專題06平面向量5大最值題型通關(guān)指南內(nèi)容導(dǎo)航熱點聚焦方法精講能力突破熱點聚焦·析考情鎖定熱點，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點題型的解題策略與實戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時練實戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點經(jīng)典題目，限時訓(xùn)練，實現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命題熱點，常以選擇題填空題為主，常考查內(nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點是平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算，也會考察平面向量的最值問題．預(yù)測2026年：平面內(nèi)容可能會考一道最值中檔試題，考察平面向量的建系法求最值，以及極化恒等式的應(yīng)用，同時要注意解答題中向量的幾何翻譯。熱點題型：題型01平面向量中建系法求最值范圍題型02平面向量中的三角換元求最值題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點到線的距離最短求向量最值問題題型04平面向量中極化恒等式求最值范圍問題題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合題型01平面向量中建系法求最值范圍解｜題｜策｜略①在求平面向量最值范圍問題中，看到特殊角，特殊圖行，要想到可以通過建立坐標(biāo)系來解決【精選例題】【例1】已知直角梯形中，，，且，，點是梯形內(nèi)（含邊界）任意一點，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算，表示出，再求取值范圍即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，可得，因為，所以，所以，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值，即.故選：A.【例2】已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A． B． C．-1 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，故選：A【例3】在直角梯形中，已知，，，點是邊靠近點的三等分點，點是邊上一個動點．則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，以點為原點，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，且，，從而得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，以點為原點，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，有，，，，設(shè)，則，且，，，因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．

故選：D．【例4】已知點在邊長為2的正八邊形的邊上，點在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】以為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點的坐標(biāo)，計算即可.【詳解】以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，由于正八邊形的每個外角都為；則，所以.故選：C【例5】已知是邊長為的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一動點，則的最小值為.【答案】【詳解】以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故答案為：.【例6】在邊長為1的正方形中，，為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【分析】依題建系，，分別求出的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式化簡計算得到，結(jié)合，即可求得其最小值.【詳解】如圖，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.依題意，，設(shè)，則，，由，因，則當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.【變式訓(xùn)練】1．(25-26高三上·北京房山區(qū)·)已知在等腰梯形中，，是腰上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及模長公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,則,，所以，故，故，由于，故，故，故選：C

