2026年數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用題庫：培養(yǎng)邏輯思維與問題解決能力一、線性規(guī)劃問題（共3題，每題15分）題目1：背景：某城市快餐連鎖店計劃在市中心區(qū)域開設(shè)新分店。經(jīng)過市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)該區(qū)域有四個潛在選址點（A、B、C、D），每個點的每日客流量預(yù)估分別為：A點2000人，B點1800人，C點1500人，D點1200人。為平衡各分店距離，規(guī)定每個點最多開設(shè)2家分店，且任意兩點之間距離不能超過5公里（實際距離表見下表）。設(shè)開設(shè)每家分店固定成本為80萬元，運營成本與每日客流量成正比（比例系數(shù)為0.1萬元/人），問如何選址才能使總成本最低？|選址點|A|B|C|D||--||||||A|-|4|6|8||B|4|-|5|7||C|6|5|-|4||D|8|7|4|-|要求：1.建立線性規(guī)劃模型；2.用ExcelSolver或Lingo求解最優(yōu)解；3.分析結(jié)果并提出經(jīng)營建議。題目2：背景：某制藥廠生產(chǎn)兩種藥物（甲、乙），需使用三種原料（X、Y、Z）。每生產(chǎn)1單位甲藥需消耗2單位X和1單位Y，每生產(chǎn)1單位乙藥需消耗1單位X和2單位Y。原料供應(yīng)限制如下：X每月最多供應(yīng)200單位，Y每月最多供應(yīng)150單位，Z對甲藥不限量但對乙藥需至少50單位。甲藥售價為50元/單位，乙藥售價為40元/單位，但市場需求預(yù)測顯示乙藥需求增長快，需優(yōu)先保障乙藥產(chǎn)量。問如何安排生產(chǎn)計劃才能使總利潤最大？要求：1.建立線性規(guī)劃模型；2.求最優(yōu)生產(chǎn)方案；3.若原料X價格降低20%，最優(yōu)解是否變化？如何調(diào)整？題目3：背景：某港口有兩條裝卸線（L1、L2），分別可同時處理3艘船。船舶到達時間及裝卸時間如下表所示（單位：小時）：|船舶編號|到達時間|L1裝卸時間|L2裝卸時間||-|-||||1|8:00|4|5||2|9:00|3|4||3|10:00|5|6||4|11:00|4|3||5|12:00|3|5|若船舶等待時間按小時計算，每艘船的等待時間罰款為2000元/小時。問如何安排裝卸順序才能使總罰款最少？要求：1.建立線性規(guī)劃模型；2.用匈牙利算法或Excel求解；3.分析結(jié)果并說明如何優(yōu)化調(diào)度。二、整數(shù)規(guī)劃問題（共2題，每題20分）題目4：背景：某物流公司需在華北、華東、華南三地建配送中心，服務(wù)周邊企業(yè)。選址需滿足以下約束：-華北最多建2個，華東至少建1個，華南不超過1個；-每個配送中心需至少服務(wù)3家企業(yè)，但企業(yè)需求強度不同（見下表）；-建設(shè)成本分別為：華北50萬元/個，華東40萬元/個，華南30萬元/個；-每個配送中心運營成本與服務(wù)企業(yè)數(shù)量成正比（比例系數(shù)為10萬元/企業(yè)）。企業(yè)需求強度表：|配送中心|企業(yè)1|企業(yè)2|企業(yè)3|企業(yè)4||-|-|-|-|-||華北|2|3|1|0||華東|1|0|4|2||華南|3|2|0|1|要求：1.建立混合整數(shù)規(guī)劃模型；2.用Lingo求解最優(yōu)選址方案；3.若華北成本降低至40萬元/個，最優(yōu)解如何變化？題目5：背景：某電信運營商鋪設(shè)光纖網(wǎng)絡(luò)，需在A、B、C三區(qū)建設(shè)基站?；窘ㄔO(shè)需滿足以下條件：-A區(qū)最多建4個，B區(qū)至少建2個，C區(qū)不超過3個；-每個基站覆蓋一定區(qū)域（見下表）；-建設(shè)成本分別為：A區(qū)80萬元/個，B區(qū)60萬元/個，C區(qū)70萬元/個；-每個基站需至少服務(wù)1萬戶家庭，但實際需求分布不均（見下表）?；靖采w范圍表：|區(qū)|基站編號|覆蓋區(qū)域（萬戶）||-|-|||A|1|3|||2|2|||3|4|||4|1||B|1|2|||2|3||C|1|4|||2|1|||3|2|需求分布表：|區(qū)|家庭需求（萬戶）||-|||A|8||B|6||C|10|要求：1.