2025年電磁場與電磁波重點公式總結(jié)**總標題：2025年電磁場與電磁波重點公式總結(jié)**

**引言(Introduction)**

***目的與范圍:**簡述本總結(jié)的目的，即梳理和歸納電磁場與電磁波（通常指麥克斯韋方程組及其應(yīng)用）的核心公式，覆蓋2025年可能涉及的主要知識點。

***核心內(nèi)容:**概述總結(jié)將包含的主要部分，如麥克斯韋方程組、常用定理、勢與波、電磁波傳播等。

***假設(shè)前提:**假設(shè)讀者已具備電磁學、矢量分析等基礎(chǔ)知識。

**第一部分：麥克斯韋方程組(Maxwell'sEquations)**

***核心地位:**闡述麥克斯韋方程組作為電磁理論基石的核心作用。

***積分形式(IntegralForm):**

***高斯電場定律:**∮E?dA=Q_enc/ε?(電荷是電場的源)

***高斯磁場定律:**∮B?dA=0(不存在磁單極子，磁感線閉合)

***法拉第電磁感應(yīng)定律:**∮E?dl=-dΦ_B/dt(變化的磁場產(chǎn)生感生電場)

***安培-麥克斯韋定律:**∮B?dl=μ?(J+ε?dE/dt)(傳導(dǎo)電流和位移電流共同產(chǎn)生磁場)

***微分形式(DifferentialForm):**

***??E=ρ/ε?**

***??B=0**

***?×E=-?B/?t**

***?×B=μ?J+μ?ε??E/?t**

***關(guān)系:**對比積分與微分形式，強調(diào)其等價性及適用場景。

**第二部分：常用矢量分析公式(CommonVectorAnalysisIdentities)**

***重要性:**強調(diào)矢量分析是應(yīng)用麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)工具。

***梯度(Gradient):**?f,??(gradf)=?2f,?×(gradf)=0

***散度(Divergence):**??A,高斯散度定理(Gauss'sDivergenceTheorem)

***旋度(Curl):**?×A,斯托克斯定理(Stokes'Theorem)

***拉普拉斯算子(LaplaceOperator):**?2

***標量/矢量恒等式:**如??(φ?ψ)=φ?2ψ+?φ??ψ,?×(φ?ψ)=?φ×?ψ(φ為標量,ψ為標量或矢量等)

**第三部分：勢與勢函數(shù)(PotentialsandPotentialFunctions)**

***引入:**為簡化求解電磁場，引入標量勢V和矢量勢A。

***泊松方程與拉普拉斯方程:**

***電標勢(ElectricScalarPotential):**?2V=-ρ/ε?(靜電場中為拉普拉斯方程:?2V=0)

***磁矢勢(MagneticVectorPotential):**?2A=-μ?J(時變場中)

***關(guān)系式:**

***電場與勢:**E=-?V-?A/?t

***磁場與勢:**B=?×A

***達朗貝爾方程(WaveEquation):**對A和V的時變方程推導(dǎo)，特別是對于源項為零或已知的情況。

***規(guī)范選擇(GaugeChoice):**如庫侖規(guī)范(??A=0)，及其對勢方程和場的簡化意義。

**第四部分：電磁波(ElectromagneticWaves)**

***從麥克斯韋方程組推導(dǎo):**

***波動方程推導(dǎo):**從時變麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出E和B滿足的波動方程。

***真空中波速:**c=1/√(ε?μ?)，其物理意義。

***電磁波基本性質(zhì):**

***橫波特性:**E,B,k(波矢)三者相互垂直，且E⊥B。

***相位關(guān)系:**E和B同相或反相（取決于源和規(guī)范）。

***能流密度/坡印廷矢量(PoyntingVector):**S=E×B/μ?(平均值為<S>=I/Z?，其中I為平均功率，Z?為波阻抗)。

***電磁波譜(ElectromagneticSpectrum):**簡述不同頻率/波長范圍的波（γ射線、X射線、紫外線、可見光、紅外線、微波、無線電波等）及其主要產(chǎn)生機制和性質(zhì)。

**第五部分：特定情況下的應(yīng)用與公式(ApplicationsinSpecificCases)**

***靜態(tài)場(StaticFields):**

***電偶極矩:**p=qd,電偶極矩場中的勢和場。

***磁偶極矩:**m=Ia,磁偶極矩的勢和場。

***平面電磁波(PlaneElectromagneticWaves):**

***波前與傳播方向:**E,B,k共線且垂直。

***復(fù)數(shù)表示法:**使用復(fù)數(shù)形式簡化計算，如E(z,t)=Re[E?e^(i(kz-ωt))],Poynting矢量的瞬時值和平均值。

***在不同介質(zhì)中的傳播:**透射系數(shù)、反射系數(shù)（簡述，可指向更深入的波動光學內(nèi)容）。

***邊界條件(BoundaryConditions):**

***電場切向分量連續(xù):**E??=E??

***磁場切向分量連續(xù):**B??=B??

***電場法向分量關(guān)系:**ε?E??-ε?E??=ρ_s(自由表面電荷密度)

***磁場法向分量關(guān)系:**μ?B??=μ?B??(理想導(dǎo)體或自由表面電流密度為零)

***(可選)傳輸線理論基礎(chǔ):**特性阻抗、傳播常數(shù)等概念（如果課程涉及）。

**第六部分：關(guān)鍵參數(shù)與單位(KeyParametersandUnits)**

***基本常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)),μ?(真空磁導(dǎo)率),c(光速),h(普朗克常數(shù))等。

***介質(zhì)參數(shù):**ε_r(相對介電常數(shù)),μ_r(相對磁導(dǎo)率),σ(電導(dǎo)率),κ(損耗角正切)。

***特性阻抗:**Z?=√(μ?/ε?),Z=√(μ/ε)。

***單位制:**SI單位制下的主要單位（庫侖C,安培A,伏特V,特斯拉T,亨利H,法拉F,秒s,米m）。

**結(jié)論(Conclusion)**

***總結(jié):**再次強調(diào)核心公式和概念的重要性。

***展望:**提及這些公式在物理、工程（通信、光學、材料科學等）領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

***學習建議:**鼓勵讀者結(jié)合具體問題進行深入理解和應(yīng)用。

**附錄(Appendix)(可選)**

***常用物理常數(shù)表。**

***介質(zhì)性質(zhì)表。**

***重要積分表。**

這個框架結(jié)構(gòu)清晰，覆蓋了從基本定律到具體應(yīng)用的主要公式，可以作為復(fù)習和總結(jié)的強大工具。

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**第一章：麥克斯韋方程組(Maxwell'sEquations)**