2．(24-25高三下·湖南長沙部分學(xué)校聯(lián)考·)已知正方形的邊長為4，點滿足，則的最大值為（

）A． B．0 C．12 D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，因為，，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值.故選:D.3．(25-26高三上·北京匯文中學(xué)·期中)如圖是由六個邊長為1的正六邊形組成的蜂巢圖形，其中正六邊形的頂點稱為“晶格點”，若四個不同的點均為“晶格點”，兩點的位置如圖所示，則的最大值為，的最大值為.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點，得出相關(guān)的向量，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和圖形分析得出第一空；根據(jù)圖形的對稱性結(jié)合已知條件分析即可得出的最大值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由且在豎直方向，可得，則，設(shè)，那么，則，要使最大，需要最大，結(jié)合圖形，的最大值可達(dá)到5（例如當(dāng)處于圖中點時），此時，即的最大值為25，雖然兩點異于兩點，但因為圖中蜂巢的對稱性，兩點距離最遠(yuǎn)的問題仍可以等價為蜂巢中任意兩點間距離最遠(yuǎn)的問題，為使得兩點相距最遠(yuǎn)，兩點之間應(yīng)靠近邊界，根據(jù)對稱性，可假設(shè)點位于原點A，此時根據(jù)對稱性只需要考慮點位于軸左邊即可，所以，由圖觀察可見，離點最遠(yuǎn)的頂點應(yīng)是六邊形的頂點，而對于正六邊形，其中為中點，，，在正六邊形中，外邊界四點離點相對較遠(yuǎn)，對應(yīng)坐標(biāo)為，即，即，即，即，可知，所以外邊界四點中，只需要考慮兩點，因，故應(yīng)取更大的，故答案為：25，.4．(24-25高一下·陜西西安遠(yuǎn)東第二中學(xué)·月考)直角梯形中，，，，點，為的中點，在邊上運動(包含端點)，則的取值范圍為.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，點，為的中點，，，，，，在邊上運動(包含端點)，設(shè)，，，，，，的取值范圍為.故答案為：.5．(24-25高一下·吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·月考)已知的外接圓為單位圓，且圓心為，，，點是線段上一動點，則的最小值是.【答案】/【分析】根據(jù)題意分析可知：O為的中點，，，建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.【詳解】因為，可知O為的中點，又因為O為的外接圓圓心，則，且，，則，則，可知為等邊三角形，即，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，則，可知當(dāng)時，取到最小值.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)中線性質(zhì)分析可知O為的中點，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，.6．(24-25高三上·河北邢臺質(zhì)檢聯(lián)盟·期中)已知四邊形是邊長為4的正方形，點滿足，為平面內(nèi)一點，則的最小值為．【答案】/【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，是中點，則,由可得,故，所以，故當(dāng)時，取到最小值，故答案為：題型02平面向量中的三角換元求最值解｜題｜策｜略題目中涉及圓上一動點，要想到三角換元，【精選例題】【例1】已知中，，，P是所在平面內(nèi)的任意一點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，設(shè)出點P坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合三角恒等變換即可求解．【詳解】在中，由，可得，根據(jù)，得，，以A為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，則，設(shè)為平面內(nèi)滿足的點，則有，，則，由于P在單位圓上，可設(shè)，，則，故的取值范圍為故選:A【例2】已知的內(nèi)切圓圓心為，半徑，且滿足是內(nèi)切圓上一動點，則取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】是重心，也是內(nèi)心，是等邊三角形，建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)，求出，利用三角函數(shù)有界性求出的取值范圍.【詳解】由，易知是重心，又已知的內(nèi)切圓圓心為，所以也是內(nèi)心，由三線合一可知是等邊三角形.如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線為y軸，平行于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以取值范圍是故選：B【例3】在中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個動點，線段過點，則可用，表示為；的最小值為．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件有，設(shè)，利用向量相等，即可求解；利用數(shù)量積的運算，得，令，從而得，即可求解.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因為為的中點，所以，設(shè)，則，又，設(shè)，則，整理得到，又是圓上的動點，所以，再代入，可得，所以.因為，又是以為圓心，為半徑的圓上的兩個動點，則，所以，令，則，所以，所以，

故答案為：；.【例4】已知A，B，C為單位圓上任意不同的三點，則的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，，，結(jié)合數(shù)量積公式與三角恒等變換公式計算可得的最小值，再利用數(shù)形結(jié)合可得其范圍.【詳解】不妨設(shè)，，，則，令，則，則，取，時，等號成立，當(dāng)為直徑時，點趨向于時，，故的取值范圍為.故答案為：.【例5】如圖，給定兩個長度為1的平面向量和，其夾角為，點在以為圓心的圓弧上變動，若，則的最大值是．【答案】2【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知條件得出點坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，根據(jù)構(gòu)建方程組得出與的關(guān)系，進(jìn)而得出的三角函數(shù)表示，最后利用三角函數(shù)性質(zhì)求出的最大值．【詳解】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下：由已知條件可知，，，設(shè)，，則，，，，，，，，故答案為：2．【例6】已知在中，，，是線段上的動點，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】依題意作圖并建立坐標(biāo)系，如圖，可設(shè)，利用數(shù)量積和模的坐標(biāo)運算得，利用余弦函數(shù)值域求解.【詳解】依題意作圖并建立坐標(biāo)系，如圖，，可設(shè)，則，，則，由，得，，，又因為，所以，故.故答案為：【變式訓(xùn)練】1．在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點（是中點），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因為在矩形中，，，，，所以動點在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A.2．(24-25高一下·福建廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)·)已知扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】將，兩邊同時平方得，再利用三角代換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】依題意，，，，由兩邊同時平方，得，即，令，則，因此，其中銳角由確定，而，則，，所以的取值范圍是.故答案為：3．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是【答案】/【分析】由題意可設(shè)，由向量線性運算、模的坐標(biāo)公式結(jié)合輔助角公式即可得解.【詳解】動點的軌跡為以為圓心的單位圓，則設(shè)為，則.等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，且規(guī)定是銳角，.故答案為：.4．如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為；若是圓上的動點，則的取值范圍是.

