱錐底面切于點(diǎn)，側(cè)面切于點(diǎn)，設(shè)，延長(zhǎng)交底面于點(diǎn).根據(jù)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)及即可求解的值，利用棱錐體積公式即可求解.【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為，所以內(nèi)切球的半徑為1.如圖所示，設(shè)球與正四棱錐底面切于點(diǎn)，側(cè)面切于點(diǎn)，設(shè)，延長(zhǎng)交底面于點(diǎn).因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，所以.又，所以，即，解得.所以，所以正四棱錐的體積為.故選：C.68．（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）若圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，記圓柱與球的體積之比為，表面積之比為，則（

）A． B．C． D．的大小不確定【答案】A【分析】可先分別根據(jù)圓柱和球的體積公式、表面積公式求出和的值，再比較和的大小.【詳解】設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆角『门c圓柱的高相等，所以圓柱的高，又因?yàn)榍蚴菆A柱的內(nèi)切球，所以圓柱底面半徑.根據(jù)圓柱體積公式，可得圓柱體積.根據(jù)球的體積公式.已知圓柱與球的體積之比為，則.根據(jù)圓柱表面積公式，可得圓柱表面積.根據(jù)球的表面積公式.已知圓柱與球的表面積之比為，則.所以.故選：A.69．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐P-ABCD中，各棱長(zhǎng)均相等，球是該四棱錐的內(nèi)切球，球與球相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切；球與球相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切，球的半徑大于球的半徑，則球與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)已知正四棱錐頂點(diǎn)及底面正方形一組對(duì)邊中點(diǎn)作截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問(wèn)題求解作答.【詳解】在正四棱錐中，令各棱長(zhǎng)為2，O為正方形ABCD的中心，M，Q分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P，M，Q的平面截正四棱錐得等腰，截球O1，球O2，球O3，得對(duì)應(yīng)球的截面大圓，如圖：顯然，，令N為圓與PM相切的切點(diǎn)，則，設(shè)球的半徑為，即，因?yàn)椋瑒t，顯然，，設(shè)球與球相切于點(diǎn)T，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，即，設(shè)球與球相切于點(diǎn)S，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，即，，所以，故選：B11棱切球綜合應(yīng)用70．已知球與棱長(zhǎng)均為3的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為.【答案】【分析】考慮正方體的內(nèi)切球恰好與每個(gè)面相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，該球?yàn)橛闪鶙l面對(duì)角線構(gòu)成的正四面體的內(nèi)切球，即可求得求得半徑.【詳解】可采用補(bǔ)體的方法，先畫(huà)一個(gè)正方體，正方體的棱長(zhǎng)為322，那么正方體的面對(duì)角線為3，取四點(diǎn)構(gòu)成棱長(zhǎng)為3的三棱錐，若與三棱錐的各棱均相切，即與正方體的各面相切，所以正方體的內(nèi)切球就是所求的球，球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，即342，這樣球的表面積為S=4πR2=4π×(342)2=92π.故答案為：92π【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)求滿足條件的求得表面積，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確構(gòu)造物體關(guān)系，求出球的半徑，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化，利于解題.71．已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為，則與其各條棱都相切的球的體積為.【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)全為正方體，各條棱分別為正方體各面的對(duì)角線，由此確定正方體內(nèi)切球即為所求的球，由此可確定球的半徑，從而得到所求的球的體積.【詳解】將三棱錐補(bǔ)全為正方體，如下圖所示：則正方體的內(nèi)切球即為與三棱錐各條棱均相切的球，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，解得：，所求的球的半徑，球的體積.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)將三棱錐補(bǔ)全為正方體，確定正方體的內(nèi)切球即為所求的球.72．已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為.【答案】【分析】設(shè)正三棱柱下底面和上底面的中心分別為，則的中點(diǎn)為球心，取棱中點(diǎn)，則為棱與球的切點(diǎn)，為球半徑，而到棱的距離等于，這樣利用勾股定理可求得半徑，從而得體積．【詳解】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對(duì)稱性知中點(diǎn)為球的球心，取中點(diǎn)（為切點(diǎn)），則（等于到棱距離．設(shè)球半徑為，由正三角形性質(zhì)知，與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，球體積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性確定球心位置求得球的半徑．從而求得球的體積．利用對(duì)稱性知正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)為球心，而各棱與球相切的切點(diǎn)為各棱中點(diǎn)．從而易求得結(jié)論．73．已知三棱錐A﹣BCD所有棱長(zhǎng)都相等，球與它的六條棱都相切，球與它的四個(gè)面都相切，則球與球的表面積之比為．【答案】3【分析】依題意可知三棱錐為正四面體，取中點(diǎn)，通過(guò)說(shuō)明為球的一條直徑，然后計(jì)算，使用等體積法得到球的半徑，然后使用表面積公式計(jì)算即可.【詳解】顯然此三棱錐為正四面體，如圖1取中點(diǎn)，連結(jié)，由，所以，同理：則可知為球的一條直徑，連結(jié)，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2，則，所以，所以，球半徑．如圖2過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，顯然為的重心，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，，所以，所以，由．得，所以故答案為：312球體在解答題中的應(yīng)用74．（2025·四川攀枝花·三模）如圖，在四面體中，D為棱上一點(diǎn)，，，，且，，二面角的大小為．(1)證明：平面；(2)求四面體外接球的體積；(3)求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】(1)利用勾股定理證明一個(gè)線線垂直，再利用一個(gè)已知的垂直關(guān)系，即可證明線面垂直；(2)利用線面垂直可得線線垂直，再證明平面，從而可得直角四面體，利用補(bǔ)形法求外接球半徑，即可求出體積；(3)利用換底面建立空間直角坐標(biāo)系，把所求的線段長(zhǎng)設(shè)為參數(shù)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)表示各點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)法向量夾角余弦值的絕對(duì)值為，建立相等關(guān)系求解即可.【詳解】（1）由，，，可得：，則由勾股定理得：，又，，平面，所以平面；（2）由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，則四面體滿足平面，，因此這個(gè)四面體可以放在一個(gè)長(zhǎng)方體里，所以外接球的直徑就是該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，因?yàn)?，所以外接球的半徑，即該外接球的體積，（3）把這個(gè)三棱錐換成以作底面，因?yàn)?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面，，，,設(shè)，則，即，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，解得?5．（24-25高三上·山西·期末）如圖，四邊形為矩形，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.(1)求三棱錐外接球的表面積；(2)當(dāng)平面平面時(shí)，證明：，并求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）確定外接球球心即為的中點(diǎn)，即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【詳解】（1）解：因?yàn)楹途鶠橐詾樾边叺闹苯侨切?，所以三棱錐的外接球球心即為的中點(diǎn)，半徑，所以外接球表面積.（2）證明：當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)椋矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），由，，得解得，，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，，.設(shè)平面，所以所以令，得，易知為平面的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.76．（24-25高三上·河南·期末）如圖，在四面體中，為棱上一點(diǎn)，，，，且，，二面角的大小為.(1)證明：平面；(2)求四面體的外接球的體積；(3)求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用勾股定理可證得，再結(jié)合以及線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，，將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出長(zhǎng)方體外接球的半徑，再結(jié)合球體體積公式可求得結(jié)果；（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量法求出的值，即可求出線段的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，?又因?yàn)?，，、平面，所以平面?）因?yàn)槠矫?，平面，?/p>