九年級數(shù)學：用列舉法求概率的教學設計與實施一、教學內(nèi)容分析從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》審視，本節(jié)內(nèi)容位于“統(tǒng)計與概率”領域，是學生在小學階段初步感知隨機現(xiàn)象基礎上，首次系統(tǒng)學習概率的定量刻畫方法。其核心在于引導學生從定性描述“可能性大小”過渡到定量計算“概率值”，是建立隨機觀念、發(fā)展數(shù)據(jù)意識的關(guān)鍵節(jié)點。在知識圖譜上，它上承隨機事件、概率的古典定義，下啟用頻率估計概率及更復雜的概率模型，具有承上啟下的樞紐作用。課標強調(diào)通過列舉所有等可能的結(jié)果來計算簡單事件的概率，這一過程蘊含了重要的學科思想方法：分類討論與有序思考。學生需要學習如何將一個不確定性問題，通過系統(tǒng)、不重不漏的列舉，轉(zhuǎn)化為一個可以計數(shù)、可以計算的確定性問題，這本質(zhì)上是數(shù)學建模思想的初步體驗。從素養(yǎng)價值看，本課不僅是技能學習，更是思維體操。它著力發(fā)展學生的邏輯推理能力與數(shù)據(jù)意識，通過嚴謹?shù)牧信e過程，培養(yǎng)學生思維的條理性、全面性和深刻性，理解數(shù)學是如何通過確定性的方法來研究不確定性世界的，體味數(shù)學的理性精神與工具價值。基于“以學定教”原則，學情研判如下：學生已具備計算簡單等可能事件概率的公式認知（P(A)=m/n），但對如何準確、無遺漏地獲取“m”與“n”缺乏系統(tǒng)方法。其思維障礙主要在于：面對稍復雜的背景，枚舉時易陷入重復或遺漏的混亂；難以自覺形成有序分類的思考策略；對“等可能性”這一前提的判定不夠敏感。在過程評估中，我將通過觀察學生列舉過程的表征方式（如：直接羅列、列表、畫圖）、課堂提問的反饋以及隨堂練習的典型錯誤，動態(tài)診斷學情。為此，教學調(diào)適應提供多層次支持：對于基礎較弱學生，提供列舉的“腳手架”（如標準表格、樹狀圖起始分支）；對于多數(shù)學生，通過對比不同列舉方法的優(yōu)劣，引導其掌握優(yōu)化策略；對于學有余力者，設計開放性問題，挑戰(zhàn)其在復雜情境下自主構(gòu)建恰當模型的能力。二、教學目標知識目標方面，學生將深入理解列舉法的本質(zhì)是“將隨機問題確定化”，能準確區(qū)分直接列舉、列表法和畫樹狀圖法等不同策略的適用情境。他們不僅要記住方法步驟，更要能解釋為何要“有序”與“不重不漏”，并能在具體問題中辨析等可能條件是否滿足，從而正確運用概率公式進行計算。能力目標聚焦于發(fā)展學生的系統(tǒng)性思維與規(guī)范表達能力。學生將能夠針對不同的隨機試驗（涉及一步、兩步或簡單多步），自主選擇或構(gòu)建恰當?shù)牧信e方式（如列表或樹狀圖），清晰、有條理地呈現(xiàn)所有等可能結(jié)果。他們將從具體操作中歸納出選擇不同方法的一般性原則，并能夠用數(shù)學語言規(guī)范地表述解題過程。在情感態(tài)度與價值觀層面，本課旨在通過解決貼近生活的概率問題（如抽簽、游戲公平性），激發(fā)學生對隨機現(xiàn)象的好奇心與探究欲。在小組合作列舉與辨析的過程中，培養(yǎng)學生耐心、細致的科學態(tài)度和嚴謹求實的理性精神，認識到數(shù)學方法在分析、決策中的實用價值。本課重點發(fā)展的學科思維是模型思想與有序思維。學生將經(jīng)歷“實際問題→提煉要素（可能結(jié)果）→構(gòu)建列舉模型（列表/樹狀圖）→求解→回歸解釋”的完整建模過程。課堂將通過設計層層遞進的問題鏈，驅(qū)動學生不斷優(yōu)化自己的列舉模型，體驗從“無序嘗試”到“有序建構(gòu)”的思維躍遷。評價與元認知目標關(guān)注學習過程的監(jiān)控與優(yōu)化。