【答案】1【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可求解空1，利用向量的坐標(biāo)運算即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】取中點為，由于正六邊形的邊長為2，所以,因此到線段的距離為,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,，，由于,故，故答案為：1；

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高級中學(xué)·期中)已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，，是平面內(nèi)三個不同的單位向量，且滿足，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求出分段函數(shù)解析式，再根據(jù)不等式，求出向量數(shù)量積的范圍，進(jìn)而求出向量夾角的范圍，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，求出向量模長的最小值.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則，得，當(dāng)時，，則，得，即，所以，設(shè)夾角為，，則，設(shè)夾角為，，則，當(dāng)時，可得，解得，，解得（舍去），所以，即，當(dāng)，可得，解得（舍去），，解得，所以，即，設(shè)，則，則，當(dāng)取最小值，且與反向時，取得最小值；可知，因為，所以當(dāng)時，，根據(jù)四邊形法則，可知與夾角為，當(dāng)時，為最小值.故答案為：.6．(24-25高一下·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)·)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段BC（含端點）上運動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，（λ，μ為實數(shù)）則的取值范圍為．

【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系后結(jié)合向量性質(zhì)可表示出，再利用三角函數(shù)的有界性計算即可得.【詳解】以A為原點建立直角坐標(biāo)系，方向為x軸正半軸，方向為y軸正半軸，

則，，，則，，設(shè)（），則圓方程為，設(shè)，則，，可得，，所以，其中，當(dāng)，，取得最大值，當(dāng)，，取得最小值，所以的取值范圍為．故答案為：.7．(25-26高三上·湖南永州道縣敦頤高級中學(xué)·開學(xué)考)如圖，在等腰梯形中，，，，，點是線段上一點，且滿足，動點在以為圓心的半徑為的圓上運動，則的最大值為.【答案】【分析】由題意建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)等腰梯形求邊長，高，表示出點的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及三角函數(shù)性質(zhì)，可得答案.【詳解】如圖，以為原點，建立直角坐標(biāo)系.由題意，梯形的高長為，則.因為以為圓心的半徑為的圓的方程為：，可設(shè)點，.則其中，，故當(dāng)時，.故答案為：題型03平面向量中轉(zhuǎn)化為點到線的距離最短求向量最值問題解｜題｜策｜略題目中出現(xiàn)的最小值問題，要想到它的含義就是點到直線的距離【精選例題】【例1】設(shè)為兩個非零向量的夾角，且，已知對任意實數(shù)的最小值為2，則.【答案】4【分析】利用向量的加法可得和向量的模為點到直線上任意點的兩點間距離，從而可得最小值為；也可用平方法，利用數(shù)量積來計算和向量的模，再結(jié)合二次函數(shù)求最小值即可.【詳解】方法一：如圖，當(dāng)變化時，起點為，終點在上運動，故的最小值為，由圖可得：；方法二：由題意可知，，令，因為，所以恒大于零，所以當(dāng)時，取得最小值2，所以，化簡得，所以.故答案為：.【例2】已知中，，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】看到形如結(jié)構(gòu)，要想到系數(shù)和為1，三點共線，因此要想辦法讓的系數(shù)和為1，我們可以提出，因此我們可以設(shè)，故，若，由，則，，共線，故，由圖得，當(dāng)時有最小值，又，∴，即，即為等邊三角形．由余弦定理，，設(shè)M為BC中點，，∴當(dāng)取最小值時，有最小值，∵為邊上任意一點，∴當(dāng)時，有最小值，設(shè)，過點作于點，則，又，為的中位線，∴，即，∴．故選：B.【例3】在中，，若對任意的實數(shù)恒成立，則邊的最小長度是（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，如圖所示，因為對任意的實數(shù)，都有恒成立，由恒成立，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：C．【例4】已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，，，則，則，因為，其中t+(1-t)=1，于是與共起點，且終點共線，即在直線AB上，于是時（即）最小，最小值為1，無最大值.故選：C.【例5】已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，，，，則，且，要求的最小值即求的最小值.作出關(guān)于的對稱點，再作出關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)與射線交于，連接，與射線交于，則，且，設(shè)，則，而，故，所以.則，當(dāng)且僅當(dāng)重合，重合時等號成立，故答案為：.【變式訓(xùn)練】1．已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【詳解】如圖:令，，則，故.因為，所以，記的中點為，所以點在以為直徑的圓上.設(shè)，連接，因為，所以點在直線上.因為，所以，即，所以.結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，即取得最大值，且.故選：D2.已知中，，，，，，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由，結(jié)合向量加法法則知：到的距離為2，又，則，所以，故為等腰直角三角形，由，則，所以共線，又，則，若為的兩個四等分點，為中點，如下圖示，所以在線段上運動，且，，，由圖：若，則，又，此時，故上述情況，易知，由圖知：與重合時，，綜上，的取值范圍為.故選：D3.在中，，，，對任意，有恒成立，點P是直線BA上，則的最小值是．

