高等教育自學(xué)考試《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題1分，共20分）1.某市2022年人口普查資料顯示常住人口為1236萬人，該數(shù)據(jù)屬于A.定類數(shù)據(jù)?B.定序數(shù)據(jù)?C.定距數(shù)據(jù)?D.定比數(shù)據(jù)答案：D解析：人口數(shù)具有絕對零點(diǎn)，且可計(jì)算倍數(shù)關(guān)系，符合定比尺度特征。2.在抽樣調(diào)查中，若總體方差未知，且樣本容量n=35，則總體均值μ的1–α置信區(qū)間應(yīng)選用的分布為A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)?B.t分布?C.χ2分布?D.F分布答案：B解析：n<50且總體方差未知，按t分布處理，自由度34。3.下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的敘述，正確的是A.|r|越接近0，線性關(guān)系越強(qiáng)?B.r=0.8表示解釋變量能解釋80%的變異C.r無量綱?D.r>0時，兩變量一定存在因果關(guān)系答案：C解析：相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化后無單位，取值–1~1，僅度量線性相關(guān)強(qiáng)度，不隱含因果。4.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ–σ<X<μ+σ)約為A.50%?B.68.27%?C.95%?D.99%答案：B解析：正態(tài)分布經(jīng)驗(yàn)法則，±1σ區(qū)間概率68.27%。5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，增大樣本容量會導(dǎo)致A.α一定減小?B.β一定減小?C.檢驗(yàn)功效1–β一定增大?D.臨界值不變答案：C解析：樣本量↑→標(biāo)準(zhǔn)誤↓→分布更集中，β↓，功效↑；α由研究者事先設(shè)定，不受n直接影響。6.對同一組數(shù)據(jù)分別計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、均值，若分布右偏，則三者大小關(guān)系為A.眾數(shù)<中位數(shù)<均值?B.均值<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<均值?D.眾數(shù)=中位數(shù)=均值答案：A解析：右偏時，右側(cè)極端值將均值拉向較大值，眾數(shù)最小，中位數(shù)居中。7.在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計(jì)量顯著，則A.各總體方差不全相等?B.各總體均值不全相等C.各樣本方差不全相等?D.各樣本容量必須相等答案：B解析：F檢驗(yàn)的原假設(shè)H?：μ?=μ?=…=μk，拒絕即至少一對均值不等。8.某時間數(shù)列環(huán)比增長率依次為2%，–1%，3%，則定基（以第0期為100）第三期值為A.104.00?B.104.06?C.103.94?D.102.97答案：B解析：100×1.02×0.99×1.03≈104.06。9.若回歸模型?=25+3x，x每增加1單位，y平均A.增加25?B.增加3?C.增加28?D.減少3答案：B解析：斜率3即為x邊際效應(yīng)。10.在指數(shù)編制中，拉氏價格指數(shù)使用A.基期數(shù)量加權(quán)?B.報告期數(shù)量加權(quán)?C.基期價格加權(quán)?D.報告期價格加權(quán)答案：A解析：Laspeyres指數(shù)公式∑p?q?/∑p?q?，權(quán)數(shù)固定為基期數(shù)量。11.對某批產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣，若總體N=500，樣本n=50，則樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算應(yīng)使用修正因子A.√[(N–n)/(N–1)]?B.√[n/(N–1)]?C.(N–n)/N?D.1答案：A解析：有限總體修正因子為√[(N–n)/(N–1)]，可縮小標(biāo)準(zhǔn)誤。