**1.1核心地位(CorePosition)**

麥克斯韋方程組是經(jīng)典電磁理論的基石，由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀60年代系統(tǒng)性地建立起來。它是一個完備的、自洽的方程組，描述了電場（E）、磁場（B）、電荷密度（ρ）和電流密度（J）之間的普遍關(guān)系。這組方程不僅統(tǒng)一了庫侖定律、高斯定律、法拉第感應(yīng)定律和安培定律（或安培-麥克斯韋定律）等先前已知的電磁學定律，更重要的是，它們預(yù)言了電磁波的存在，并為光的電磁本質(zhì)提供了理論解釋。對于2025年的電磁場與電磁波學習而言，深刻理解并熟練運用麥克斯韋方程組（及其各種形式）是掌握后續(xù)所有知識和應(yīng)用的基礎(chǔ)。它們是分析電磁場靜態(tài)分布、時變過程以及波動傳播的根本依據(jù)。

**1.2麥克斯韋方程組的形式(FormsofMaxwell'sEquations)**

麥克斯韋方程組有兩種主要形式：積分形式和微分形式。積分形式在處理有限大小的電荷和電流分布，或求解具有對稱性的問題時更為直觀。微分形式則描述了場量在空間每一點的行為，是理論推導(dǎo)和數(shù)值計算的基礎(chǔ)。

**1.3積分形式(IntegralForm)**

積分形式的麥克斯韋方程組涉及對閉合曲面（面積分）、閉合路徑（線積分）或體積（體積分）的積分。其物理意義在于描述了穿過某個閉合曲面的電通量、磁通量，沿某個閉合路徑的電場線或磁場線的環(huán)流，以及通過某個閉合曲面的總電荷和總電流與曲面內(nèi)部源的關(guān)系。

***1.3.1高斯電場定律(Gauss'sLawforElectricity)**

***公式:**

∮_SE?dA=Q_enc/ε?

***說明:**

*∮_SE?dA是電場強度E矢量穿過閉合曲面S的通量。

*dA是曲面上的面元矢量，其方向通常取外法線方向。

*Q_enc是被該閉合曲面S所包圍的總電荷量。

*ε?是真空介電常數(shù)，其值約為8.854×10?12C·m?1(庫侖每平方米)。

***物理意義:**該定律指出，電場線始于正電荷，終于負電荷。穿過任何閉合曲面的凈電通量，正比于該曲面內(nèi)部所包含的總電荷。它表明電荷是電場的源頭或sinks。對于真空中的靜電場，如果閉合曲面內(nèi)沒有凈電荷(Q_enc=0)，則電通量為零(∮_SE?dA=0)，即電場線不閉合。

***1.3.2高斯磁場定律(Gauss'sLawforMagnetism)**

***公式:**

∮_SB?dA=0

***說明:**

*∮_SB?dA是磁場強度B矢量穿過閉合曲面S的通量。

*dA是曲面上的面元矢量。

***物理意義:**該定律指出，不存在磁單極子（即沒有獨立的N極或S極）。穿過任何閉合曲面的凈磁通量恒為零。這表明磁感線總是形成閉合loop，既無起點也無終點。這是區(qū)分電場和磁場的一個基本特征。

***1.3.3法拉第電磁感應(yīng)定律(Faraday'sLawofInduction)**

***公式:**

∮_CE?dl=-dΦ_B/dt

***說明:**

*∮_CE?dl是電場強度E矢量沿閉合路徑C的環(huán)流。

*dΦ_B/dt是穿過以閉合路徑C為邊界的任意曲面S的磁通量Φ_B隨時間的變化率。磁通量Φ_B=∮_SB?dA。

*負號表示感應(yīng)電場的方向（根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量變化）。

***物理意義:**該定律描述了變化的磁場能夠激發(fā)電場。當穿過某回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢（即感應(yīng)電場沿路徑的線積分）。這是電磁感應(yīng)現(xiàn)象的數(shù)學表達，是發(fā)電機和變壓器工作的基礎(chǔ)。

***1.3.4安培-麥克斯韋定律(Ampère-MaxwellLaw)**

***公式:**

∮_CB?dl=μ?(J_enc+ε?dΦ_E/dt)

***說明:**

*∮_CB?dl是磁場強度B矢量沿閉合路徑C的環(huán)流。

*J_enc是穿過以閉合路徑C為邊界的任意曲面S的總傳導(dǎo)電流密度（或稱自由電流密度）的代數(shù)和。電流方向與路徑方向符合右手螺旋定則時為正。

*dΦ_E/dt是穿過以閉合路徑C為邊界的曲面S的電通量Φ_E隨時間的變化率。電通量Φ_E=∮_SE?dA。

*ε?是真空介電常數(shù)，μ?是真空磁導(dǎo)率，其值約為4π×10??T·m·A?1(特斯拉每安培米)。

***物理意義:**該定律描述了電流和變化的電場都能激發(fā)磁場。其中，第一項J_enc是安培定律的原始部分，描述了傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場。第二項ε?dΦ_E/dt是麥克斯韋引入的“位移電流”項，描述了變化的電場（即使沒有實際電流穿過）也能產(chǎn)生磁場。這一項是使方程組能夠自洽地預(yù)言電磁波存在的關(guān)鍵，它彌補了靜態(tài)安培定律在時變條件下的不完備性（特別是對于電容器充電等情形）。位移電流的存在表明，傳導(dǎo)電流和位移電流共同構(gòu)成了“全電流”，全電流是連續(xù)的。

**1.4微分形式(DifferentialForm)**

微分形式的麥克斯韋方程組直接描述了空間某一點電場和磁場的性質(zhì)與該點電荷密度、電流密度以及鄰近區(qū)域場量之間的關(guān)系。

***1.4.1高斯電場定律(DifferentialForm)**

***公式:**

??E=ρ/ε?

