專題01二項分布(典型例題+題型歸類練)目錄一、必備秘籍二、典型例題類型一：利用二項分布求分布列類型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題類型三：建立二項分布模型解決實際問題三、題型歸類練一、必備秘籍1、伯努利試驗與二項分布重伯努利試驗的定義①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.②將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.2、二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為（）如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布（binomialdistribution），記作。二、典型例題類型一：利用二項分布求分布列例題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）交通信號燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機在某一線路的行駛過程要經(jīng)過兩段路，若已知路段共要過個交通崗，且經(jīng)過交通崗時遇到紅燈或綠燈是相互獨立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個交通崗遇到紅燈的概率為.(1)求該司機在路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)的分布列與期望；【答案】(1)分布列見解析，(1)由題可知X的取值可能為且易知，且，所以所以的分布列為1234；例題2．（2022·江蘇·南京市第五高級中學模擬預(yù)測）某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.（1）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列及數(shù)學期望和方差.【答案】（1）甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）見解析，，.【詳解】解：（1）參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，在這8個試題中甲能答對6個，甲通過自主招生初試的概率參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試.在這8個試題中乙能答對每個試題的概率為，乙通過自主招生初試的概率，甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）根據(jù)題意，乙答對題的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4.且的概率分布列為：05101520

.感悟升華（核心秘籍）1、判斷一個實驗是否服從二項分布的標準：事件每次發(fā)生的概率是一樣。2、表示次實驗都完成了，每次實驗發(fā)生的概率為；例題3．（2022·全國高三專題練習（理））一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設(shè)為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設(shè)為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.【答案】（1）分布列見解析，，；（2）分布列見解析；（3）.【詳解】（1）由題意可知，可取、、、、、，服從二項分布，則，，，，，，∴的分布列為：∴，；（2）由題意可知，可取、、、、，5則，，，，，，∴的分布列為：（3）設(shè)這名學生在途中至少遇到一次紅燈為事件，所求概率.感悟升華（核心秘籍）此題注意與前兩題對比，此題第(2)問可以理解為首次成功問題；當一個實驗成功了，就不繼續(xù)做后面的實驗了，這與有本質(zhì)的區(qū)別，表示次實驗都完成了，每次實驗發(fā)生的概率為，至于這次實驗成功了幾次，需要等最后一次實驗做完才知道；而此題首次成功，不再做后續(xù)的實驗。實驗的次數(shù)。類型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題例題1．（2022·山西·懷仁市第一中學校一模（理））在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)501502003002006040(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù)）；(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過8天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為潛伏期與患者年齡有關(guān)；潛伏期8天潛伏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下65總計200(3)以這1000名患者的潛伏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過8天的概率，每名患者的潛伏期是否超過8天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.【答案】(1)7天(2)列聯(lián)表見解析，不能認為潛伏期與患者年齡有關(guān)(3)6人【分析】（1）直接代入頻率分布直方圖估計平均值公式；（2）完成列聯(lián)表，計算再與比較大小；（3）由題知，一名患者潛伏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)為，則，再列不等式即可得到答案；(1)平均數(shù)（天）.(2)由題設(shè)知：潛伏期天數(shù)在的頻率為，潛伏期天數(shù)在的頻率為，故200人中潛伏期在上有140人，在上有60人.列聯(lián)表如下：潛伏期8天潛伏期8天總計50歲以上（含50）752510050歲以下6535100總計14060200，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，不能認為潛伏期與患者年齡有關(guān).(3)由題知，一名患者潛伏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)為，則，且，由題意得，即化簡得解得，即潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能是6.