12.若事件A、B互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A∪B)=A.0.15?B.0.8?C.0.2?D.0.5答案：B解析：互斥時P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8。13.在箱線圖中，箱體長度表示A.全距?B.四分位距?C.標(biāo)準(zhǔn)差?D.方差答案：B解析：箱體上邊緣Q3，下邊緣Q1，長度=Q3–Q1即IQR。14.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=2的泊松分布，則E(X2)=A.2?B.4?C.6?D.8答案：C解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=2+4=6。15.對同一總體采用同樣樣本量，分別用簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣，一般而言A.前者方差更小?B.后者方差更小?C.兩者方差相等?D.無法比較答案：B解析：分層抽樣層內(nèi)同質(zhì)性高，可降低估計(jì)量方差。16.在多元線性回歸中，若某自變量VIF=8，則一般認(rèn)為A.不存在多重共線?B.存在輕微共線?C.存在嚴(yán)重共線?D.模型無效答案：C解析：方差膨脹因子>10為嚴(yán)重，>5已需關(guān)注，8屬較高。17.若某指標(biāo)季節(jié)指數(shù)第一季度為115%，說明A.該季受隨機(jī)因素影響大?B.該季比全年平均高15%C.該季比去年同季高15%?D.該季數(shù)據(jù)錯誤答案：B解析：季節(jié)指數(shù)>100表示該季水平高于全年平均。18.對同一組數(shù)據(jù)，若峰度系數(shù)K>3，則分布形態(tài)為A.低闊峰?B.高尖峰?C.正態(tài)峰?D.無法判斷答案：B解析：峰度>3稱尖峰厚尾，比正態(tài)更集中頂部。19.在統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制圖中，中心線CL通常取A.規(guī)格上限?B.規(guī)格下限?C.過程均值?D.公差中心答案：C解析：控制圖中心線即過程穩(wěn)定時的μ估計(jì)值。20.若兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)結(jié)果p=0.032，顯著性水平α=0.05，則A.拒絕H?，犯第一類錯誤概率為3.2%?B.拒絕H?，犯第一類錯誤概率為5%C.不拒絕H?，可能犯第二類錯誤?D.無法判斷答案：B解析：p<α拒絕H?，第一類錯誤概率即α=5%，與p值無關(guān)。二、多項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分，多選少選均不得分）21.下列屬于描述統(tǒng)計(jì)方法的有A.直方圖?B.箱線圖?C.假設(shè)檢驗(yàn)?D.散點(diǎn)圖?E.參數(shù)估計(jì)答案：ABD解析：描述統(tǒng)計(jì)用圖表概括數(shù)據(jù)，C、E屬推斷統(tǒng)計(jì)。22.影響樣本容量確定的因素包括A.總體方差?B.允許誤差?C.置信水平?D.抽樣方式?E.問卷長度答案：ABCD解析：樣本量公式均含σ、E、Zα/2及設(shè)計(jì)效應(yīng)，與問卷長度無直接關(guān)系。23.下列關(guān)于移動平均法的說法正確的有A.可消除季節(jié)變動?B.階數(shù)越大，平滑效果越強(qiáng)?C.會損失首尾數(shù)據(jù)?D.可用于趨勢預(yù)測?E.對隨機(jī)波動敏感答案：BCD解析：移動平均削弱短期波動，階數(shù)大則更平滑，首尾無法計(jì)算，不能消除季節(jié)，需季節(jié)調(diào)整。24.若回歸模型存在異方差，則A.OLS估計(jì)有偏?B.OLS估計(jì)仍無偏?C.標(biāo)準(zhǔn)誤失效?D.t檢驗(yàn)不可靠?E.可用加權(quán)最小二乘修正答案：BCDE解析：異方差下OLS仍線性無偏，但方差非最小，標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)偏，檢驗(yàn)失效，可用WLS。25.下列屬于時間數(shù)列構(gòu)成要素的有A.長期趨勢?B.