2026年工程數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題目庫一、線性規(guī)劃問題（共3題，每題15分）題目1：城市交通信號(hào)燈優(yōu)化調(diào)度問題背景：某城市某十字路口在高峰時(shí)段交通流量較大，現(xiàn)有4個(gè)方向（北、南、東、西）的信號(hào)燈，每個(gè)方向的紅、綠、黃燈時(shí)長(zhǎng)分別為30秒、90秒、5秒。由于行人過街需求，東西方向和南北方向需要交替允許行人過街，每個(gè)方向行人過街時(shí)長(zhǎng)為20秒。交通管理部門希望通過優(yōu)化信號(hào)燈的配時(shí)方案，最小化平均等待時(shí)間，同時(shí)保證每個(gè)方向至少有2分鐘綠燈時(shí)間。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，并求解最優(yōu)信號(hào)燈配時(shí)方案。要求：1.建立線性規(guī)劃模型。2.使用ExcelSolver或Lingo軟件求解最優(yōu)方案。3.分析結(jié)果并提出實(shí)際應(yīng)用建議。題目2：電力系統(tǒng)負(fù)荷調(diào)度優(yōu)化問題背景：某地區(qū)電網(wǎng)有三座火電廠（A、B、C）和兩座水電站（D、E），火電廠燃料成本分別為每兆瓦時(shí)10元、12元、15元，水電站燃料成本忽略不計(jì)。當(dāng)前負(fù)荷需求為200兆瓦時(shí)，火電廠A、B、C的最大發(fā)電能力分別為150、180、200兆瓦時(shí)，水電站D、E的最大發(fā)電能力分別為100、120兆瓦時(shí)?；痣姀S排放的污染物為二氧化硫，排放標(biāo)準(zhǔn)為每兆瓦時(shí)0.05噸，地區(qū)環(huán)保部門要求每日排放總量不超過5噸。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足負(fù)荷需求和環(huán)保約束條件下，最小化電力系統(tǒng)運(yùn)行成本。要求：1.建立線性規(guī)劃模型。2.使用MATLAB編程求解最優(yōu)方案。3.分析不同電源組合的經(jīng)濟(jì)性和環(huán)保性。題目3：工廠生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問題背景：某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品（甲、乙、丙），每種產(chǎn)品需要經(jīng)過兩道工序加工，每道工序的工時(shí)和單位產(chǎn)品利潤(rùn)如下表所示：|產(chǎn)品|工序1工時(shí)|工序2工時(shí)|單位利潤(rùn)（元）|||||-||甲|2|1|30||乙|1.5|2|40||丙|1|1.5|25|工序1的可用工時(shí)為100小時(shí)，工序2的可用工時(shí)為120小時(shí)。市場(chǎng)需求方面，產(chǎn)品甲和乙的需求量分別為50件和40件，產(chǎn)品丙無限制。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足市場(chǎng)需求和工時(shí)約束條件下，最大化工廠總利潤(rùn)。要求：1.建立線性規(guī)劃模型。2.使用Python的SciPy庫求解最優(yōu)方案。3.分析不同產(chǎn)品組合的利潤(rùn)貢獻(xiàn)。二、非線性規(guī)劃問題（共2題，每題20分）題目4：水庫優(yōu)化調(diào)度問題背景：某水庫用于防洪和供水，已知未來一周的降雨量預(yù)測(cè)和需水量如下表所示：|天數(shù)|降雨量（億立方米）|需水量（億立方米）||||||1|0.2|0.5||2|0.3|0.6||3|0.1|0.8||4|0.4|0.7||5|0.2|0.9||6|0.1|0.5||7|0.3|0.6|水庫當(dāng)前蓄水量為1.5億立方米，最大蓄水量為2.5億立方米，最小蓄水量為0.5億立方米。水庫放水速度受水力發(fā)電效率影響，放水速度為v時(shí)，發(fā)電效率為e(v)=0.8-0.01v（v單位：億立方米/天，0≤v≤1）。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足防洪和供水需求條件下，最大化水庫發(fā)電量。要求：1.建立非線性規(guī)劃模型。2.使用MATLAB的fmincon函數(shù)求解最優(yōu)方案。3.分析不同放水策略對(duì)發(fā)電量的影響。題目5：城市垃圾分類回收路徑優(yōu)化問題背景：某城市有10個(gè)垃圾回收點(diǎn)，每個(gè)回收點(diǎn)的位置和每日垃圾量已知?；厥哲噺膫}(cāng)庫出發(fā)，需要依次經(jīng)過所有回收點(diǎn)，最后返回倉(cāng)庫。回收車的容量限制為5噸，行駛速度為50公里/小時(shí)，單次加滿油可行駛200公里。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足垃圾量要求和車輛容量限制條件下，最小化回收車的總行駛時(shí)間。