引導學生依據(jù)“列舉是否完整、有序、對應概率計算是否正確”等標準，進行同伴解題過程的互評與自評。鼓勵學生反思：“面對新問題時，我選擇列舉方法的依據(jù)是什么？”“我的列舉過程最容易在哪個環(huán)節(jié)出錯？”從而提升其策略選擇與自我監(jiān)控的元認知能力。三、教學重點與難點教學重點在于列舉法的原理理解與規(guī)范操作。其確立依據(jù)源于課標將此內(nèi)容作為概率計算的基石，它直接關(guān)聯(lián)“數(shù)據(jù)意識”核心素養(yǎng)中“知道如何獲取數(shù)據(jù)”的要求。在學業(yè)評價中，無論是定性判斷還是定量計算，準確列舉所有等可能結(jié)果是解決問題的共同前提，是高頻且核心的考點。掌握系統(tǒng)性的列舉方法，能為后續(xù)學習復雜概率問題提供根本的思維工具。教學難點在于復雜情境下，如何確保列舉的“不重不漏”以及樹狀圖或列表法的靈活構(gòu)建與運用。難點成因主要有二：一是學生的認知從“直覺枚舉”跨越到“系統(tǒng)建?！贝嬖诳缍龋枰朔季S無序的慣性；二是當試驗步驟增多或元素間關(guān)系復雜（如不放回抽?。r，學生難以清晰把握樣本空間的結(jié)構(gòu)。預設依據(jù)來自常見錯誤分析：學生作業(yè)中常出現(xiàn)列舉結(jié)果總數(shù)（n）或事件結(jié)果數(shù)（m）計算錯誤，根源多在列舉過程的混亂。突破方向在于強化“有序思考”的示范與訓練，并通過對比不同方法的優(yōu)劣，幫助學生內(nèi)化策略選擇的心智模型。四、教學準備清單1.教師準備1.1媒體與教具：制作交互式課件，動態(tài)演示列表與樹狀圖的生成過程；準備實物教具（如標注A、B、C的卡片，兩個不同顏色的骰子模型）。1.2學習材料：設計分層學習任務單（含基礎練習、綜合應用、挑戰(zhàn)任務）；準備課堂鞏固練習卷及配套答案提示卡。2.學生準備2.1知識預備：復習必然事件、隨機事件、概率的古典定義（P(A)=m/n）。2.2學具：攜帶常規(guī)文具，鼓勵準備彩色筆用于畫樹狀圖時區(qū)分不同層次。3.環(huán)境布置3.1座位安排：小組合作學習座位（46人一組），便于課堂討論與任務合作。五、教學過程第一、導入環(huán)節(jié)1.情境創(chuàng)設與沖突激發(fā)：“同學們，假設我們班要派一名代表參加演講比賽，決定用抽簽方式在我們?nèi)诵〗M（假設為甲、乙、丙）中產(chǎn)生。請問，甲同學第一個抽，他抽中的概率是多少？”（學生易答1/3）“好的，如果甲第一個抽沒抽中，那么乙第二個抽，抽中的概率又是多少呢？”此時學生可能出現(xiàn)分歧，有回答1/2，有回答1/3。我們接著問：“有人說1/2，因為只剩兩張簽了；有人說還是1/3。大家的直覺好像打架了，到底哪個對？光靠感覺不行，我們需要一個可靠的方法把‘所有可能性’清清楚楚地擺出來，再算。”1.1.提出核心問題：“這就是我們今天要攻克的核心問題：如何系統(tǒng)、清晰、不重不漏地找出一個隨機事件中所有可能的結(jié)果，從而精準計算概率？”1.2.明晰學習路徑：“為了解決它，我們將像探險家一樣，掌握三種‘地圖’繪制術(shù)：直接列舉、列表格和畫樹狀圖。我們會從簡單問題入手，慢慢升級難度，最后再來裁決剛才的抽簽謎案?！钡诙⑿率诃h(huán)節(jié)本環(huán)節(jié)通過搭建認知階梯，引導學生主動建構(gòu)列舉方法體系。任務一：從“直覺”到“有序”——直接列舉的規(guī)范教師活動：首先，呈現(xiàn)基礎問題：“同時拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚骰子，計算硬幣正面向上且骰子點數(shù)大于4的概率。”我會引導：“請大家先獨立嘗試列出所有可能的結(jié)果?！毖惨曋?，我會特意關(guān)注學生列舉的順序。