統(tǒng)計學考試題及答案1.某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰時段（7:00—9:00）通過跨江大橋的機動車流量（單位：千輛/日），數(shù)據(jù)如下：28.331.729.430.132.533.027.830.629.931.230.832.128.931.530.429.732.833.230.031.929.230.532.331.128.630.731.429.832.030.9（1）計算樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差、偏度與峰度；（2）以“26.5—27.5，27.5—28.5，…，33.5—34.5”為組距，繪制頻數(shù)分布表與直方圖，并在直方圖上疊加正態(tài)密度曲線，據(jù)此評價流量分布的正態(tài)性；（3）若流量服從正態(tài)分布，求日均流量超過32.5千輛的概率，并給出95%置信區(qū)間估計；（4）檢驗“日均流量總體中位數(shù)為30.5千輛”的假設(shè)，顯著性水平α=0.05，給出詳細步驟與結(jié)論；（5）利用箱線圖識別異常值，并解釋其業(yè)務(wù)含義；（6）構(gòu)建一個泊松近似模型，說明為何在擁堵時段車輛到達可視為泊松過程，并計算1分鐘內(nèi)到達車輛數(shù)大于10輛的概率（假設(shè)平均到達率為8輛/分鐘）。答案與解析：（1）樣本均值x?=∑x_i?30=918.3?30=30.61千輛中位數(shù)：將數(shù)據(jù)排序后第15、16位為30.7與30.8，中位數(shù)30.75千輛眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值為30.0、30.9、31.2、32.0等，各出現(xiàn)1次，故無明確眾數(shù)，記“無眾數(shù)”極差R=33.2?27.8=5.4千輛方差s2=∑(x_i?x?)2?(n?1)=30.472?29=1.050標準差s=1.025千輛偏度g?=[n∑(x_i?x?)3]?[(n?1)(n?2)s3]=?0.184，左偏但接近對稱峰度g?=[n(n+1)∑(x_i?x?)?]?[(n?1)(n?2)(n?3)s?]?3(n?1)2?[(n?2)(n?3)]=?0.627，稍平峰（2）頻數(shù)分布表組界組中值頻數(shù)累積頻數(shù)26.5–27.527.00027.5–28.528.02228.5–29.529.04629.5–30.530.071330.5–31.531.082131.5–32.532.052632.5–33.533.032933.5–34.534.0130直方圖略。正態(tài)密度曲線與直方圖基本重合，但右側(cè)尾部略短，Shapiro–Wilk檢驗W=0.984，p=0.862>0.05，不拒絕正態(tài)性。（3）若X~N(30.61,1.0252)，則P(X>32.5)=1?Φ((32.5?30.61)/1.025)=1?Φ(1.844)=0.032795%置信區(qū)間：x?±t?.???,??·s/√n=30.61±2.045·1.025/√30=30.61±0.38→(30.23,30.99)千輛（4）符號檢驗：H?：M=30.5，H?：M≠30.5大于30.5的數(shù)據(jù)有17個，小于11個，等于2個（剔除），有效樣本n=28檢驗統(tǒng)計量S=min(17,11)=11P=2·P(Bin(28,0.5)≤11)=2·0.057=0.114>0.05，不拒絕H?，無充分證據(jù)表明中位數(shù)偏離30.5（5）箱線圖上下四分位Q?=29.80，Q?=32.05，IQR=2.25下限=Q??1.5IQR=26.43，上限=Q?+1.5IQR=35.42所有數(shù)據(jù)均在[26.43,35.42]內(nèi)，無異常值，說明流量穩(wěn)定（6）泊松過程假設(shè)：車輛到達獨立、平穩(wěn)、稀有，滿足泊松條件λ=8輛/分鐘，P(N>10)=1?P(N≤10)=1?∑_{k=0}^{10}e^{?8}8^k/k!查表或計算得0.1842.某電商平臺隨機抽取800名付費用戶，記錄其過去12個月累計消費額Y（千元）與對應(yīng)訂單數(shù)X，擬合簡單線性回歸Y=β?+β?X+ε，得：β??=0.872，S_{β??}=0.036，SSE=4261.5，SST=18230.4，x?=42.1，y?=38.5，n=800（1）寫出回歸方程，并解釋β?的經(jīng)濟含義；（2）計算判定系數(shù)R2與調(diào)整R2，評價模型擬合；（3）構(gòu)造β?的95%置信區(qū)間，并檢驗H?：β?=1vsH?：β?≠1；（4）預測當X=50時的平均消費額，并給出其95%置信帶；（5）若發(fā)現(xiàn)殘差呈現(xiàn)“漏斗”形擴散，簡述如何修正模型；（6）引入二次項后，新模型Y=β?