要求：1.建立非線性規(guī)劃模型。2.使用Python的PuLP庫求解最優(yōu)方案。3.分析不同回收順序?qū)π旭倳r(shí)間的影響。三、整數(shù)規(guī)劃問題（共2題，每題20分）題目6：設(shè)備采購(gòu)與人員安排問題背景：某工廠需要采購(gòu)一批設(shè)備，現(xiàn)有三種設(shè)備（A、B、C），單價(jià)分別為10萬元、15萬元、20萬元，使用壽命分別為5年、6年、7年。工廠需要安排工人進(jìn)行設(shè)備操作，每個(gè)工人每天工作8小時(shí)，每臺(tái)設(shè)備每天需要2名工人操作。工廠現(xiàn)有工人50名，未來三年每年需要新增工人至少5名。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足設(shè)備需求和工作量約束條件下，最小化設(shè)備采購(gòu)成本。要求：1.建立整數(shù)規(guī)劃模型。2.使用ExcelSolver求解最優(yōu)方案。3.分析不同設(shè)備采購(gòu)方案的成本效益。題目7：項(xiàng)目投資組合優(yōu)化問題背景：某投資公司有1000萬元資金，計(jì)劃投資四個(gè)項(xiàng)目（P1、P2、P3、P4），每個(gè)項(xiàng)目的投資額和預(yù)期收益如下表所示：|項(xiàng)目|投資額（萬元）|預(yù)期收益（萬元）|||-|||P1|200|250||P2|300|350||P3|150|200||P4|250|300|由于風(fēng)險(xiǎn)控制，投資公司要求每個(gè)項(xiàng)目的投資額不超過總資金的30%。此外，由于項(xiàng)目間的相關(guān)性，P1和P2不能同時(shí)投資，P3和P4也不能同時(shí)投資。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足投資約束條件下，最大化投資組合的預(yù)期收益。要求：1.建立整數(shù)規(guī)劃模型。2.使用Lingo軟件求解最優(yōu)方案。3.分析不同項(xiàng)目組合的收益風(fēng)險(xiǎn)。四、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題（共1題，20分）題目8：多階段生產(chǎn)與庫存控制問題背景：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每月生產(chǎn)成本為10元/件，庫存成本為2元/件，缺貨成本為20元/件。已知未來四個(gè)月的需求量分別為50件、60件、70件、80件。工廠每月的最大生產(chǎn)能力為100件，最大庫存容量為60件。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，在滿足需求約束條件下，最小化總成本。要求：1.建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。2.使用MATLAB編程求解最優(yōu)方案。3.分析不同生產(chǎn)和庫存策略的成本優(yōu)化效果。答案與解析題目1：城市交通信號(hào)燈優(yōu)化調(diào)度問題模型：設(shè)每個(gè)方向的紅燈時(shí)長(zhǎng)為x1、黃燈時(shí)長(zhǎng)為x2、綠燈時(shí)長(zhǎng)為x3，東西方向和南北方向的行人過街時(shí)長(zhǎng)分別為t1、t2。目標(biāo)函數(shù)：最小化平均等待時(shí)間MinZ=(x1+x2+x3+t1+t2)/4約束條件：1.x1+x2+x3=120（每個(gè)方向總時(shí)長(zhǎng)）2.x3≥60（每個(gè)方向至少2分鐘綠燈）3.t1=t2=20（行人過街時(shí)長(zhǎng)）4.x1,x2,x3≥0求解：使用ExcelSolver求解，最優(yōu)方案為：x1=30,x2=5,x3=85（東西方向）x1=5,x2=30,x3=85（南北方向）建議：可以根據(jù)實(shí)際交通流量調(diào)整綠燈時(shí)長(zhǎng)，增加高峰時(shí)段的綠燈時(shí)間。題目2：電力系統(tǒng)負(fù)荷調(diào)度優(yōu)化問題模型：設(shè)火電廠A、B、C的發(fā)電量分別為x1、x2、x3，水電站D、E的發(fā)電量分別為y1、y2。目標(biāo)函數(shù)：最小化運(yùn)行成本MinZ=10x1+12x2+15x3約束條件：1.x1+x2+x3+y1+y2=200（負(fù)荷需求）2.0≤x1≤150,0≤x2≤180,0≤x3≤200（火電廠能力）3.0≤y1≤100,0≤y2≤120（水電站能力）4.x1+x2+x3+y1+y2≤200（環(huán)保約束）求解：使用MATLAB的fmincon函數(shù)求解，最優(yōu)方案為：x1=100,x2=50,x3=50,y1=0,y2=50分析：火電廠A的發(fā)電量較高，經(jīng)濟(jì)性較好；水電站E的發(fā)電量較高，環(huán)保性較好。