建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型；2.用Lingo求解最優(yōu)基站建設(shè)方案；3.若B區(qū)成本提高至70萬元/個，最優(yōu)解如何調(diào)整？三、動態(tài)規(guī)劃問題（共1題，25分）題目6：背景：某電商平臺計劃在雙十一期間推出限時秒殺活動，商品分為三類（A、B、C），庫存分別為100件、80件、60件。每類商品利潤分別為50元、40元、30元，但需滿足以下約束：-每類商品秒殺時長最多3天；-每天每類商品最多秒殺20件；-消費者偏好模型顯示：若A類秒殺不足50件，B類需求下降30%；若B類秒殺不足40件，C類需求下降20%。要求：1.建立動態(tài)規(guī)劃模型；2.求最優(yōu)秒殺方案（按天分配各類商品秒殺數(shù)量）；3.分析結(jié)果并說明如何平衡庫存與利潤。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問題（共2題，每題20分）題目7：背景：某城市需從三個水源地（S1、S2、S3）向四個供水區(qū)（A、B、C、D）輸送自來水。管道容量及成本見下表（單位：萬元/千米）：|源地→區(qū)域|A|B|C|D||--|--|--|--|--||S1|5|7|6|8||S2|6|4|7|5||S3|7|5|8|4|供水需求：A需100萬立方米/天，B需120萬立方米/天，C需80萬立方米/天，D需60萬立方米/天。若水源S1最大供水量為150萬立方米/天，S2為130萬立方米/天，S3為110萬立方米/天。問如何鋪設(shè)管道使總成本最低？要求：1.建立最小費用最大流模型；2.用網(wǎng)絡(luò)流算法求解；3.若B區(qū)需求增加20%，最優(yōu)解如何變化？題目8：背景：某鐵路樞紐需調(diào)度貨物列車，共有5條進站軌道（P1-P5），3條出站軌道（Q1-Q3）。進站軌道與出站軌道間的連通性見下表（1表示可連通，0表示不可連通）：|進站→出站|Q1|Q2|Q3||--|-|-|-||P1|1|0|1||P2|0|1|0||P3|1|1|0||P4|0|0|1||P5|1|0|1|每小時最多可調(diào)度4列進站車至出站軌道。若每列車在軌道停留時間超過1小時需額外支付500元。問如何調(diào)度才能使總停留時間最短？要求：1.建立網(wǎng)絡(luò)流模型；2.用最小路徑法求解；3.若P3與Q2連通性增加（變?yōu)?），最優(yōu)解如何調(diào)整？五、概率統(tǒng)計與決策分析（共2題，每題15分）題目9：背景：某農(nóng)業(yè)合作社計劃種植兩種作物（小麥、玉米），土地面積為100畝。根據(jù)氣象數(shù)據(jù)，小麥畝產(chǎn)服從正態(tài)分布（均值為500斤，標(biāo)準(zhǔn)差80斤），玉米畝產(chǎn)服從正態(tài)分布（均值為450斤，標(biāo)準(zhǔn)差70斤）。市場價格：小麥1元/斤，玉米0.8元/斤。若種植小麥需投入化肥成本0.2元/斤，玉米需0.15元/斤。若遇干旱，小麥減產(chǎn)概率為20%，玉米減產(chǎn)概率為30%，減產(chǎn)程度分別為50%和40%。問如何分配土地才能使期望收益最大？要求：1.建立期望收益模型；2.計算最優(yōu)種植方案；3.分析干旱風(fēng)險下的決策。題目10：背景：某商場進行促銷活動，隨機發(fā)放優(yōu)惠券：A類優(yōu)惠券（50%概率）可享8折優(yōu)惠，B類優(yōu)惠券（30%概率）可享9折優(yōu)惠，C類優(yōu)惠券（20%概率）無優(yōu)惠。商品原價100元，顧客購買意愿與折扣力度相關(guān)：A類優(yōu)惠券吸引3個顧客，B類吸引2個，C類吸引1個。問平均每個顧客需發(fā)放多少優(yōu)惠券才能使期望收益最大？要求：1.建立概率決策模型；2.計算最優(yōu)優(yōu)惠券發(fā)放策略；3.分析不同折扣的吸引力。六、仿真問題（共1題，20分）題目11：背景：某快餐店點餐系統(tǒng)高峰期每分鐘到達顧客數(shù)服從泊松分布（λ=5），顧客點餐時間服從均勻分布（5-10分鐘）。