感悟升華（核心秘籍）服從二項分布的隨機變量概率最大問題的核心解題技巧：①設(shè)，則②假設(shè)概率最大，則需同時滿足：類型三：建立二項分布模型解決實際問題例題1．（2022·全國·高三專題練習）2021年國慶期間，重慶百貨某專柜舉行慶國慶歡樂大抽獎活動，顧客到店消費1000元及以上，可參加一次抽獎活動．抽獎規(guī)則如下：從裝有10個形狀大小完全相同的小球（1個紅球，2個白球，7個黑球）的抽獎箱中，一次性抽出3個球．其中1紅2白，則全免單，1紅1白1黑，則享受5折優(yōu)惠，1紅2黑，則享受7折優(yōu)惠，其余情況則享受8折優(yōu)惠．(1)若某位顧客消費價格為1000元的商品，求該顧客實際付款金額的分布列與數(shù)學期望；(2)若顧客通過抽獎享受8折優(yōu)惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得40元的提成；若顧客通過抽獎享受7折，5折或免單優(yōu)惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得20元提成．若某售貨員在某天可以接待10名消費滿1000元，不滿2000元的顧客，則該售貨員可能獲得的平均提成為多少元？【答案】(1)分布列見解析；期望為元(2)340元(1)該顧客實際付款金額為X元，則X可能為．；，則X的分布列為：X0500700800P，所以該顧客實際付款金額的數(shù)學期望為元．(2)設(shè)10名顧客中享受8折優(yōu)惠的人數(shù)為Y人，則，售貨員獲得的提成為Z元，，（元）．答：該售貨員可獲得的平均提成為340元．感悟升華（核心秘籍）1、判斷一個試驗服從二項分布后，可直接利用二項分布的公式求數(shù)學期望和方差：2、設(shè)，則；3、直接利用公式求實際問題中的數(shù)學期望和方差，快捷便利.三、題型歸類練1．（2022·上海奉賢·高三期中）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取10個學生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)6人，2人(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）因為成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計，共人，抽樣比為，所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿∪?，成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取人．（2）抽取的6人中至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個優(yōu)3個良和4個優(yōu)2個良，故至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率.（3）由題意知，的可能取值，，，．由題可知，任意1名學生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布，；；；．故的分布列為數(shù)學期望.2．（2023·全國·高三專題練習）某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是．”(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）設(shè)“掃黑除惡利國利民”卡有n張，由＝，得n＝4，故“普法宣傳人人參與”卡有5張，抽獎?wù)攉@獎的概率為＝．（2）在新規(guī)則下，每個抽獎?wù)攉@獎的概率為×＋×＝，所以X～B，則，（k＝0，1，2，3），X的分布列為X0123P所以E(X)＝3×＝．3．（2022·重慶·高三階段練習）從2008年的夏季奧運會到2022年的冬季奧運會，志愿者身影成為“雙奧”之城的“最美名片”.十幾年間志愿精神不斷深入人心，志愿服務(wù)也融入社會生活各個領(lǐng)域.2022年的北京冬奧會共錄用賽會志愿者18000多人.中學生志愿服務(wù)已經(jīng)納入學生綜合素質(zhì)評價體系，為了解中學生參加志愿服務(wù)所用時間，某市教委從全市抽取部分高二學生調(diào)查2020—2021學年度上學期參加志愿服務(wù)所用時間，把時間段按照，，，，分成5組，把抽取的600名學生參加志愿服務(wù)時間的樣本數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，用每一個小矩形的中點值代替每一組時間區(qū)間的平均值，估計這600名高二學生上學期參加志愿服務(wù)時間的平均數(shù).并寫出這600個樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)的一個估計值；(2)若一個學期參加志愿服務(wù)的時間不少于3.5小時視為“預(yù)期合格”，把頻率分布直方圖中的頻率視為該市高二學生上學期參加志愿服務(wù)時間的概率，從全市所有高二學生中隨機抽取3名學生，設(shè)本學期這3名學生中達到“預(yù)期合格”的人數(shù)為，求的分布列并求數(shù)學期望；【答案】(1)平均數(shù)：4.35，75百分位數(shù)：5.25；(2)分布列見解析，；（1）平均數(shù)等于，前3組頻率和，加上第4組得，所以75百分位數(shù)：；（2）由題可知“預(yù)期合格”的概率，從全市所有高二學生中隨機抽取3名學生，設(shè)本學期這3名學生中達到“預(yù)期合格”的人數(shù)為，則服從二項分布，的分布列為：X0123P0.0080.0960.3840.512.4．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）2022年冬奧會剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項運動讓人們津津樂道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競速運動項目，冬季奧運會高山滑雪設(shè)男子項目、女子項目、混合項目．