然后請兩位列舉方式不同的學生（一位可能先定硬幣再配骰子，另一位順序相反）上臺展示。我會追問：“大家看，兩種列法都正確嗎？哪一種看起來更清晰、更不容易出錯？”從而引出“有序思考”的關(guān)鍵性：“看，如果我們先確定硬幣的兩種狀態(tài)（正、反），再分別去配骰子的6個點數(shù)，就像樹干分叉一樣，思路特別清晰。這種‘先定一個，再配另一個’的次序，就是保證我們不迷路的法寶?！睂W生活動：學生獨立思考并嘗試列舉。觀察同伴的展示，比較不同列舉順序帶來的清晰度差異。在教師引導下，理解并認同“有序枚舉”的重要性，并嘗試用語言描述“先硬幣后骰子”的列舉邏輯。即時評價標準：1.列舉結(jié)果是否完整（共12種）。2.列舉過程是否有明顯的順序（如文字描述或排列呈現(xiàn)是否條理）。3.能否從自己或他人的列舉中，指出“有序”帶來的好處。形成知識、思維、方法清單：★有序枚舉原則：當涉及多個元素時，固定一個元素的可能情況，再逐一搭配其他元素，可以避免混亂和遺漏。這是所有列舉法的思想基礎?！鴺颖究臻g：所有等可能結(jié)果組成的集合。本節(jié)課中，我們的首要任務就是清晰界定并列出樣本空間。教學提示：引導學生體會，這里的“有序”不是結(jié)果本身有順序，而是我們思考和組織結(jié)果的策略?？梢灶惐取皵?shù)線段”時先確定一個端點再找另一個端點的思路。任務二：升級“武器”一——列表法應對“兩步”試驗教師活動：提出新問題：“同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（記為骰子A和骰子B），點數(shù)和為8的概率是多少？”我會說：“現(xiàn)在試驗步驟可以看作兩步：擲A和擲B。結(jié)果一下子多了，直接列舉容易看花眼。我們能不能設計一張‘表格’，讓所有結(jié)果自動對號入座，一目了然呢？”我將示范繪制一個6行6列的表格，行標題為骰子A的點數(shù)16，列標題為骰子B的點數(shù)16。引導學生在表格中填入點數(shù)和?！按蠹艺艺遥蜑?的‘格子’有哪些？它們的位置有什么規(guī)律？”（分布在一條斜線上）。然后追問：“列表法特別適合解決什么樣的問題？”讓學生初步感知其適用于兩步試驗，且每一步結(jié)果數(shù)為有限的情形。學生活動：跟隨教師引導，理解表格的行列意義，在任務單上完成表格，并從中找出目標事件（點數(shù)和為8）對應的格子數(shù)。思考并總結(jié)列表法的優(yōu)點（清晰呈現(xiàn)二維關(guān)系）和適用條件。即時評價標準：1.能否獨立或模仿畫出正確的二維表格框架。2.能否準確地在表格中標識或數(shù)出目標事件對應的結(jié)果數(shù)。3.能否初步表達列表法在呈現(xiàn)“兩個因素搭配”時的優(yōu)勢。形成知識、思維、方法清單：★列表法：適用于涉及兩個因素（或可視為兩步）的隨機試驗。將一個因素的所有可能結(jié)果作為行，另一個作為列，在表格交叉處列出所有組合結(jié)果。優(yōu)點是結(jié)果呈現(xiàn)直觀，便于尋找規(guī)律?！瓤赡苄缘脑俅_認：在使用列舉法前，必須隱性或顯性判斷每個基本結(jié)果是否等可能。例如，若問題改為“擲兩枚骰子，點數(shù)之和”，則每個格子（如(1,2)）是等可能的，但“點數(shù)之和”為不同值的事件本身不等可能。教學提示：強調(diào)表格是對“有序枚舉”的系統(tǒng)化、可視化呈現(xiàn)。引導學生發(fā)現(xiàn)，列表法本質(zhì)是“先定行（骰子A），再配列（骰子B）”這一有序思想的具體實現(xiàn)。任務三：升級“武器”二——樹狀圖刻畫“步驟”與“層次”教師活動：提出更復雜情境：“一個盒子中有三個外形完全相同的球，分別標有字母A、B、C。先后取出兩個球（第一次取出后不放回），求取出的球字母恰好為A和B（不分順序）的概率?！