+β?X+β?X2+ε，其R2增至0.812，而調(diào)整R2反而下降至0.809，請解釋原因并給出建議。答案與解析：（1）回歸方程：?=β??+β??X，β??=y??β??x?=38.5?0.872·42.1=1.779方程：?=1.779+0.872Xβ?=0.872表示每增加1個訂單，平均消費額增加872元（2）R2=1?SSE/SST=1?4261.5/18230.4=0.766調(diào)整R2=1?(1?R2)(n?1)/(n?2)=1?0.234·799/798=0.766，幾乎相同，因n很大（3）95%CI：β??±t?.???,798·S_{β??}=0.872±1.96·0.036→(0.801,0.943)t=(0.872?1)/0.036=?3.56，|t|>1.96，拒絕H?，β?顯著小于1，說明邊際消費額隨訂單增加而遞減（4）X=50，?=1.779+0.872·50=45.379千元置信帶：?±t?.???,798·√MSE·√[1/n+(X?x?)2/Sxx]MSE=SSE/(n?2)=4261.5/798=5.341，Sxx=∑(X?x?)2=(SST?SSE)/β??2=15968.9/0.8722=21000.4標準誤=√5.341·√[1/800+(50?42.1)2/21000.4]=0.28895%帶：45.379±1.96·0.288→(44.81,45.95)（5）殘差方差隨X增大而增大，存在異方差?？刹捎眉訖?quán)最小平方（WLS），或?qū)做對數(shù)變換lnY，再擬合線性模型（6）增加二次項后R2上升，但調(diào)整R2下降，說明二次項帶來的解釋力不足以抵消參數(shù)懲罰。建議采用交叉驗證或AIC/BIC選擇模型，若二次項系數(shù)β?不顯著（p>0.05），則保留簡單線性模型3.某制藥公司研發(fā)新型降壓藥，采用雙盲隨機對照試驗，將240名輕中度高血壓患者均分至試驗組（T）與對照組（C），治療8周后收縮壓下降量（mmHg）如下：T組：n?=120，x??=18.7，s?2=49.0C組：n?=120，x??=12.4，s?2=46.2（1）檢驗兩組總體方差是否相等（α=0.10）；（2）在（1）基礎(chǔ)上，檢驗試驗藥是否顯著優(yōu)于對照（α=0.05，單側(cè)）；（3）計算效應(yīng)量Cohen’sd，并解釋其實際意義；（4）若欲在后續(xù)試驗中檢測到Δ=4mmHg的差異，功效1?β=0.90，α=0.05（雙側(cè)），需多少樣本（每組相等）？（5）已知T組有8例出現(xiàn)輕度頭暈，C組有3例，構(gòu)建兩組不良反應(yīng)率差的95%置信區(qū)間；（6）若進一步按性別分層，得男性亞組T/C各60人，x??=20.1，x??=13.0；女性亞組T/C各60人，x??=17.3，x??=11.8，交互檢驗p=0.041，請闡述交互作用的統(tǒng)計與臨床解釋。答案與解析：（1）F=s?2/s?2=49.0/46.2=1.06，df?=119，df?=119雙側(cè)p=0.72>0.10，不拒絕方差齊性（2）合并方差s_p2=[(n??1)s?2+(n??1)s?2]/(n?+n??2)=47.6t=(x???x??)/√[s_p2(1/n?+1/n?)]=6.3/√(47.6·2/120)=6.3/0.891=7.07單側(cè)p<0.0001，拒絕H?，試驗藥顯著更優(yōu)（3）Cohen’sd=(x???x??)/s_p=6.3/6.90=0.91，大效應(yīng)，臨床意義顯著（4）n=2[(z_{α/2}+z_β)σ/Δ]2=2[(1.96+1.28)·6.90/4]2=2·8.462=143.1→每組144例（5）率差p???p??=8/120?3/120=0.041795%CI：0.0417±1.96√[p?(1?p?)(1/n?+1/n?)]，p?=11/240=0.0458→0.0417±0.052→(?0.010,0.094)，包含0，差異不顯著（6）交互p=0.041<0.05，表明藥效受性別調(diào)節(jié)。男性差異7.1mmHg，女性5.5mmHg，臨床需分別報告，可能提示女性對藥物反應(yīng)略低4.某高校統(tǒng)計系欲評估在線學習平臺效果，隨機抽取100名大二學生，記錄其期中成績X與期末成績Y，二者均服從近似二元正態(tài)，r=0.78，x?=72，y?=76，s_X=8.5，s_Y=9.2（1）建立Y對X的線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)；（2）給定X=80，求Y的條件期望與條件標準差；（3）若某學生期中X=80，期末實際Y=65，計算其標準化殘差，并評價該生表現(xiàn)；（4）檢驗總體相關(guān)系數(shù)ρ是否大于0.70（α=0.05，單側(cè)）；（5）若將成績按X分為低（<65）、中（65–80）、高（>80）三組，擬合單因素方差分析，得組間SS=4320，組內(nèi)SS=5680，完成方差分析表并檢驗組間差異；（6）說明（4）與（5）兩種方法在假設(shè)、結(jié)論與應(yīng)用場景上的差異。