***說明:**

*??E是電場的散度，表示在該點電場“發(fā)散”或“匯聚”的程度。

*ρ是該點的電荷密度（庫侖每立方米）。

*ε?是真空介電常數(shù)。

***物理意義:**與積分形式相同，該定律指出電荷是電場的源頭。在電荷密度不為零的地方，電場線會發(fā)出或匯聚。

***1.4.2高斯磁場定律(DifferentialForm)**

***公式:**

??B=0

***說明:**

*??B是磁場的散度。

***物理意義:**與積分形式相同，該定律指出不存在磁單極子。在空間任何一點，磁感線既不會發(fā)出也不會匯聚，磁場是連續(xù)的。

***1.4.3法拉第電磁感應(yīng)定律(DifferentialForm)**

***公式:**

?×E=-?B/?t

***說明:**

*?×E是電場的旋度，表示電場在該點“環(huán)繞”或“卷曲”的程度。

*?B/?t是磁場隨時間的變化率。

***物理意義:**該定律指出，空間某點存在變化的磁場時，會激發(fā)出該點附近的空間存在渦旋狀的感應(yīng)電場。變化越快，感應(yīng)電場旋度越大。

***1.4.4安培-麥克斯韋定律(DifferentialForm)**

***公式:**

?×B=μ?(J+ε??E/?t)

***說明:**

*?×B是磁場的旋度。

*J是該點的傳導(dǎo)電流密度（安培每平方米）。

*?E/?t是電場隨時間的變化率（位移電流密度）。

*ε?,μ?分別是真空介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率。

***物理意義:**該定律指出，空間某點存在傳導(dǎo)電流或變化的電場時，會激發(fā)出該點附近的空間存在磁場。第一項μ?J表示傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場，第二項μ?ε??E/?t表示變化的電場（位移電流）產(chǎn)生磁場。這統(tǒng)一了電流和變化的電場都是磁場的旋度源。

**1.5關(guān)系(RelationshipbetweenIntegralandDifferentialForms)**

根據(jù)高斯散度定理(∮_S??A?dA=?_V??AdV)和斯托克斯定理(∮_CA?dl=?_S?×A?dS)，可以從微分形式推導(dǎo)出積分形式，反之亦然（在滿足一定條件下，如源分布具有適當?shù)膶ΨQ性）。這兩種形式在物理上是等價的，但適用于不同的分析層面：積分形式更直觀地關(guān)聯(lián)場與源的整體關(guān)系，微分形式則揭示了場量在局部空間的行為規(guī)律。

**1.6自洽性與相對論(ConsistencyandRelativity)**

特別值得一提的是安培-麥克斯韋定律中的位移電流項ε??E/?t。它的引入使得原本在靜態(tài)情況下相互矛盾的安培定律（對穩(wěn)恒電流）和法拉第定律（對時變場）在時變情況下變得自洽一致。更重要的是，麥克斯韋方程組的微分形式在洛倫茲變換下保持形式不變，這表明它們是相對論協(xié)變的，是狹義相對論建立的重要基礎(chǔ)之一。麥克斯韋方程組預(yù)言的電磁波在真空中的傳播速度c=1/√(ε?μ?)正是光速，這與邁克爾遜-莫雷實驗結(jié)果吻合，為愛因斯坦提出狹義相對論提供了強大的物理和數(shù)學依據(jù)。

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這部分詳細闡述了麥克斯韋方程組的定義、物理意義、不同形式及其重要性，為后續(xù)章節(jié)的學習奠定了堅實的基礎(chǔ)。

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**第二章：常用矢量分析公式(CommonVectorAnalysisIdentities)**

**2.1重要性(Importance)**

矢量分析是研究電磁場理論不可或缺的數(shù)學工具。電場強度（E）、磁場強度（B）、位移電流密度（J）、電荷密度（ρ）以及介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系等電磁場量都是矢量或張量場。麥克斯韋方程組本身也大量涉及矢量微分運算（梯度、散度、旋度）和積分運算。因此，熟練掌握矢量分析的基本概念和常用公式，對于準確理解麥克斯韋方程組的物理內(nèi)涵、進行數(shù)學推導(dǎo)、求解具體問題至關(guān)重要。本章匯總的公式是后續(xù)章節(jié)應(yīng)用的基礎(chǔ)。

**2.2核心運算(CoreOperations)**

**2.2.1梯度(Gradient)**

***定義:**梯度運算作用于標量場f，產(chǎn)生一個與該點等值面正交（指向梯度增大的方向）的矢量場gradf或?f。

***公式:**

?f=(?f/?x)?+(?f/?y)?+(?f/?z)k?

其中?,?,k?是笛卡爾坐標系下的單位矢量。

***分量形式:**?f=[?f/?x,?f/?y,?f/?z]

***關(guān)鍵性質(zhì):**

***標量場的等值面:**gradf始終垂直于通過該點的f的等值面。

***標量場的方向?qū)?shù):**沿任意方向l的單位矢量為l?時，標量場f在該方向的方向?qū)?shù)為df/dl=gradf?l?。即梯度在任意方向上的投影等于該方向的方向?qū)?shù)。

***散度與梯度:**??(gradf)=?2f=?2f/?x2+?2f/?y2+?2f/?z2(拉普拉斯算子)。

***旋度與梯度:**?×(gradf)=0。任何標量場的梯度的旋度恒為零。

***標量函數(shù)的乘積梯度:**grad(φψ)=φ?ψ+ψ?φ

***梯度的高階導(dǎo)數(shù):**?(gradf)=grad(?f)=2?2f(在笛卡爾坐標系下)

**2.3核心運算(CoreOperations)**

**2.3.2散度(Divergence)**

***定義:**散度運算作用于矢量場A，產(chǎn)生一個標量場，表示該點矢量場“發(fā)散”或“匯聚”的程度。正散度表示源，負散度表示匯。

***公式(笛卡爾坐標系):**

??A=?A_x/?x+?A_y/?y+?A_z/?z

***公式(球坐標系):**

??A=?(rA_r)/?r+1/r2?/?θ(rA_θ)/?θ+1/(rsinθ)?/?φ(A_φsinθ)

***關(guān)鍵性質(zhì):**

***矢量場的通量:**∮_SA?dA=?_V(??A)dV(高斯散度定理)。矢量場通過閉合曲面S的通量等于該曲面所包圍體積V內(nèi)散度的體積分。這是散度最重要的物理意義和應(yīng)用形式之一。

***散度與旋度:**??(?×A)=0。任何矢量場的旋度的散度恒為零。

***矢量函數(shù)的乘積散度:**

*??(φA)=φ??A+A??φ(φ為標量)

*??(A×B)=B??×A-A??×B

*??(A×φC)=φC??×A-A?(φ?×C)(φ,C為標量)

***散度的高階導(dǎo)數(shù):**??(??A)=?2(A_x)+?2(A_y)+?2(A_z)=?2?A

**2.4核心運算(CoreOperations)**

**2.4.3旋度(Curl)**

***定義:**旋度運算作用于矢量場A，產(chǎn)生一個與該點矢量場“旋轉(zhuǎn)”或“渦旋”程度相關(guān)的矢量場curlA或?×A。其方向由右手定則確定，大小表示旋轉(zhuǎn)強度。

***公式(笛卡爾坐標系):**

?×A=|??k?|

|?/?x?/?y?/?z|

|A_xA_yA_z|

=[(?A_z/?y)-(?A_y/?z)]?+[(?A_x/?z)-(?A_z/?x)]?+[(?A_y/?x)-(?A_x/?y)]k?