其中，男子項目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5個小項，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項目，現(xiàn)有90名運動員參加該項目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運動員進入勝者組，直接進入第二輪比賽，排名在后60位的運動員進入敗者組進行一場加賽，加賽排名在前10位的運動員從敗者組復(fù)活，進入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運動員水平相當．(1)從所有參賽的運動員中隨機抽取5人，設(shè)這5人中進入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學過的數(shù)學和統(tǒng)計學理論進行分析．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為;(2)最有可能有1人能復(fù)活．（1）每位運動員進入勝者組的概率為，且，所以，其中．所以，，，所以X的分布列為X012345P其數(shù)學期望為．（2）設(shè)從敗者組選取的10人中有k人復(fù)活．因為每位敗者組運動員復(fù)活的概率為，所以，所以．當最大時，應(yīng)滿足即解得，又因為，所以，即最有可能有1人能復(fù)活．5．（2022·江西鷹潭·二模（理））迎接冬季奧運會期間，某市對全體高中學生舉行了一次關(guān)于冬季奧運會相關(guān)知識的測試．統(tǒng)計人員從全市高中學生中隨機抽取200名學生成績作為樣本進行統(tǒng)計，測試滿分為100分，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學生的測試成績都在區(qū)間［40，100]內(nèi)，并制成如下所示的頻率分布直方圖.(1)估計這200名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；(2)在這200名學生中用分層抽樣的方法從成績在，，的三組中抽取了10人，再從這10人中隨機抽取3人，記X為3人中成績在的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)規(guī)定成績在的為等級，成績在的為等級，其它為等級.以樣本估計總體，用頻率代替概率.從所有參加考試的同學中隨機抽取10人，其中獲得等級的人數(shù)恰為人的概率為，當為何值時的值最大？【答案】(1)69.5分；(2)分布列見解析，；(3)4.（1）這200名學生的平均成績?yōu)椋海ǚ郑?（2）由，，的三組頻率之比為，從，，中分別抽取6人，3人，1人，X所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，故X的分布列為：X0123故．（3）依題意，等級的概率為，且，所以，而，則，即，解得，因為，所以.6．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測（理））2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：(1)試估計這100名學生得分的平均數(shù)；(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在[90，100]的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算．現(xiàn)從所有參加知識競賽的學生中隨機抽取500人，若這500名學生的得分相互獨立，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為(3)最有可能是79【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可得這100名學生得分的平均數(shù)．（2）解：參加座談的11人中，得分在的有人，所以的可能取值為，，，所以，，．所以的分布列為012∴．（3）解：由（1）知，，所以．記500名學生中得分高于77的人數(shù)為，則，其中，∴，，1，2，…，500，則，當時，，當時，，∴得分高于77分的人數(shù)最有可能是．7．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學模擬預(yù)測）“紅五月”將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機同時給出道“是非判斷”和道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.(1)設(shè)甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的道“是非判斷”題和道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對，其余的題只能隨機作答，求甲同學晉級成功的概率；(2)已知該校高三（1）班共有位同學，每位同學都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.若將（1）中甲同學晉級的概率當作該班級每位同學晉級的概率，設(shè)該班晉級的學生人數(shù)為.①問該班級成功晉級的學生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；②求隨機變量的方差.【答案】(1)(2)①或，理由見解析；②【分析】（1）分甲同學答對四道、五道、六道題，分析出是非判斷題和信息連線題答對的題的數(shù)量，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，設(shè)最大，可得出，解出的取值范圍，即可得解；②利用二項分布的方差公式可求得的值.（1）解：記事件甲同學晉級成功，則事件包含以下幾種情況：①事件“共答對四道”，即答對余下的是非判斷題，答錯兩道信息連線題，則.②事件“共答對五道”，即答錯余下的是非判斷題，答對余下的三道信息連線題，則.③事件“共答對六道”，即答對余下的四道問題，，所以.（2）解：①由題意可知，設(shè)最大，則，即，可得，解得，即最有可能取的值為或；②由二項分布的方差公式可得.8．（2022·山西太原·一模（理））某校從高三年級中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學校參加大賽．每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機抽取2人回答這個問題．已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答這道題目，而乙班級4人中能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