題目3：工廠生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問題模型：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品甲、乙、丙的數(shù)量分別為x1、x2、x3。目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤(rùn)MaxZ=30x1+40x2+25x3約束條件：1.2x1+1.5x2+1x3≤100（工序1工時(shí)）2.1x1+2x2+1.5x3≤120（工序2工時(shí)）3.x1≤50（產(chǎn)品甲需求）4.x2≤40（產(chǎn)品乙需求）5.x1,x2,x3≥0求解：使用Python的SciPy庫求解，最優(yōu)方案為：x1=40,x2=20,x3=30分析：產(chǎn)品甲和乙的利潤(rùn)貢獻(xiàn)較大，應(yīng)優(yōu)先生產(chǎn)。題目4：水庫優(yōu)化調(diào)度問題模型：設(shè)每天放水量為v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7。目標(biāo)函數(shù)：最大化發(fā)電量MaxZ=(0.8-0.01v1)+(0.8-0.01v2)+(0.8-0.01v3)+(0.8-0.01v4)+(0.8-0.01v5)+(0.8-0.01v6)+(0.8-0.01v7)約束條件：1.當(dāng)前蓄水量+降雨量-放水量=下一天蓄水量2.0.5≤蓄水量≤2.53.0≤v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7≤1求解：使用MATLAB的fmincon函數(shù)求解，最優(yōu)方案為：v1=0.5,v2=0.6,v3=0.4,v4=0.7,v5=0.5,v6=0.3,v7=0.4分析：不同放水策略對(duì)發(fā)電量有較大影響，應(yīng)根據(jù)降雨量和需水量動(dòng)態(tài)調(diào)整。題目5：城市垃圾分類回收路徑優(yōu)化問題模型：設(shè)回收車的路徑為x1,x2,...,x10,x11（從倉(cāng)庫出發(fā)，經(jīng)過所有回收點(diǎn)，最后返回倉(cāng)庫）。目標(biāo)函數(shù)：最小化總行駛時(shí)間MinZ=Σd(i,j)t(i,j)約束條件：1.每個(gè)回收點(diǎn)只能經(jīng)過一次2.車輛容量不超過5噸3.行駛距離不超過200公里求解：使用Python的PuLP庫求解，最優(yōu)方案為：路徑為：倉(cāng)庫->回收點(diǎn)1->回收點(diǎn)4->回收點(diǎn)2->回收點(diǎn)5->回收點(diǎn)3->回收點(diǎn)7->回收點(diǎn)10->回收點(diǎn)8->回收點(diǎn)9->回收點(diǎn)6->倉(cāng)庫分析：不同回收順序?qū)π旭倳r(shí)間有較大影響，應(yīng)優(yōu)化路徑以減少總行駛時(shí)間。題目6：設(shè)備采購(gòu)與人員安排問題模型：設(shè)采購(gòu)設(shè)備A、B、C的數(shù)量分別為x1、x2、x3，安排工人數(shù)量為y1,y2,y3,y4,y5,y6（未來三年每年新增工人）。目標(biāo)函數(shù)：最小化設(shè)備采購(gòu)成本MinZ=10x1+15x2+20x3約束條件：1.x1+x2+x3≤100（資金限制）2.y1+y2+y3+y4+y5+y6≥50（工人需求）3.y_i≥5（每年新增工人至少5名）4.x1,x2,x3,y_i為整數(shù)求解：使用ExcelSolver求解，最優(yōu)方案為：x1=5,x2=3,x3=2,y1=5,y2=5,y3=5,y4=5,y5=5,y6=5分析：應(yīng)優(yōu)先采購(gòu)單價(jià)較低的設(shè)備，同時(shí)滿足工人需求。題目7：項(xiàng)目投資組合優(yōu)化問題模型：設(shè)投資項(xiàng)目P1、P2、P3、P4的數(shù)量分別為x1、x2、x3、x4。目標(biāo)函數(shù)：最大化預(yù)期收益MaxZ=250x1+350x2+200x3+300x4約束條件：1.200x1+300x2+150x3+250x4≤300（資金限制）2.x1+x2+x3+x4≤1000（總資金）3.x1+x2≤300（P1和P2不能同時(shí)投資）4.x3+x4≤300（P3和P4不能同時(shí)投資）5.x1,x2,x3,x4為整數(shù)求解：使用Lingo軟件求解，最優(yōu)方案為：x1=0,x2=300,x3=0,x4=300分析：應(yīng)優(yōu)先投資項(xiàng)目P2和P4，收益較高。題目8：多階段生產(chǎn)與庫存控制問題模型：設(shè)每月生產(chǎn)數(shù)量為x1,x2,x3,x4，庫存數(shù)量為s1,s2,s3,s4。目標(biāo)函數(shù)：最小化總成本MinZ=10(x1+x2+x3+x4)+2(s1+s2+s3+s4)+20(max(0,50-x1+s0),max(0,60-x2+s1),max(0,70-x3+s2),max(0,80-x4+s3))約束條件：1.s1=max(0,x1