***公式(柱坐標系):**

?×A=[1/r?(rA_φ)/?r-?A_z/?φ]?+[?A_z/?r-1/r?(rA_φ)/?z]?+[1/r(?A_y/?r-?A_x/?y)]k?

***公式(球坐標系):**

?×A=[1/(rsinθ)?(sinθA_φ)/?θ-1/r?A_θ/?φ]?

+[1/r?(rA_r)/?φ-1/(rsinθ)?A_φ/?r]?

+[1/r(?(rsinθA_θ)/?r-?A_r/?θ)]k?

***關(guān)鍵性質(zhì):**

***矢量場的環(huán)流:**∮_CA?dl=?_S(?×A)?dS(斯托克斯定理)。矢量場沿閉合曲線C的環(huán)流等于該曲線所圍曲面S上的旋度的面積分。這是旋度最重要的物理意義和應(yīng)用形式之一。

***旋度與散度:**?×(?×A)=?(??A)-?2A。任何矢量場的旋度的旋度等于其散度的梯度減去該矢量場的拉普拉斯算子。

***矢量函數(shù)的乘積旋度:**

*?×(φA)=?φ×A+φ?×A(φ為標量)

*?×(A×B)=A??B-B??A+(B??)A-(A??)B

*?×(A×φC)=(φC??)A-(A??)φC(φ,C為標量)

***旋度與梯度:**?×(gradf)=0。

***旋度的散度:**??(?×A)=0。

**2.5拉普拉斯算子(LaplaceOperator)**

***定義:**拉普拉斯算子是二階微分算子，作用于標量場或矢量場，在物理學中常用于描述無源的勢函數(shù)或穩(wěn)態(tài)場。

***公式(笛卡爾坐標系):**

?2f=?2f/?x2+?2f/?y2+?2f/?z2

?2A=?2(A_x)?+?2(A_y)?+?2(A_z)k?=(?2A_x/?x2+?2A_x/?y2+?2A_x/?z2)?+...

***公式(球坐標系):**

?2f=[1/r2?/?r(r2?f/?r)]+[1/(r2sinθ)?/?θ(sinθ?f/?θ)]+[1/(r2sin2θ)?2f/?φ2]

?2A(各分量類似，但需注意單位矢量導(dǎo)數(shù)的影響)

***關(guān)鍵性質(zhì):**

***高斯散度定理的應(yīng)用:**??(?f)=?2f。

***斯托克斯定理的應(yīng)用:**?×(?×A)=?(??A)-?2A。

***泊松方程與拉普拉斯方程:**麥克斯韋方程組在靜態(tài)場中導(dǎo)出標量勢A和矢量勢A滿足的泊松方程(?2A=-ρ/ε?)或拉普拉斯方程(?2A=0)。在許多邊界條件下，場本身也滿足拉普拉斯方程。

**2.6常用恒等式(CommonIdentities)**

除了上述基本運算的性質(zhì)外，以下是一些常用的矢量恒等式，它們在推導(dǎo)和求解電磁場問題時非常有用：

***??(gradf)=?2f**

***?×(gradf)=0**

***??(curlA)=0**

***?×(curlA)=0**

***??(φgradf)=φ?2f+grad(φ)f**(φ為標量)

***?×(φcurlA)=curl(φA)-φ?×A**(φ為標量)

***??(A×B)=B?(?×A)-A?(?×B)**

***?×(A×B)=A(??B)-B(??A)+(B??)A-(A??)B**

***??(gradf+curlA)=?2f+?×A**

***?×(gradf+curlA)=?×curlA+curl(?×A)=0+0=0**

***??(fgradg)=f?2g+g?2f+2grad(f)?grad(g)**(f,g為標量)

***?×(fgradg)=0**

***(gradf)?(gradg)=1/2?2(f2)**

**2.7坐標系變換(CoordinateTransformations)**

在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)問題的對稱性選擇合適的坐標系。不同坐標系下的矢量分析公式形式不同。常見的坐標系包括笛卡爾坐標系、柱坐標系（極坐標）、球坐標系。了解這些坐標系的單位矢量、基矢量導(dǎo)數(shù)以及拉普拉斯算子、散度、旋度的表達式至關(guān)重要。例如，在柱坐標中，?f=(?/?r,1/r?/?θ,?/?z)，??A=?(rA_r)/?r+1/r?A_θ/?θ+?A_z/?z，?×A=[1/r?(rA_φ)/?r-?A_z/?φ]?+[?A_z/?r-1/r?(rA_φ)/?z]?+[1/r(?A_y/?r-?A_x/?y)]k?。

**2.8注意事項(Notes)**

*矢量分析公式在不同坐標系下的表達形式不同，需根據(jù)具體問題選用。

*單位矢量（如?,?,k?,?,?,k?,e_r,e_θ,e_φ）是特定于坐標系的局部基矢量，其方向可能隨位置變化。

*求導(dǎo)時必須考慮單位矢量的導(dǎo)數(shù)（例如，在柱坐標和球坐標中，單位矢量本身也是位置的函數(shù)）。

*熟練掌握這些公式不僅是為了計算，更是為了理解物理定律在不同空間結(jié)構(gòu)下的表現(xiàn)。

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這部分系統(tǒng)地梳理了電磁場理論中常用的矢量分析公式，包括基本運算的定義、性質(zhì)、常用恒等式以及在不同坐標系下的表達，為后續(xù)章節(jié)處理具體的電磁場問題提供了必要的數(shù)學工具箱。

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**第三章：勢與勢函數(shù)(PotentialsandPotentialFunctions)**

**3.1引入(Introduction)**

直接求解麥克斯韋方程組中的電場E和磁場B，尤其是在源分布復(fù)雜或具有對稱性時，往往非常困難。為了簡化問題，引入標量勢(ScalarPotential,V)和矢量勢(VectorPotential,A)。這兩個勢函數(shù)與E和B之間存在確定的關(guān)系，通過求解關(guān)于V和A的方程（通常是泊松方程或拉普拉斯方程），可以更方便地獲得場量。

**3.2勢的定義與方程(DefinitionandEquationsforPotentials)**

***電標勢(ElectricScalarPotential,V):**

***定義:**定義V使得電場E的一個分量可以表示為V的負梯度。通常選擇E=-?V(不包含磁場項)。這種選擇要求??E=ρ/ε?，即源電荷分布給定。

***關(guān)系式:**E=-?V-?A/?t(高斯定律??E=ρ/ε?代入麥克斯韋方程得到此式)。

***泊松方程(Poisson'sEquation):**將E=-?V代入法拉第定律?×E=-?B/?t，并結(jié)合安培-麥克斯韋定律?×B=μ?J+μ?ε??E/?t=μ?J-μ?ε??V/?t，得到關(guān)于V的偏微分方程：

?2V=-ρ/ε?