【答案】【詳解】因為，所以，由減法與數(shù)乘的幾何意義，為點到的垂線段，所以，因為，，所以，，所以，在中，由余弦定理易得，，設(shè)關(guān)于直線對稱點為，連接，連接交于，易得，此時最小，，，即的最小值為.故答案為:.4．已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)，可得四點共圓，即可共線得，結(jié)合圖形即可求解最值.【詳解】令，，，為單位向量．，則，由于與的夾角為，所以，，故不妨取，，四點共圓情況，,外接圓的直徑為，在優(yōu)弧上，，表示起點為，終點在直線上的向量，由于，到的距離為，設(shè)到的最大距離為由于為的最小值，則當(dāng)時最小，故的最大值為，此時過圓心且故答案為：．題型04平面向量中的極化恒等式求最值范圍ABABCM極化恒等式三角形模式在三角形中（M為的中點），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用極化恒等式的條件在處理的問題時，只有當(dāng)或（是的中點）已知（或有一定的約束條件）時，我們才考慮極化恒等式，否則需要使用常規(guī)方法來解答【精選例題】【例1】銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點在圓上，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】B【分析】取的中點，連接，由向量的加法和數(shù)量積結(jié)合圖形運算即可；【詳解】取的中點，連接（圖略），則．因為正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，所以，所以．故選：B.【例2】在直角梯形中，，，，點為梯形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.【詳解】如圖中，O為AB中點，（極化恒等式）共起點的數(shù)量積問題可以使用.如圖，取中點，則由極化恒等式知，，要求取值范圍，只需要求最大，最小即可.由圖，可知最大時，P在D點，即，此時，最小時，P在O點，即，此時.綜上所得，取值范圍為:.故選：D.【例3】如圖所示，正六邊形的中心與圓的圓心重合，正六邊形的邊長為4，圓的半徑為1，是圓的一條動直徑，為正六邊形邊上的動點，則的可能取值為（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)圓心為，取的中點，連接，，，，

根據(jù)題意可知，是邊長為的正三角形，易得，，根據(jù)圖形可知，當(dāng)點位于正六邊形各點的中點時，有最小值，此時，當(dāng)點位于正六邊形的頂點時，有最大值，此時綜上，.故選：BCD【例4】在中，，，，P，Q是平面上的動點，，M是邊BC上的一點，則的最小值為．【答案】2【分析】根據(jù)向量運算可得，結(jié)合圖形分析的最小值即可得結(jié)果.【詳解】取PQ的中點N，則，可得，∵，當(dāng)且僅當(dāng)N在線段AM上時，等號成立，故，顯然當(dāng)時，取到最小值，∴，故.故答案為：2.【例5】如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點，則的最小值為.【答案】6【分析】易知正方形與正方形的中心為，然后將涉及到的向量用或來表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當(dāng)為的中點時，，所以故答案為：6；．【變式訓(xùn)練】1．已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】A【分析】將中向量進(jìn)行分解，即：，由是的中點，可將上式進(jìn)行化簡整理為，所以只需求最大，即的長加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.【詳解】因為弦所對的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，取的中點，所以，，如圖所示：因為,因為是的中點，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故選：A2．邢臺一中數(shù)學(xué)探索館中“圓與非圓—搬運”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的一點，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算可得，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義分析求解.【詳解】因為為弧上的一點，則，且，可知，由圖形可知：當(dāng)點與點重合時，向量在方向上的投影取到最小值，此時，所以的最小值為.故選：C.3．四邊形中，M是上的點，，,若N是線段上的動點，的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,可得，計算出的表達(dá)式,最后根據(jù)的大小，可以求出的取值范圍【詳解】M是上的點且C、D兩點在以為直徑的圓上，且圓心為M，是等腰直角三角形，所以，又，所以，在等腰直角中,點M到線段MN上的一點N的距離最大值為1,取最小值時,N為的中點,此時，，所以.故答案為：4．(23-24高一下·河南河南名校聯(lián)考·月考)如圖，在面積為的中，M，N分別為，的中點，點P在上，若，則的最小值是．