季節(jié)變動?C.循環(huán)變動?D.不規(guī)則變動?E.抽樣誤差答案：ABCD解析：時間數(shù)列經(jīng)典四要素，抽樣誤差屬調(diào)查誤差。三、判斷題（每小題1分，共10分，正確打“√”，錯誤打“×”）26.標(biāo)準(zhǔn)差一定小于均值。答案：×解析：標(biāo)準(zhǔn)差與均值量綱相同，但數(shù)值大小無必然關(guān)系，如N(0.01,1)即反例。27.若兩變量完全線性相關(guān)，則回歸直線通過所有樣本點(diǎn)。答案：√解析：|r|=1時殘差平方和為0，擬合完美。28.泊松分布的均值與方差始終相等。答案：√解析：泊松分布參數(shù)λ同時等于期望與方差。29.在假設(shè)檢驗(yàn)中，p值越大，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)。答案：×解析：p值越大，越不能拒絕H?。30.指數(shù)平滑法平滑系數(shù)α越接近1，對歷史數(shù)據(jù)遺忘速度越慢。答案：×解析：α→1表示最新觀測權(quán)重極高，遺忘速度越快。31.對正態(tài)總體，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤隨樣本量增大而減小。答案：√解析：標(biāo)準(zhǔn)誤=σ/√n，n↑則↓。32.若置信水平從95%提高到99%，則置信區(qū)間寬度一定變窄。答案：×解析：置信水平↑→Zα/2↑→區(qū)間變寬。33.中位數(shù)對極端值比均值更敏感。答案：×解析：中位數(shù)僅依賴位次，對極端值穩(wěn)健。34.在列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)中，期望頻數(shù)小于5的單元格比例應(yīng)低于20%。答案：√解析：Cochran準(zhǔn)則建議，否則需合并或改用Fisher精確檢驗(yàn)。35.若隨機(jī)變量X~N(10,4)，則2X~N(20,8)。答案：×解析：線性變換Var(aX)=a2Var(X)，故Var(2X)=4×4=16，應(yīng)為N(20,16)。四、填空題（每空2分，共20分）36.若樣本數(shù)據(jù)5，7，8，9，11，則其極差為6。37.設(shè)隨機(jī)變量T服從自由度為15的t分布，則其方差為15/13（保留分?jǐn)?shù)）。38.在指數(shù)體系中，銷售額指數(shù)=價格指數(shù)×數(shù)量指數(shù)。39.若回歸決定系數(shù)R2=0.64，則解釋變量對因變量的變異解釋比例為64%。40.對總體比例進(jìn)行估計(jì)時，若樣本比例p?=0.4，n=100，則其標(biāo)準(zhǔn)誤為0.04899（保留5位小數(shù)）。41.某企業(yè)2020—2023年利潤（萬元）依次為200，230，270，則幾何平均增長率為10.63%（保留兩位小數(shù)）。42.若X~B(n=10,p=0.3)，則P(X=0)=0.0282（保留4位小數(shù)）。43.在質(zhì)量控制中，過程能力指數(shù)Cp=1.33，說明過程不合格品率約為0.0064%（雙側(cè)，正態(tài)，查表）。44.若季節(jié)指數(shù)之和為400%，說明該數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)。45.對同一組數(shù)據(jù)，若偏度系數(shù)為–0.8，則分布左尾比右尾長。五、簡答題（每小題8分，共24分）46.簡述中心極限定理的主要內(nèi)容及其在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用。答案：中心極限定理指出，從任意總體（均值μ、有限方差σ2）中抽取容量為n的簡單隨機(jī)樣本，當(dāng)n足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似服從N(μ,σ2/n)。該定理奠定了大樣本推斷的基礎(chǔ)：（1）使未知分布總體的均值置信區(qū)間構(gòu)建成為可能；（2）使大樣本下Z檢驗(yàn)無需假定總體正態(tài)；（3）為比例、兩均值差等非正態(tài)問題的近似正態(tài)解法提供理論依據(jù)；（4）解釋了為何許多自然、社會現(xiàn)象疊加后呈鐘形分布，提升模型泛化能力。47.說明多重共線性對多元回歸模型的影響，并給出兩種診斷及兩種解決辦法。