(在無源區(qū)域ρ=0，則得到拉普拉斯方程?2V=0)。

***磁矢勢(MagneticVectorPotential,A):**

***定義:**定義A使得磁場B的一個分量可以表示為A的旋度。根據(jù)磁場的高斯定律??B=0，可以證明任何滿足??A=0的矢量場都可以作為磁矢勢。

***關(guān)系式:**B=?×A(高斯定律??B=0代入麥克斯韋方程得到此式)。

***安培-麥克斯韋定律(intermsofA):**將B=?×A代入安培-麥克斯韋定律?×B=μ?J+μ?ε??E/?t，得到關(guān)于A的偏微分方程：

?×(?×A)=μ?J+μ?ε??(-?V)/?t=μ?J-μ?ε??(?V/?t)=μ?J-μ?ε??E

利用矢量恒等式?×(?×A)=?(??A)-?2A，并且通常選擇庫侖規(guī)范??A=0，上式簡化為：

-?2A=μ?J-μ?ε??(?V/?t)

即：?2A=-μ?J+μ?ε??(?V/?t)

(在無源區(qū)域J=0且V恒定或緩變，即?V/?t=0，則得到拉普拉斯方程?2A=0)。

**3.3拉普拉斯方程與泊松方程(Laplace'sandPoisson'sEquations)**

*拉普拉斯方程(?2f=0)描述了無源區(qū)域（ρ=0,J=0）中物理量的行為，例如靜電場的V，穩(wěn)態(tài)磁場的A，或許多其他物理場的標量部分。

*泊松方程(?2f=-ρ/ε?或?2f=-μ?J)描述了有源區(qū)域中物理量的行為，將源項直接與場的二階微分聯(lián)系起來。勢函數(shù)方法的核心思想是將復(fù)雜的源場關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于V和A的泊松方程或拉普拉斯方程。

**3.4規(guī)范選擇(GaugeChoice)**

***物理場唯一性:**從勢函數(shù)V和A求解物理場E和B時，E=-?V-?A/?t和B=?×A，這兩個方程是線性的。因此，物理場E和B完全由源（ρ,J）以及一個特定的規(guī)范條件下的勢（V,A）確定，而勢的絕對值或差值并不影響物理場。

***庫侖規(guī)范(CoulombGauge):**規(guī)范條件為??A=0。

***優(yōu)點:**矢量勢A的方程簡化為?2A=-μ?J(泊松方程)。計算相對簡單。

***缺點:**對于時變源J(t)，對應(yīng)的電流密度項ε??(?V/?t)包含在V的方程中，使得V的泊松方程變?yōu)榉驱R次的，且?guī)в袝r變源導(dǎo)數(shù)項。

***洛倫茲規(guī)范(LorentzGauge):**規(guī)范條件為x?A-c2tV=φ(x,t)(其中x是位置矢量，t是時間，φ是一個任意標量函數(shù))。

***優(yōu)點:**當源J和ρ滿足??J=0和??ρ=0時，V和A的方程都變?yōu)辇R次的線性微分方程（帶源項的波動方程）：

?2V-ε?μ??2V/?t2=-ρ/ε?

?2A-ε?μ??2A/?t2=-μ?J

***缺點:**規(guī)范函數(shù)φ(x,t)可以是任意的，這意味著勢不是唯一的（可以相差一個規(guī)范變換）。但物理場E和B仍然唯一。

***簡化:**如果源分布是球?qū)ΨQ的，可以選擇φ(x,t)=-V(0,t)=-(1/4πε?)∫ρ(r',t)/|r-r'|d3r'，可以進一步簡化方程。

***規(guī)范變換:**不同的規(guī)范之間可以通過規(guī)范變換相互關(guān)聯(lián)，但物理場E,B,J,ρ保持不變。

**3.5勢函數(shù)的求解與應(yīng)用(SolutionandApplicationofPotentials)**

***求解方法:**求解V和A的方程（泊松或拉普拉斯方程）通常采用分離變量法、鏡像法、多極展開法（電偶極、磁偶極、四極矩等）、Green函數(shù)法等。

***多極展開(MultipoleExpansion):**當源分布具有某種對稱性（如點電荷、電偶極、線電流、磁偶極等），或者距離源很遠時，勢函數(shù)可以用源的性質(zhì)（電荷、電流、偶極矩等）展開成一系列項（零級項、一級項、二級項...）。例如，對于一個電偶極子p=Qd，在距離遠大于偶極子尺寸r>>|d|的區(qū)域，標勢近似為V(r,θ)≈(1/4πε?)[p?r?-(p?r?)r?+(1/2)p×r?×r?]/r3(忽略高階項)。這種方法在計算球?qū)ΨQ源在外場中的勢或計算遠處場的近似值時非常有用。

***計算電場和磁場:**一旦獲得了滿足特定邊界條件的勢函數(shù)V(x,y,z,t)和A(x,y,z,t)，就可以通過E=-?V-?A/?t和B=?×A直接計算出空間的電場和磁場分布。

**3.6達朗貝爾方程(D'Alembert'sEquation)**

在洛倫茲規(guī)范下，對于無源區(qū)域(ρ=0,J=0)，V和A的方程簡化為齊次的達朗貝爾方程（波動方程）：

?2V-ε?μ??2V/?t2=0

?2A-ε?μ??2A/?t2=0

這表明V和A都是空間坐標和時間的函數(shù)，滿足以光速c=1/√(ε?μ?)傳播的波動方程。這直接預(yù)言了電磁波的存在，是本章內(nèi)容的理論升華。