【答案】3【分析】取邊上的中點Q，設(shè)P到的距離為h，由已知可得，利用向量運算可得，結(jié)合和基本不等式求解.【詳解】取邊上的中點Q，設(shè)P到的距離為h，由，所以，，.（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）．則的最小值為3．故答案為：3.

5．已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點，則的最小值為.【答案】【分析】若是外接圓圓心，是中點，連接，根據(jù)，數(shù)形結(jié)合有、即可求最小值.【詳解】若是外接圓圓心，是中點，連接，如下圖，

所以，則，故，而，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線且重合為正六邊形一邊的中點時等號成立，所以.故答案為：6．已知正的邊長為2，點為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意知的軌跡為以C為圓心半徑為1的圓，將向量，用，，表示，根據(jù)的范圍，求出的范圍.【詳解】由已知，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．取線段的中點，

則，又因為，，所以，則．故答案為：.題型05極化恒等式與其他知識相結(jié)合【精選例題】【例1】已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線，直線過定點，并可得出，得出的軌跡方程為，根據(jù)兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值．【詳解】依題意得，半徑，設(shè)點坐標(biāo)，易知直線，恒過點，直線恒過，且，則，即，點軌跡為，圓心為，半徑為，但是去掉點，若點為弦的中點，位置關(guān)系如圖：，連接,由易知，，，故B正確．故選：B．【例2】已知在中，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任意一點，都有，則是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定【答案】A【分析】取的中點，的中點，連接，，根據(jù)向量的線性運算計算向量并計算，同理計算，根據(jù)不等關(guān)系可得出對于邊上任意一點都有，從而確定，從而得到結(jié)果.【詳解】取的中點，的中點，連接，（如圖所示），

則，同理，因為，所以，即，所以對于邊上任意一點都有，因此，又，為中點，為中點，所以，所以，即，所以，即為鈍角三角形.故選：A．【例3】已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點M滿足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量的數(shù)量積運算計算可得，即可得的軌跡，即可根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可．【詳解】取的中點,,則，所以．所以在以為球心，為半徑的球面上，如圖可知在上的投影數(shù)量最小值為，所以的最小值為，所以的最小值為．故選：B．【例4】已知P為橢圓上任意一點，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得圓心恰好是橢圓的右焦點，將化簡得，由橢圓的性質(zhì)可知，從而可求出的取值范圍【詳解】由，得，則，圓的圓心恰好是橢圓的右焦點，圓的半徑為2，因為，因為P為橢圓上任意一點，為橢圓的右焦點，所以，即，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：C【例5】已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點是其表面上的動點，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)條件，得出棱柱的內(nèi)切球的半徑為，利用數(shù)量積的運算得，再求出范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】因為正三棱柱的底邊長為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個切點且切點為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面的兩個切點，設(shè)為，則，又點是正三棱柱表面上的動點，當(dāng)與（或）重合時，的值最小，此時，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點時，的值最大，連接，并延長交于，則，此時，得到，則的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段和長度問題.【例6】已知球是棱長為3的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體的棱上的動點，則的取值范圍為．【答案】【分析】做出圖形，計算出正四面體的內(nèi)切球的半徑，由此可求得，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)得出，進(jìn)而可知當(dāng)為該正四面體的頂點時取得最大值，即可求解.【詳解】如下圖所示：正四面體的棱長為3，設(shè)其內(nèi)切球的球心為，連接并延長交底面于點，易知點為的中心，且平面；連接并延長交于點，則點為的中點；且；則，；因為平面，平面，所以；可得，易知的面積為；正四面體體積為；設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則；即，解得；可知，易知，又是球的一條直徑，所以；因此；易知當(dāng)為該正四面體的頂點時，此時，取得最大值；當(dāng)為該正四面體棱的中點時，此時，取得最小值；因此的取值范圍為.故答案為：【點睛】思路點睛：利用幾何關(guān)系推導(dǎo)出內(nèi)切球的半徑：首先通過幾何關(guān)系計算出正四面體的體積和內(nèi)切球的半徑，這是確定幾何量的基礎(chǔ)；結(jié)合空間向量的數(shù)量積分析動點的取值：通過分析動點和空間向量的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，判斷動點在不同位置時的取值，確定取值范圍.【變式訓(xùn)練】1．已知為平行四邊形的邊的中點，以B，E為焦點的橢圓過點A，D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運算以及數(shù)量積運算律可得，連接并利用橢圓的定義求，再由余弦定理求，易知，建立方程求間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓的離心率【詳解】如下圖所示：

