2026屆浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.12．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定3．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.4．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.5．把點隨機投入長為，寬為的矩形內，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.6．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.58．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.16C.18 D.209．在拋物線上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為（）A. B.2C.1 D.410．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.511．圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.412．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且，則的最大值為______14．已知，，若，則______15．某工廠的某種型號的機器的使用年限和所支出的維修費用（萬元）有下表的統(tǒng)計資料：23456223.85.56.57.0根據(jù)上表可得回歸直線方程，則=_____.16．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程18．（12分）設點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程19．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數(shù)學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數(shù)學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.20．（12分）已知函數(shù)（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當時，求證：；（3）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍21．（12分）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過點，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，分別為角，，的對邊，且滿足，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C2、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A3、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B4、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題5、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內，所求概率.故選：A.6、A【解析】構造新函數(shù)，以函數(shù)單調性把不等式轉化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調增函數(shù).由可得故選：A7、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關系式，即可求得的值.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C8、B【解析】由題可知這是一個等差數(shù)列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：B9、B【解析】由方程可得拋物線的焦點和準線，進而由拋物線的定義可得，解之可得值【詳解】解：由題意可得拋物線開口向右，焦點坐標，，準線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標為4的點到準線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.10、C【解析】作出不等式組對應的可行域，再利用數(shù)形結合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應的可行域為如圖所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當直線平移到點時，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線方程得得.所以.故選：C11、D【解析】公切線條數(shù)與圓與圓的位置關系是相關的，所以第一步需要判斷圓與圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3；圓的圓心坐標為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.12、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為，半焦距為c，設，，，因為，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡為，即，②在雙曲線中，，①化簡為，即，③聯(lián)立②③得，，即，記，，，則，當且僅當，即，時取等號故答案為：.14、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：15、08##【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出，將點代入回歸直線求出即可.【詳解】由表格可得，，由于回歸直線過點，故，解得，故答案為：0.08.16、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進一步將方程化為標準方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當時，方程可變?yōu)椋海藭r雙曲線焦距為，當時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直線的傾斜角，由此求得直線的傾斜角和斜率，進而求得直線的方程；（2）設出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離列方程，由此求解出直線的方程【詳解】解（1）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角為，斜率為，又直線過點，∴直線的方程為，即；（2）設直線的方程為，則點到直線的距離，解得或∴直線的方程為或18、（1）（2）【解析】（1）先求導數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問1詳解】設，因為，所以，所以k的取值范圍為【小問2詳解】由（1）知，此時，即，所以此時曲線在點P處的切線方程為19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數(shù)的值；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，求得，即可證得結論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構造函數(shù)，分析函數(shù)的單調性，求得的取值范圍，再構造，分析函數(shù)的單調性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當時，，該函數(shù)的定義域為，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以，，所以，當時，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域為，.令，其中，則，所以，函數(shù)單調遞減，因為函數(shù)有兩個零點，等價于函數(shù)在上存在唯一的極值點，且為極大值點，且，即，所以，，令，其中，則，故函數(shù)在上單調遞增，又因為，由，可得，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調遞增，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).21、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；（2）由已知可得，，此時焦點在軸上，或，，此時焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；【小問1詳解】解：橢圓經(jīng)過點，，，，，且焦點在軸上，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點，當點在長軸上時，，，此時焦點在軸上