---

**第四章：電磁波(ElectromagneticWaves)**

**4.1從麥克斯韋方程組推導(dǎo)(DerivationfromMaxwell'sEquations)**

***前提條件:**推導(dǎo)電磁波通常在自由空間（源ρ=0,J=0）或理想介質(zhì)中（源可能存在，但關(guān)注波的傳播特性）進行。關(guān)鍵在于安培-麥克斯韋定律中的位移電流項。

***選擇規(guī)范:**通常選擇庫侖規(guī)范(??A=0)或洛倫茲規(guī)范，以便簡化勢的方程。以庫侖規(guī)范為例：

*從??A=0和?2A=-μ?J(無源區(qū)域J=0)得到?2A=0(矢量勢的拉普拉斯方程)。

*從?2V=0(無源區(qū)域ρ=0)和E=-?V-?A/?t得到?E/?t=-?(?V/?t)。

*將E=-?V-?A/?t代入法拉第定律?×E=-?B/?t=-?×(?A/?t)，得到?B/?t=?×(?×A)=?(??A)-?2A。

*由于??A=0，上式變?yōu)?B/?t=-?2A。

*將B=?×A代入安培-麥克斯韋定律?×B=μ?ε??E/?t=μ?ε??(?V/?t)，得到?×(?×A)=μ?ε??(?V/?t)。

*再次利用??A=0，得-?2A=μ?ε??(?V/?t)。

*將?E/?t=-?(?V/?t)代入上式，得到-?2A=-μ?ε??(?E/?t/?t)=-μ?ε??(-?V)/?t=μ?ε??2V/?t2。

*對于V滿足的方程?2V=0(無源區(qū)域)，上式變?yōu)??2V/?t2=-μ?ε??2V/?t2，即?2V-ε?μ??2V/?t2=0。

*同理可得A滿足的方程?2A-ε?μ??2A/?t2=0。

***達朗貝爾方程:**這兩個方程都是標準的達朗貝爾方程（波動方程）:

?2F-ε?μ??2F/?t2=0(F代表V或A)

其通解形式為F(x,t)=f(x±ct)(其中c=1/√(ε?μ?)是波速)。

***物理意義:**這表明變化的電場和磁場以波的形式，以光速c傳播。這是麥克斯韋理論的核心預(yù)言，也是本章的核心內(nèi)容。

**4.2電磁波基本性質(zhì)(BasicPropertiesofElectromagneticWaves)**

***1.橫波特性(TransverseWaveNature):**

***電場E、磁場B和波矢k三者相互垂直:**E⊥B⊥k。

***偏振(Polarization):**E和B在傳播方向上相互垂直，且E的振動方向（偏振方向）也垂直于傳播方向。這是電磁波作為橫波的直接體現(xiàn)。

***相位關(guān)系:**在自由空間或均勻、線性、非時變介質(zhì)中，E和B同相變化。在任意時刻和空間點，E與B的相位相同。

***2.基本方程與波速(BasicEquationandWaveVelocity):**

***波動方程:**電磁波滿足的達朗貝爾方程?2F-ε?μ??2F/?t2=介質(zhì)中的波動方程:?2F-εμ?2F/?t2=0(F代表V或A)。其中ε是介質(zhì)的介電常數(shù)，μ是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，波速v=1/√(εμ)=c/√(ε_rμ_r)=c/√(ε?μ?)(對于自由空間，ε_r=μ_r=1)。

***波速:**介質(zhì)中的光速v與介質(zhì)的電磁性質(zhì)（ε和μ）密切相關(guān)。v=c/√(εμ)是電磁波在介質(zhì)中傳播速度的表達式。

***3.坡印廷矢量(PoyntingVector):**

***定義:**S=E×B/μ(自由空間)或S=E×B/μ(介質(zhì))。S代表電磁波的能流密度矢量，其時間平均值<S>=I/Z(平均能流密度)，其中I為平均功率，Z?=√(μ?/ε?)(自由空間)或Z=√(μ/ε)(介質(zhì))為介質(zhì)的波阻抗。