因為為平行四邊形的邊的中點，所以，所以，所以．連接，由橢圓的定義可知，；設(shè)，則，故，在中，．在中，．在平行四邊形中，，所以，所以，則，整理得，所以橢圓的離心率為，故選：D．【點睛】方法點睛：處理本題中向量數(shù)量積問題時還可以利用平面向量中的極化恒等式：或．其幾何意義為向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”的平方差的．2．(24-25高二上·吉林長春吉大附中實驗學(xué)校·月考)已知點為橢圓上任意一點，直線過的圓心且與交于兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓心為的中點，利用向量運算將用來表示，轉(zhuǎn)化為橢圓上一點到焦點的距離范圍求解即可.【詳解】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點，則，可得.點為橢圓上任意一點，則，，由，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵于利用中點性質(zhì)，將多動點有關(guān)的數(shù)量積，通過向量的線性運算與數(shù)量積運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為動點與定點圓心連線的長度來表示，進(jìn)而可借助橢圓上任意一點到焦點距離的范圍使問題得解.3．點為拋物線上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得.由圓的方程可知，圓心恰好為拋物線的焦點.根據(jù)向量數(shù)量積定義，將轉(zhuǎn)化為，由拋物線性質(zhì)可得，進(jìn)而得的取值范圍.【詳解】由，可得，，圓，圓心為，則圓心為拋物線的焦點.由題意，得因為所以，又因為，，故選:C.【點睛】本題考查了拋物線性質(zhì)的簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及應(yīng)用，屬于中檔題.4．(24-25高二上·江西八校協(xié)作體·)在正三棱錐中，，點為空間中的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記的重心為，點是的中點，點是的中點，進(jìn)而求得，利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，將化為，數(shù)形結(jié)合求最小值.【詳解】記的重心為，點是的中點，點是的中點，

在正三棱錐中，所以，平面，又平面，所以，則.又，所以，所以當(dāng)與重合時，取最小值0，此時有最小值.故選：C5．已知點為橢圓上任意一點，直線過：的圓心且與交于兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運算可得，再由橢圓可知，即可得結(jié)果.【詳解】因為，圓心，半徑為1，則，可得，由橢圓方程可知：，即恰為橢圓的右焦點，則，所以.故選：A.6．(25-26高二上·浙江臺州山海協(xié)作體·期中)已知點為橢圓上任意一點，直線過的圓心且與交于，兩點，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意得，再由的范圍，可得的取值范圍．【詳解】由橢圓的方程可得，，可得，易知圓的圓心，半徑為1，

因為，所以，可知恰為橢圓的右焦點，所以，所以．故答案為：．7．(24-25高二上·遼寧大連濱城高中聯(lián)盟·月考)已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點是其表面上的動點，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)條件得出棱柱的內(nèi)切球的半徑為，利用數(shù)量積的運算得，再求出范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】正三棱柱的高為，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，設(shè)棱柱內(nèi)切球與上下底面的兩個切點為，且切點為上下底面的中心，設(shè)棱柱內(nèi)切球的球心為，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則，則，又點是正三棱柱表面上的動點，當(dāng)為內(nèi)切球與正三棱柱的各面的切點時，的值最小，此時，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點時，的值最大，連接，并延長交于，因為正三棱柱的底邊長為，則，此時，得到，則的取值范圍是.故答案為：.8．(25-26·難點2直線與圓中的最值問題處理策略（練）·期中)已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為.【答案】/【分析】首先求直線和所過的定點，再根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，求點的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合，利用極化恒等式轉(zhuǎn)化數(shù)量積，并求最小值.【詳解】由知：圓心，半徑；由得，所以恒過定點；由得，所以恒過定點；由直線方程可知：，所以，所以，即，設(shè)，則，，所以，整理得，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線斜率存在，則無法表示直線，而無法表示直線，所以點軌跡不包含；記點為弦的中點，則，位置關(guān)系如圖：