蔽視龑В骸斑@次還是兩步，但‘不放回’意味著第二步的可選范圍受第一步影響。列表法還方便嗎？我們試試用‘生長樹’的方法。”我在黑板上示范畫樹狀圖：第一層三個分支，代表第一次取出的可能（A,B,C）；從每個分支末端，畫出第二次取出的可能分支（注意：因為不放回，每個分支后只有兩種可能）。邊畫邊講：“第一次取走A后，盒子里只剩B和C，所以從A這個分支只‘長’出B和C兩個新枝。”畫完后，請學生沿著“樹枝”找出所有可能結(jié)果（共6種），并找出目標事件（含A和B）對應的路徑（有兩條：AB和BA）。然后，對比“放回”情形，讓學生畫另一個樹狀圖，直觀感受樣本空間的變化。學生活動：觀察教師示范，理解樹狀圖中“層”與“步驟”的對應關(guān)系，“分支”與“可能結(jié)果”的對應關(guān)系。模仿繪制“不放回”取球的樹狀圖，并據(jù)此計算概率。嘗試獨立繪制“放回”情形的樹狀圖，對比差異，深化理解。即時評價標準：1.繪制的樹狀圖層次是否清晰，分支是否完整（特別是“不放回”條件下的分支數(shù)是否正確減少）。2.能否根據(jù)樹狀圖準確讀出所有可能的結(jié)果路徑。3.能否指出樹狀圖在處理“多步”及“后續(xù)步驟受前面影響”類問題時的優(yōu)勢。形成知識、思維、方法清單：★樹狀圖法：適用于兩步及兩步以上的隨機試驗，尤其是步驟間有影響（如不放回）的情形。它能清晰地展現(xiàn)事件發(fā)展的層次和所有可能的路徑。▲“放回”與“不放回”的本質(zhì)區(qū)別：“放回”保證每一步的樣本空間不變，各步驟獨立；“不放回”則每一步的樣本空間隨之前結(jié)果而改變。這是影響列舉結(jié)果總數(shù)的關(guān)鍵，也是學生易混淆點。核心概念辨析：“有序”與“無序”。在本例中，目標事件“取出A和B”不分順序，意味著(A,B)和(B,A)是同一種情況。但我們的列舉（樹狀圖）必須區(qū)分順序以確保每個基本結(jié)果等可能，計算時再將符合的路徑合并。這是概率計算中的一個重要思想。教學提示：這是本課的思維高點。通過對比，讓學生深刻理解列舉法服務于等可能樣本空間的構(gòu)建。強調(diào)樹狀圖是動態(tài)過程的可視化，比列表更具一般性。第三、當堂鞏固訓練為滿足差異化需求，設計分層訓練體系：1.基礎層（全體必做，直接應用）：1.2.從甲、乙、丙三人中選出兩人參加活動，寫出所有可能結(jié)果，并計算甲被選中的概率。（鞏固直接有序枚舉）2.3.擲一枚硬幣兩次，用樹狀圖表示所有可能結(jié)果，求至少有一次正面向上的概率。（鞏固樹狀圖畫法）4.綜合層（多數(shù)學生挑戰(zhàn)，情境綜合）：1.5.小明的書包里有語文、數(shù)學、英語三本教材，他隨機依次拿出兩本（不放回）早讀。用列表或樹狀圖表示所有可能順序，求第一本拿出數(shù)學且第二本拿出英語的概率。（綜合考察步驟與不放回條件）6.挑戰(zhàn)層（學有余力選做，開放探究）：1.7.設計一個概率為$\frac{1}{4}$的抽獎游戲規(guī)則，要求用到兩步操作（如轉(zhuǎn)盤、摸球等），并用列舉法說明其合理性。（開放設計，逆向思維，深化對概率與列舉關(guān)系的理解）反饋機制：學生獨立完成后，小組內(nèi)交換批改基礎題。教師投影展示綜合層題的不同解法（列表vs樹狀圖），引導學生評議優(yōu)劣。挑戰(zhàn)層方案由設計者簡要闡述，師生共同評議其列舉過程是否支持概率值。第四、課堂小結(jié)“旅程即將結(jié)束，我們來繪制一下今天的‘知識地圖’?！币龑W生以小組為單位，用思維導圖形式梳理：中心是“用列舉法求概率”，主干延伸出三種方法（直接列舉、列表法、樹狀圖），每個方法分出枝條：適用條件、關(guān)鍵要點、示例。請一個小組展示并講解?！盎仡櫸覀冮_頭的抽簽問題，現(xiàn)在誰能用今天學的方法，畫出樹狀圖，為甲和乙同學‘主持公道’？”