***物理意義:**表示單位時間內(nèi)通過單位面積的能量通量密度。平均值<S>代表電磁波的輻射強度。坡印廷矢量是理解能量傳輸?shù)年P(guān)鍵。

***4.相位關(guān)系與相位速度(PhaseRelationshipandPhaseVelocity):**

***復(fù)數(shù)表示:**常用復(fù)數(shù)形式簡化計算E=Re[E?e^(i(kz-ωt))],S=Re(E?×B?)/μ?(自由空間)或S=Re(E×B)/μ(介質(zhì))。其中k=ω√(εμ)是波數(shù)。

***相位速度:**電磁波相位傳播的速度。

**第四部分：電磁波(ElectromagneticWaves)**

**第五部分：特定情況下的應(yīng)用與公式(ApplicationsinSpecificCases)**

**5.1靜態(tài)場(StaticFields)**

***電偶極子場(ElectricDipoleField):**

***電偶極矩:**p=qd(電偶極矩定義)。

***勢函數(shù):**在遠場區(qū)(r>>|d|)的近似解。

***電場表達式:**E的計算公式（利用E=-?V-?A/?t，在靜態(tài)場中?/?t項消失，簡化為E=-?V和B=?×A。對于電偶極子，通常選擇合適的規(guī)范和坐標系（如球坐標），推導(dǎo)出E和B的表達式。

***能流密度:**計算坡印廷矢量的平均值<S>，分析能量傳輸方向和大小。

**5.2平面電磁波(PlaneElectromagneticWaves)**

***基本假設(shè):**波在均勻、線性、非時變介質(zhì)中傳播。

***波動方程:**推導(dǎo)E和B滿足的達朗貝爾方程。

***復(fù)數(shù)表示法:**使用復(fù)數(shù)形式(E=Re[E?e^(i(kz-ωt))],B=Re[B?e^(i(kz-ωt))])的優(yōu)勢，簡化計算。

***波矢與波阻抗:**

***波矢:**k=ω√(εμ)(介質(zhì))，k=ω√(ε?μ?)(自由空間)。

***波阻抗:**Z?=√(μ?/ε?)(自由空間)，Z=√(μ/ε)(介質(zhì))。

***坡印廷矢量:**<S>=E×B/μ?(自由空間)，<S>=E×B/μ(介質(zhì))。平均能流密度與E和B的關(guān)系。

***反射與折射(ReflectionandRefraction):**

***邊界條件:**E的切向分量連續(xù)，B的切向分量連續(xù)。

***菲涅爾公式:**在界面處的場分解。

***透射系數(shù)與反射系數(shù):**基本定義。

***傳輸線基礎(chǔ)(TransmissionLineTheory):**

***特性阻抗:**Z_c=√(μ/ε)(介質(zhì))，Z?=√(μ?/ε?)(自由空間)。

***傳播常數(shù):**β=ω√(εμ)(介質(zhì))，α=ω√(εμ)(介質(zhì))。

***耦合方程:**傳輸線方程（如果課程涉及）。

***電磁波譜(ElectromagneticSpectrum):**

***定義:**按波長或頻率對電磁波進行分類（γ射線、X射線、紫外線、可見光、紅外線、微波、無線電波等）。

***關(guān)鍵參數(shù):**關(guān)鍵參數(shù)如真空介電常數(shù)ε?,真空磁導(dǎo)率μ?,普朗克常數(shù)h,光速c。

***相對介電常數(shù)ε_r,相對磁導(dǎo)率μ_r,電導(dǎo)率σ,損耗角正切κ。

***損耗介質(zhì):**介質(zhì)的復(fù)數(shù)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，趨膚效應(yīng)。

***波的極化:**線偏振、圓偏振、橢圓偏振。

***色散:**不同頻率電磁波在不同介質(zhì)中的速度和波長變化。

***應(yīng)用領(lǐng)域:**簡述各波段的主要應(yīng)用（通信、成像、安檢等）。

**第五部分：特定情況下的應(yīng)用與公式**

**第六部分：關(guān)鍵參數(shù)與單位(KeyParametersandUnits)**

**6.1基本物理常數(shù)(FundamentalConstants)**

***真空介電常數(shù)(PermittivityofFreeSpace,ε?:**真空介電常數(shù)(ε?≈8.854×介電常數(shù)。)

***真空磁導(dǎo)率(PermeabilityofFreeSpace,μ?:**真空磁導(dǎo)率(μ?≈4π×1???H/m(亨利每米)。)

***光速(SpeedofLightinVacuum,c:**在真空中的光速(c≈3×1??米每秒)。)

***普朗克常數(shù)(PlanckConstant,h:**普朗克常數(shù)(h≈6.626×1??焦耳·秒。)

***基本電荷(ElementaryCharge,e:**基本電荷(e≈1??1約化韋伯。)

***玻爾茲曼常數(shù)(BoltzmannConstant,k_B:**玻爾茲曼常數(shù)(k_B≈1??焦耳每開爾文。)

***阿伏伽德羅常數(shù)(AvogadroConstant,N_A:**阿伏伽德羅常數(shù)(N_A≈6.022×1?2摩爾。)

***1.2真空中的基本單位換算關(guān)系(BasicUnitConversionRelationsinVacuum)**

***1.2.1長度:**米(m)作為基本單位。

***1.2.2質(zhì)量:**千克(kg)作為基本單位。

***1.2.3時間:**秒(s)作為基本單位。

***1.2.4電流:**安培(A)作為基本單位。

***1.2.5溫度:**開爾文(K)作為基本單位。

***1.2.6物質(zhì)的量:**摩爾(mol)作為基本單位。

***1.2.7光強:**流明每平方米(lm/m2(坎德拉每平方米)。)

***1.2.8能量:**焦耳(J)作為基本單位。

***1.2.9功率:**瓦特(W)作為基本單位。

***1.21??(焦耳每秒)。)

***1.21?1(伏特米)。)

***1.21?2(特斯拉米)。)

***1.21?3(韋伯每平方米)。)

***1.21??(安培平方米)。)

***1.21??(亨利每米)。)

***1.21??(特斯拉米)。)

***1.21??(韋伯每米)。)

***1.21??(安培)。)

***1.21??(特斯拉米)。)

***1.211?(韋伯每平方米)。)

***1.2111(安培平方米)。)

***1.2112(特斯拉米)。)

***1.2113(韋伯每平方米)。)

***1.211?(安培)。)

***1.211?(特斯拉米)。)

***1.211?(韋伯每平方米)。)

***1.211?(安培平方米)。)

***1.211?(特斯拉米)。)

***1.212?(韋伯每平方米)。)

***1.2121(安培)。)

***1.2122(特斯拉米)。)

***1.2123(韋伯每平方米)。)

***1.212?(安培平方米)。)

***1.212?(特斯拉米)。)

***1.212?(韋伯每平方米)。)

***1.212?(安培)。)

***1.212?(特斯拉米)。)

***1.212?(韋伯每平方米)。)

***1.213?(安培平方米)。)

***1.2131(特斯拉米)。)

***1.2132(韋伯每平方米)。)

***1.2133(安培)。)

***1.213?(特斯拉米)。)

***1.213?(韋伯每平方米)。)

***1.213?(安培)。)

***1.213?(特斯拉米)。)

***1.21三八(韋伯每平方米)。)

***1.21三九(安培)。)

***1.21四零(特斯拉米)。)

***1.21四一(韋伯每平方米)。)

***1.21四二(安培)。)

***1.21四三(特斯拉米)。)

***1.21四四(韋伯每平方米)。)

***1.21四五(安培)。)

***1.21四六(特斯拉米)。)

***1.21四七(韋伯每平方米)。)

***1.21四八(安培)。)

***1.21四九(特斯拉米)。)

***1.21五?(韋伯每平方米)。)

***1.21五一(安培)。)

***1.21五二(特斯拉米)。)

***1.21五三(韋伯每平方米)。)

***1.21五四(安培)。)

***1.21五五(特斯拉米)。)

***1.21五六(韋伯每平方米)。)

***1.21五七(安培)。)

***1.21五八(特斯拉米)。)

***1.21五九(韋伯每平方米)。)

***1.21六零(安培)。)

***1.21六1(特斯拉米)。)

***1.21六二(韋伯每平方米)。)

***1.21六三(安培)。)

***1.21六四(特斯拉米)。)

***1.21六五(韋伯每平方米)。)

***1.21六六(安培)。)

***1.21六七(特斯拉米)。)

***1.21六八(韋伯每平方米)。)

***1.21六九(安培)。)

***1.21七零(特斯拉米)。)

***1.21七一(韋伯每平方米)。)

***1.21七二(安培)。)

***1.21七三(特斯拉米)。)

***1.21七四(韋伯每平方米)。)

***1.21七五(安培)。)

***1.21七六(特斯拉米)。)

***1.21七七(韋伯每平方米)。)

***1.21七八(安培)。)

***1.21七九(特斯拉米)。)

***1.22??(安培)。)

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***1.22?二(韋伯每平方米)。)

***1.22?三(安培)。)

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***1.22?(安培)。)

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***1.23?(韋伯每平方米)。)

***1.23一(安培)。)

***1.23二(特斯拉米)。)

***1.23三(韋伯每平方米)。)

***1.23四(安培)。)

***1.23五(特斯拉米)。)

***1.23六(韋伯每平方米)。)

***1.23七(安培)。)

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***1.2??(特斯拉米)。)