連接，由知：，則，所以（當(dāng)在處取等號），即的最小值為.故答案為：9．(25-26高二上·上海七寶中學(xué)浦江分?！て谥?體積為的正四面體內(nèi)有一個球，球與該正四面體的各面均有且只有一個公共點，，是球的表面上的兩動點，點在該正四面體的表面上運動，當(dāng)最大時，的最大值是．【答案】【分析】記該正四面體為，由題意得出球是該正四面體的內(nèi)切球，球心也是外接球的球心，在高上，由體積求得正四面體的棱長，并求出內(nèi)切球半徑，最大時，是球的直徑，由數(shù)量積的運算得出取最大值時，只要最大即可得．【詳解】記該正四面體為，如圖，由題意球是該正四面體的內(nèi)切球，

顯然在其高上，是底面正的中心，設(shè)，則，，，得到，因為是正四面體，則是內(nèi)切球球心也是其外接球球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即，又，由，得，解得，當(dāng)最大時，是球的直徑，，因為點在正四面體的表面上運動，當(dāng)是正四面體的頂點時，取得最大值，最大值為，所以的最大值是．故答案為：．10．若為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用向量運算將轉(zhuǎn)化為，通過求的取值范圍來求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為2.因為.又因為橢圓的，為橢圓的右焦點，設(shè)，，，，所以，，∴．故答案為：.（建議用時：60分鐘）一、單選題1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高級中學(xué)·)在菱形中，分別是邊的中點，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將用表示，利用平面向量的數(shù)量積求出，計算即可得解.【詳解】由題意，得，在菱形中，，所以，所以．故選:D.2．(25-26高二上·廣東廣州天天向上聯(lián)盟·期中)已知，是圓：上的兩點，且，點為坐標(biāo)原點，則最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】設(shè)為的中點，由取得的最小值即可求解.【詳解】已知、是圓：上的兩點，且，點為坐標(biāo)原點，由于，即為，故圓的圓心為，半徑為2，設(shè)為的中點，則，結(jié)合，得到，即點在以為圓心，半徑為的圓上，又，則，而，的最小值為，則的最小值為.故選：D3．(25-26高三上·江蘇宿遷中學(xué)·期中)已知是圓上的動點，是圓上的動點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，由弦長公式求得圓心到AB的距離，設(shè)AB中點為D，取BD中點為E，求出的長度，得到E點的軌跡為圓，從而由化簡得，轉(zhuǎn)化成兩圓上的點間的距離問題即可求解．【詳解】設(shè)AB中點為D，取BD中點為E，則由得，，所以，即E點的軌跡方程為．．由于P點在圓上，又，所以，即，所以故選：D4．(25-26高二上·浙江寧波三鋒聯(lián)盟·期中)已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線所過定點和知，由此得軌跡是以為圓心，為半徑的圓（不含點），由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求得最小值.【詳解】由知：圓心，半徑；由得，所以恒過定點；由得，所以恒過定點；由直線方程可知：，所以，所以，即，設(shè)，則，，所以，整理得，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線斜率存在，則無法表示直線，而無法表示直線，所以點軌跡不包含；記點為弦的中點，則，位置關(guān)系如圖：連接，由知：，則，所以（當(dāng)在處取等號），即的最小值為.故選：A.5．(25-26高二上·北京延慶區(qū)·期中)已知是邊長為的等邊三角形，為平面內(nèi)的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點，以邊中點為原點，建立直角坐標(biāo)系，利用等邊三角形的性質(zhì)得出相應(yīng)點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，再運用向量坐標(biāo)運算計算，求最小值．【詳解】設(shè)點，以邊中點為原點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，是邊長為的等邊三角形，，，，，，當(dāng)時，即點為中點時，取最小值，最小值為．故選：A6．(25-26高二上·浙江六校聯(lián)盟·)已知直線：與圓：交于，兩點，點在圓上，且，若，則（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】設(shè)弦的中點為，根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合垂徑定理整理可得，代入運算求解即可.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：過定點，則，可知點在圓內(nèi)，可知直線與圓必相交，設(shè)弦的中點為，則，因為，可得，