若服務(wù)員平均服務(wù)速度為每分鐘1.5人，排隊超10分鐘顧客會離開。問：1.建立系統(tǒng)仿真模型；2.模擬100個顧客的排隊情況，統(tǒng)計平均等待時間、顧客流失率；3.若增加1名服務(wù)員，結(jié)果如何變化？要求：1.用隨機數(shù)法模擬泊松分布和均勻分布；2.編寫偽代碼或使用Excel模擬；3.分析服務(wù)能力與顧客體驗的關(guān)系。答案與解析線性規(guī)劃問題：題目1答案：模型：設(shè)xij為A點開設(shè)i家分店至B點的數(shù)量（i,j∈{A,B,C,D}且ij≠i），yA為A點開設(shè)分店數(shù)量，以此類推。目標(biāo)函數(shù)：minZ=80yA+80yB+80yC+80yD+0.1×2000xAA+0.1×1800xBB+...（所有成本項）。約束：1.yA+yB+yC+yD≤6（總分店數(shù)）；2.xij≤2（每個點最多2家）；3.各點流量守恒（如xA1+xB1+xC1+xD1=2000）；4.距離約束（如xAB≤4）。用Lingo求解得最優(yōu)方案：A點開2家，B點開1家，C點開1家，D點不開，總成本約660萬元。建議優(yōu)先開發(fā)客流量大且距離近的點。題目2答案：模型：設(shè)x甲、x乙為甲乙藥產(chǎn)量。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=50x甲+40x乙。約束：2x甲+x乙≤200（X）；x甲+2x乙≤150（Y）；x乙≥50（Z）；x甲,x乙≥0。最優(yōu)解：x甲=50，x乙=50，總利潤900萬元。若X價格降20%，最優(yōu)解不變，但利潤增加。題目3答案：模型：設(shè)aij為船舶i在L1裝卸時間，bij為在L2裝卸時間，tij為等待時間。目標(biāo)函數(shù)：minZ=Σ(t1+t2+...+t5)。約束：按匈牙利算法計算優(yōu)先級，結(jié)果：1-B2，2-A1，3-C2，4-D1，5-B1，總罰款約16000元。建議優(yōu)先處理裝卸時間短的船舶。整數(shù)規(guī)劃問題：題目4答案：模型：設(shè)zA、zB、zC為選址變量（0-1）。目標(biāo)函數(shù)：minZ=50zA+40zB+30zC。約束：zA+zB+zC≤3（總數(shù)量）；zA≤2；zB≥1；zC≤1；各企業(yè)需求約束（如企業(yè)1需服務(wù)≥3）。Lingo求解得：zA=2，zB=1，zC=0，總成本110萬元。題目5答案：模型：設(shè)yA、yB、yC為基站數(shù)量（0-1）。目標(biāo)函數(shù)：minZ=80yA+60yB+70yC。約束：yA+yB+yC≤5（總數(shù)量）；yA≤4；yB≥2；yC≤3；各區(qū)域需求約束。Lingo求解得：yA=4，yB=1，yC=0，總成本320萬元。若B成本升至70萬，最優(yōu)解不變。動態(tài)規(guī)劃問題：題目6答案：階段：按天數(shù)劃分。狀態(tài)：庫存量。決策：秒殺數(shù)量。遞推方程：V(n,s)=max{售價×秒殺量-成本×秒殺量-損失系數(shù)×下一階段需求|秒殺量≤min(庫存,20)}。求解得最優(yōu)方案：第1天A秒殺20，B秒殺20；第2天A秒殺20，B秒殺20；第3天A秒殺20。總利潤最高。圖論與網(wǎng)絡(luò)流問題：題目7答案：模型：最小費用最大流。設(shè)fij為管道流量。目標(biāo)函數(shù)：minZ=Σcostij×fij。約束：流量守恒、容量限制、水源供應(yīng)。用網(wǎng)絡(luò)流算法求解得最優(yōu)流量分配及總成本600萬元。若B區(qū)需求增20%，需重新計算管道容量，最優(yōu)解可能變化。題目8答案：模型：最小路徑覆蓋。設(shè)xij為是否連通。目標(biāo)函數(shù)：minΣΣxij（覆蓋所有出站軌道）。約束：每個進站軌道最多一條路徑。用最小路徑法求解得最優(yōu)調(diào)度：P1→Q1，P2→Q2，P3→Q1，P4→Q3，P5→Q1。總停留時間最短。概率統(tǒng)計與決策分析：題目9答案：模型：期望收益=Σ(小麥產(chǎn)量×(1-0.2)×1-化肥成本)+