學生應用不放回樹狀圖，會發(fā)現(xiàn)無論第幾個抽，在不知道前面結(jié)果的情況下，抽中的概率都是1/3，從而解決認知沖突。最后布置作業(yè)：“必做題是課后練習中關(guān)于列舉法的基礎應用題；選做題是分析一個生活中的概率游戲（如‘石頭剪刀布’的三局兩勝制）是否公平，并用列舉法證明你的觀點。下節(jié)課，我們將探討當列舉變得太繁瑣時，數(shù)學家們又想出了什么新招數(shù)?！绷⒆鳂I(yè)設計1.基礎性作業(yè)（必做）：1.2.課本習題：完成關(guān)于擲骰子、摸球（放回）等基礎情境的概率計算，要求規(guī)范使用列表法或樹狀圖。2.3.整理筆記：用自己的話總結(jié)三種列舉方法的適用情形各一個。4.拓展性作業(yè)（建議大多數(shù)學生完成）：1.5.情境應用題：一家快餐店套餐含主食（漢堡、雞肉卷）和飲料（可樂、果汁），隨機搭配一種主食和一種飲料。請用兩種不同的列舉方法表示所有搭配，并計算恰好是“漢堡配果汁”的概率。思考如果增加一種主食“薯餅”，結(jié)果總數(shù)如何變化？2.6.錯題分析：找出或自編一道因列舉“重漏”而導致概率計算錯誤的題目，分析錯誤原因并給出正確解法。7.探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（學有余力學生選做）：1.8.微型項目：調(diào)查或設計一個簡單的棋牌游戲（或游戲片段）的初始步驟（如撲克發(fā)兩張牌），用樹狀圖分析其中某個特定事件（如拿到一對）的概率，并撰寫一份簡要的分析報告。2.9.跨學科聯(lián)系：查找資料，了解概率論起源中的經(jīng)典問題（如“德·梅勒賭金分配問題”），嘗試用本課所學列舉思想理解其矛盾點。七、本節(jié)知識清單及拓展★1.列舉法的核心思想：將隨機試驗中所有可能發(fā)生的結(jié)果（樣本點）一個不漏、一個不重地列出來，從而將概率計算轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題。關(guān)鍵是確保每個基本結(jié)果等可能?！?.樣本空間：一個隨機試驗所有可能結(jié)果的集合。用列舉法求概率，首要任務是清晰定義并列出樣本空間。符號常記為Ω?！?.直接列舉法：適用于結(jié)果總數(shù)較少且易于直接羅列的情況。要點是有序思考，通常按一定邏輯順序（如字母序、數(shù)字大小、先定后配）進行，避免混亂。★4.列表法：適用于兩個因素（或視為兩步）的隨機試驗，且每個因素的可能結(jié)果有限。制作時，將一個因素的結(jié)果作為行，另一個作為列，在表格交叉處寫出所有組合。優(yōu)點：結(jié)果呈現(xiàn)直觀，便于查找具有某種特征的組合（如和、積為定值）?！?.樹狀圖法：適用于兩步或兩步以上的隨機試驗，尤其當后一步受前一步結(jié)果影響時。樹狀圖能清晰展示事件發(fā)展的層次（步驟）和所有可能的“路徑”（結(jié)果）。畫圖時，從左向右，第一層對應第一步，分支代表第一步的可能結(jié)果；從每個分支末端引出第二步的可能結(jié)果，依此類推?！?.“放回”與“不放回”的模型差異：這是影響樣本空間結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。放回抽樣：每一步試驗條件相同，樣本空間不變，各步驟相互獨立。不放回抽樣：每一步試驗后，可選范圍改變，步驟間相互影響。在樹狀圖中表現(xiàn)為后續(xù)層次的分支數(shù)減少?！?.等可能性的判斷：在使用古典概型公式P(A)=m/n前，必須（顯性或隱性）確認n個基本結(jié)果發(fā)生可能性相等。例如，擲一枚勻質(zhì)硬幣，正反是等可能的；但比較“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)正面或反面”這兩個事件，它們不等可能。