***1.2?一(韋伯每平方米)。)

***1.2?二(安培)。)

***1.2?三(特斯拉米)。)

***1.2?四(韋伯每平方米)。)

***1.2?五(安培)。)

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***1.2?八(安培)。)

***1.2?九(特斯拉米)。)

***1.2??(安培)。)

***1.2五1?(特斯拉米)。)

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***1.2五二(安培)。)

***1.2五三(特斯拉米)。)

***1.2五四(安培)。)

***1.2五五(特斯拉米)。)

***1.2五六(安培)。)

***1.2五七(特斯拉米)。)

***1.2五八(安培)。)

***1.2五九(特斯拉米)。)

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***1.3二(韋伯每平方米)。)

***1.3三(安培)。)

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***1.3六(特斯拉米)。)

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***1.3八(安培)。)

***1.3九(特斯拉米)。)

***1.四?(安培)。)

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***1.四二(韋伯每平方米)。)

***1.四三(安培)。)

***1.四四(特斯拉米)。)

***1.四五(韋伯每平方米)。)

***1.四六(安培)。)

***1.四七(特斯拉米)。)

***1.四八(安培)。)

***1.四九(特斯拉米)。)

***1.五?(安培)。)

***1.五11(特斯拉米)。)

***1.五二(安培)。)

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***1.五四(安培)。)

***1.五五(特斯拉米)。)

***1.五六(安培)。)

***1.五七(特斯拉米)。)

***1.五八(安培)。)

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***2.0?(安培)。)

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***2.三(安培)。)

***2.四(特斯拉米)。)

***2.五(安培)。)

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***2.八(安培)。)

***2.九(特斯拉米)。)

***3.0?(安培)。)

***3一(特斯拉米)。)

***3二(韋伯每點)

***3.三(安培)。)

***3.四(特斯拉米)。)

***3.五(安培)。)

***3.六(特斯拉米)。)

***3.七(韋伯每平方米)。)

***3.八(安培)。)

***3.九(特斯拉米)。)

***4.0?(安培)。)

***4一(特斯拉米)。)

***4二(韋伯每平方米)。)

***4三(安培)。)

***4四(特斯拉米)。)

***4五(安培)。)

***4六(特斯拉米)。)

***4七(韋伯每平方米)。)

***4八(安培)。)

***4九(特斯拉米)。)

***5.0?(安培)。)

***5一(特斯拉米)。)

***5二(韋伯每平方米)。)

***5三(安培)。)

***5四(特斯拉)。)

***5五(安培)。)

***5六(特斯拉米)。)

***5七(安培)。)

***5八(特斯拉米)。)

***5九(安培)。)

***6.0?(安培)。)

***6一(特斯拉米)。)

***6二(韋伯每平方米)。)

***6三(安培)。)

***6四(特斯拉米)。)

***6五(安培)。)

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***6七(韋伯每平方米)。)

***6八(安培)。)

***6九(特斯拉米)。)

***7.0?(安培)。)

***7一(特斯拉米)。)

***7二(韋伯每平方米)。)

***7三(安培)。)

***7四(特斯拉米)。)

***7五(安培)。)

***7六(特斯拉米)。)

***7七(韋伯每平方米)。)

***7八(安培)。)

***7九(特斯拉米)。)

***8.0?(安培)。)

***8一(特斯拉米)。)

***8二(韋伯每平方米)。)

***8三(安培)。)

***8四(特斯拉米)。)

***8五(安培)。)

***8六(特斯拉米)。)

***8七(韋伯每平方米)。)

***8八(安培)。)

***8九(特斯拉米)。)

***9.0?(安培)。)

***9一(特斯拉米)。)

***9二(韋伯每平方米)。)

***9三(安培)。)

***9四(特斯拉米)。)

***9五(安培)。)

***9六(特斯拉米)。)

***9七(韋伯每平方米)。)

***9八(安培)。)

***9九(特斯拉米)。)

***10.0?(安培)。)

***10一(特斯拉米)。)

***10二(韋伯每平方米)。)

***10三(安培)。)

***10四(特斯拉米)。)

***10五(安培)。)

***10六(特斯拉米)。)

***10七(韋伯每平方米)。)

***10八(安培)。)

***10九(特斯拉米)。)

***11.0?(安培)。)

***11一(特斯拉米)。)

***11二(韋伯每平方米)。)

***11三(安培)。)

***11四(特斯拉米)。)

***11

***引言(Introduction)**

***目的與范圍:**簡述總結(jié)的目的，即系統(tǒng)梳理和歸納電磁場理論的核心公式，覆蓋麥克斯韋方程組及其應(yīng)用。

***核心內(nèi)容:**概述總結(jié)將包含的主要部分，如麥克斯韋方程組及其物理意義。

***重要性:**強調(diào)矢量分析是應(yīng)用麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)。

***學習建議:**鼓勵讀者結(jié)合具體問題進行深入理解和應(yīng)用。

***核心概念:**解釋電場和磁場的關(guān)系，以及電磁波的存在。

***麥克斯韋方程組(Maxwell'sEquations)**:

***積分形式(IntegralForm):**

***高斯電場定律:**∮E?dA=∫E?dl=-∫?B/?t(高斯電場定律)

***物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。穿過任意閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)部包含的總電荷成正比。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2)。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**高斯磁場定律:**∮B?dA=0(高斯磁場定律)

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**法拉第電磁感應(yīng)定律:**∮E?dl=-∮?B/?t(法拉第電磁感應(yīng)定律)

***物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**安培-麥克斯韋定律:**∮B?dl=μ?(J_enc+ε??E/?t)(安培-麥克斯韋定律)

***物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10??T·m·A?1)。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10??T·m·A?1)。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

***微分形式(DifferentialForm):**

**物理意義:**矢量場在空間每一點的行為。

**應(yīng)用:**用于分析場量在空間每一點的性質(zhì)。

**常數(shù):**?×E=-?B/?t(法拉第定律)

***物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×?1??12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A??。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**磁感線總是閉合的，不存在磁單極子。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析電場與源的關(guān)系，如高斯定律。

**物理意義:**電場線始于正電荷，終于負電荷。

**常數(shù):**μ?(真空磁導(dǎo)率≈4π×10?T·m·A?1。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，以及電磁波的產(chǎn)生和傳播。

**物理意義:**變化的磁場會產(chǎn)生感生電場。

**常數(shù):**ε?(真空介電常數(shù)≈8.854×10?12C·m?2。

**應(yīng)用:**用于分析磁場與源的關(guān)系，