答案：影響：（1）OLS估計(jì)量仍無偏，但方差膨脹，導(dǎo)致t檢驗(yàn)失效，系數(shù)符號可能反常；（2）模型對樣本微小變化極度敏感，預(yù)測穩(wěn)定性下降；（3）難以評估單個自變量對因變量的邊際貢獻(xiàn)。診斷：①方差膨脹因子VIF>10（或>5）提示嚴(yán)重共線；②特征值條件數(shù)κ>30表明設(shè)計(jì)矩陣病態(tài)。解決辦法：①刪除或合并高度相關(guān)的自變量；②采用嶺回歸、Lasso等正則化技術(shù)，在偏差—方差間權(quán)衡。48.比較簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣在估計(jì)總體均值時的效率差異，并給出分層抽樣精度更高的前提條件。答案：簡單隨機(jī)抽樣方差V(?)=S2/n；分層抽樣方差V(?_st)=∑W_h2S_h2/n_h，若層內(nèi)方差S_h2遠(yuǎn)小于總體方差S2，且層均值差異大，則分層估計(jì)量方差顯著降低。前提：（1）分層變量與調(diào)查變量高度相關(guān)；（2）各層內(nèi)部同質(zhì)、層間異質(zhì)；（3）層權(quán)準(zhǔn)確、無非抽樣誤差；（4）合理分配樣本（如Neyman最優(yōu)分配），才能充分發(fā)揮分層效率優(yōu)勢。六、計(jì)算題（共46分）49.（10分）某高校自考辦隨機(jī)抽取36名考生，統(tǒng)計(jì)得平均成績74分，標(biāo)準(zhǔn)差9分。假定成績近似正態(tài)，試求：（1）該校全體考生平均成績μ的95%置信區(qū)間；（2）若希望估計(jì)誤差不超過2分，置信水平仍為95%，求所需樣本量。答案：（1）n=36，?=74，s=9，α=0.05，t?.???(35)=2.03標(biāo)準(zhǔn)誤=9/√36=1.5區(qū)間：74±2.03×1.5=74±3.05→(70.95,77.05)（2）E=2，Z?.???=1.96（大樣本用Z）n=(Z2s2)/E2=(1.962×81)/4≈77.8→至少78人。50.（12分）為比較兩種教學(xué)方法效果，隨機(jī)將60名學(xué)生均分為兩組。實(shí)驗(yàn)組采用翻轉(zhuǎn)課堂，對照組傳統(tǒng)講授。期末成績?nèi)缦拢簩?shí)驗(yàn)組：n?=30，??=82，s?2=64對照組：n?=30，??=76，s?2=49假定兩總體近似正態(tài)且方差齊性，試在α=0.05下檢驗(yàn)兩種方法平均成績是否有顯著差異。答案：H?:μ?=μ?，H?:μ?≠μ?合并方差s_p2=[(29×64+29×49)]/58=56.5標(biāo)準(zhǔn)誤=√[56.5×(1/30+1/30)]=1.94t=(82–76)/1.94=3.09雙側(cè)臨界值t?.???(58)=2.00|t|=3.09>2.00，拒絕H?，兩種方法成績差異顯著。51.（12分）某市近10年GDP（億元）數(shù)據(jù)如下：年份t：12345678910GDPy：120135150168185205228252278310（1）用最小二乘法擬合線性趨勢方程?=a+bt；（2）預(yù)測第12年GDP；（3）計(jì)算趨勢值與實(shí)際值的平均絕對誤差MAE。答案：（1）n=10，∑t=55，∑y=2031，∑t2=385，∑ty=12455b=[10×12455–55×2031]/[10×385–552]=2155/825=21.34a=(2031–21.34×55)/10=84.23方程：?=84.23+21.34t（2）t=12，?=84.23+21.34×12=340.31（億元）（3）計(jì)算各?與y絕對差平均：MAE=14.7（億元）（過程略）。52.（12分）某超市想研究顧客滿意度（Y，1~10分）與等候時間（X?，分鐘）、商品價格指數(shù)（X?，%）的關(guān)系，抽取25組數(shù)據(jù)，得到以下部分結(jié)果：回歸方程：?=8.5–0.35x?–0.08x?SSR=60，SSE=40（1）完成方差分析表并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性（α=0.05）；（2）計(jì)算調(diào)整后的決定系數(shù)R?2；（3）解釋x?系數(shù)含義。答案：（1）SST=SSR+SSE=100dfR=2，dfE=22，dfT=24MSR=30，MSE=1.8