則，又因為，可得，可得，即，所以.故選：C.7．(24-25高一下·河南實驗中學(xué)·月考)已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量中三點共線的判定方法和平面向量的模長得幾何意義，得出模長最小時即為三角形的高，根據(jù)條件解三角形，再建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出向量數(shù)量積的最小值.【詳解】設(shè)，化簡得，即三點共線，由的最小值為可知，的高為，如圖所示，因為，所以為等腰三角形，在直角中，代入得，解得，在中，，所以是以的等腰直角三角形，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，且，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故選：D.8．(24-25高一下·重慶女子職業(yè)高級中學(xué)·月考)已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得，設(shè),，結(jié)合平面向量線性運算以及余弦定理可求得當(dāng)、、三點共線時取得最小值．【詳解】由已知，設(shè),，則，作關(guān)于直線的對稱點，連接、、、，則，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時等號成立，所以的最小值為．故選：C．9．(24-25高一下·浙江91聯(lián)盟·期中)已知與是平面內(nèi)兩個非零向量，，，，點P是平分線上的動點.當(dāng)取最小值時，的值為（

）.A．. B．. C．. D．.【答案】B【分析】用的方向向量坐標(biāo)表示出的最小值，從而求出.【詳解】設(shè)點在原點.向量，因為且沿軸，向量，且，角平分線的方向向量是和的單位向量的和：，，所以角平分線方向向量為，，所以方向的單位向量為：，設(shè)，則，??.，，，，這是一個關(guān)于的二次函數(shù).當(dāng)，最小.此時.故選：B.10．(24-25高一下·江蘇鹽城五校聯(lián)盟·)在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點是線段上的動點，設(shè)，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系求出，再由向量夾角的坐標(biāo)表示以及輔助角公式可求得當(dāng)時，所求表達(dá)式取得最大值.【詳解】如下圖所示：易知，所以；同理可得，即可得；因為點是線段上，可得；顯然，所以；因此可得，其中；因此可得當(dāng)，即等號成立；由可得，此時存在滿足，所以的最大值為.故選：A二、多選題11．(25-26高二上·廣東中山三鑫學(xué)?！ぴ驴?設(shè)動直線交圓于兩點(點為圓心)，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點 B．當(dāng)取得最小值時，C．當(dāng)最小時，其余弦值為 D．的最大值為【答案】ABD【分析】求出直線所過定點判斷A；利用圓的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理求解判斷BC；利用數(shù)量積的定義計算判斷D.【詳解】對于A，由，，則直線過定點，A正確；對于B，點在圓內(nèi)，圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，因此，解得，B正確；對于C，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時，最小，而，則由余弦定理得，C錯誤；對于D，，同向時取等號，D正確.故選：ABD12．在中，，點為以為圓心的單位圓上的動點，設(shè)的重心為，外心為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．當(dāng)為直角三角形時，D．的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，由的重心為，得到，結(jié)合選項，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項計算，即可求解.【詳解】在中，，且點為以為圓心的單位圓上的動點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，對于A，因為的重心為，可得，則，又由，所以，所以A正確；對于B，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以B正確；對于C，若為直角三角形，則，即，因為，所以，所以，平方可得，則，又由，所以，所以，所以C不正確；對于D，由，可得的中點，則，因為點為的外心，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以D正確.故選：ABD.13．給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的劣弧上運動，若，則的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】ABC【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示出，把表示為，利用輔助角公式、三角函數(shù)求最值.【詳解】如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得：.由可得：，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為，結(jié)合選項可知，A，B，C中的數(shù)值符合，故選：ABC14．(25-26高二上·浙江七彩陽光新高考研究聯(lián)盟·期中)已知是坐標(biāo)原點，直線：與直線：相交于點，點，均是圓：上的動點，且，是的中點，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．的最大值為D．的最大值為【答案】ACD【分析】由的方程得到它們分別經(jīng)過的定點，且兩直線垂直，進(jìn)而得到點的軌跡，判斷A選項；由即圓的半徑可知，