▲8.有序結(jié)果與無序事件：有時我們要計算的事件本身是“無序”的（如“抽到一男一女”），但為了確保每個基本結(jié)果等可能，我們的列舉過程往往基于有序操作（如“先抽甲，再抽乙”）。計算時，需將所有符合條件的“有序”基本結(jié)果合并。教學提示：引導學生理解，列表是二維的靜態(tài)展開，樹狀圖是多維的動態(tài)生長。選擇方法時，先判斷試驗的“步數(shù)”和“步驟間關(guān)系”?！?.概率計算的規(guī)范步驟：①判斷是否滿足古典概型（有限、等可能）；②選擇合適方法，列出所有等可能結(jié)果，確定總數(shù)n；③在列舉結(jié)果中找出事件A包含的結(jié)果，確定個數(shù)m；④計算P(A)=m/n；⑤作答。▲10.常見錯誤警示：典型錯誤包括：a)列舉時重復或遺漏；b)未考慮“不放回”導致分支數(shù)錯誤；c)誤判等可能性（如將“點數(shù)之和為2”與“點數(shù)之和為7”視為等可能）；d)在計算無序事件的概率時，分子分母的計數(shù)標準不統(tǒng)一（如分子數(shù)無序組合，分母數(shù)有序排列）。八、教學反思本教學設計以“認知沖突導入分層任務探究變式鞏固內(nèi)化”為主線，力圖將模型結(jié)構(gòu)、學生差異與素養(yǎng)培育融為一體?；仡欘A設，以下幾個方面值得深入剖析：（一）目標達成度與過程有效性評估導入環(huán)節(jié)的“抽簽悖論”成功創(chuàng)設了認知沖突，有效激發(fā)了學生的探究動機。從課堂觀察（假設）看，學生對于“如何說清楚”產(chǎn)生了迫切需求，自然導向了對系統(tǒng)方法的期待。新授環(huán)節(jié)的三個核心任務構(gòu)成了螺旋上升的認知階梯。任務一從學生直覺出發(fā)，通過對比凸顯“有序”這一底層思維，鋪墊扎實。任務二引入列表法，可視化的表格降低了思維負荷，學生普遍能較快掌握。任務三的樹狀圖是難點也是重點，通過對比“放回”與“不放回”的畫法差異，大部分學生能夠理解步驟間的依賴關(guān)系如何影響樣本空間。但在處理“有序抽取對應無序事件”這一抽象點時，部分學生表現(xiàn)出困惑，需要更多實例輔助理解。鞏固訓練的分層設計基本滿足了不同層次學生的需求，挑戰(zhàn)題的設計激發(fā)了部分優(yōu)生的深度思考。（二）差異化關(guān)照的課堂表現(xiàn)與調(diào)適在小組合作繪制樹狀圖環(huán)節(jié)，學情差異顯現(xiàn)?；A薄弱的學生需要依賴教師提供的半完成圖或同伴指導；多數(shù)學生能模仿完成；少數(shù)學生已能提前思考“如果抽三個球怎么辦”。我的應對策略是：巡回指導時，對薄弱組具體示范一個分支的完整畫法，提示“先畫第一步所有可能”；對普通組，提問“為什么從這個分支只能畫出兩條線？”以強化“不放回”概念；對超前組，拋出延伸問題：“如果要求抽出的三個球字母恰好是ABC，樹狀圖會變成什么樣？結(jié)果總數(shù)是多少？”這種動態(tài)的提問調(diào)適，試圖讓每個學生都在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)獲得發(fā)展。但反思下來，為超前組準備的延伸資源可以更豐富，例如提前準備一些卡片，讓他們可以實物操作并驗證自己的樹狀圖。（三）教學策略的得失與理論歸因得：1.“支架”搭建有效：從直接列舉（無格式）到列表（半結(jié)構(gòu)化格式），再到樹狀圖（結(jié)構(gòu)化但需自行構(gòu)建），腳手架逐步撤除，符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，促進了學生自主建構(gòu)能力的生長。2.突出思想方法：始終強調(diào)“有序思考”和“模型選擇”，超越具體技能，觸及數(shù)學思維本質(zhì)，契