答案與解析：（1）β??=r·s_Y/s_X=0.78·9.2/8.5=0.844β??=y??β??x?=76?0.844·72=15.23方程：?=15.23+0.844X，每增加1分期中，期末平均提高0.844分（2）X=80，E(Y|X)=15.23+0.844·80=82.75條件標準差σ_{Y|X}=s_Y√(1?r2)=9.2√(1?0.782)=5.74（3）殘差e=65?82.75=?17.75標準化殘差z=e/σ_{Y|X}=?17.75/5.74=?3.09，|z|>3，異常低，需關(guān)注學習狀態(tài)（4）Fisher變換z_r=0.5ln[(1+r)/(1?r)]=1.045H?：ρ=0.70，z_ρ=0.5ln[(1+0.7)/(1?0.7)]=0.867檢驗U=(z_r?z_ρ)√(n?3)=1.78，單側(cè)p=0.037<0.05，拒絕H?，ρ顯著>0.70（5）方差分析表來源SSdfMSF組間4320221602160/58.37=37.0組內(nèi)56809758.37總計1000099F=37.0，p<0.001，組間差異顯著（6）相關(guān)分析要求二元正態(tài)，度量線性強度；方差分析僅要求組內(nèi)正態(tài)與方差齊，用于分類自變量。結(jié)論一致：成績相關(guān)/分組均顯著，但相關(guān)分析提供預測方程，方差分析提供組間比較，場景不同5.某市氣象局研究PM2.5濃度（μg/m3）與氣象因素關(guān)系，采集連續(xù)100天數(shù)據(jù)，建立多元線性模型：Y=β?+β?X?+β?X?+β?X?+β?X?+ε其中X?：風速（m/s），X?：相對濕度（%），X?：氣溫（℃），X?：逆溫層高度（10m）回歸結(jié)果：系數(shù)估計標準誤tpβ?185.321.48.66<0.001β??12.41.8?6.89<0.001β?0.310.122.580.011β??1.070.25?4.28<0.001β??0.860.33?2.610.010R2=0.713，調(diào)整R2=0.701，F(xiàn)=60.2，p<0.001（1）寫出回歸方程，并解釋β?與β?的實際含義；（2）檢驗整體模型顯著性，并說明判定系數(shù)含義；（3）計算X?=2.5，X?=65，X?=18，X?=12時的預測濃度，并求其95%預測區(qū)間；（4）若發(fā)現(xiàn)X?與X?的VIF分別為4.8與5.2，診斷共線性問題；（5）采用逐步回歸后，僅保留X?、X?、X?，其調(diào)整R2升至0.718，簡述變量選擇準則與結(jié)論；（6）若殘差滯后1階自相關(guān)系數(shù)r?=0.28，DW=1.45，n=100，檢驗序列相關(guān)（α=0.05），并提出修正策略。答案與解析：（1）方程：?=185.3?12.4X?+0.31X??1.07X??0.86X?風速每增加1m/s，PM2.5平均下降12.4μg/m3；氣溫每升高1℃，PM2.5平均下降1.07μg/m3（2）F=60.2，p<0.001，模型整體顯著；R2=0.713表示71.3%的PM2.5變異可由四因素解釋（3）?=185.3?12.4·2.5+0.31·65?1.07·18?0.86·12=185.3?31+20.15?19.26?10.32=144.87μg/m3MSE=(1?R2)SST/(n?p?1)=未給出，需先算SST，假設(shè)s_Y=35，則SST=352·99=121275MSE=SSE/(n?p?1)=34890/95=367.3，s=19.16預測標準誤s_pred=√[MSE(1+h?)]，h?=x??(X?X)?1x?，近似取0.05s_pred≈19.16·1.025=19.6595%預測區(qū)間：144.87±1.96·19.65→(106.3,183.4)（4）VIF<10，尚不構(gòu)成嚴重共線性，但X?、X?接近5，需留意（5）剔除X?后調(diào)整R2上升，說明X?邊際貢獻不足，遵循簡約原則，保留X?、X?、X?（6）DW=1.45，查表d_L=1.63，d_U=1.72，1.45<d_L，存在正自相關(guān)可采用Cochrane–Orcutt迭代或引入滯后項修正6.某游戲公司研究玩家日活躍時長（分鐘）與付費金額（元）關(guān)系，隨機抽取500名玩家，發(fā)現(xiàn)付費額右偏嚴重，取對數(shù)后lnM近似正態(tài)。建立分位數(shù)回歸，考察不同付費水平下活躍時長對數(shù)lnD的影響：（1