專(zhuān)題06圓錐曲線內(nèi)容概覽01命題探源·考向解密（分析近3年高考考向與命題特征）02根基夯實(shí)·知識(shí)整合（核心知識(shí)必備、常用結(jié)論與技巧等）03高頻考點(diǎn)·妙法指津（4大命題點(diǎn)+6道高考預(yù)測(cè)題，高考必考·（20-25）分）考點(diǎn)一圓錐曲線基本性質(zhì)命題點(diǎn)1雙曲線基本性質(zhì)命題點(diǎn)2拋物線基本性質(zhì)高考預(yù)測(cè)題3道考點(diǎn)二圓錐曲線綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1軌跡方程命題點(diǎn)2存在性/定點(diǎn)/定值/定直線/最值問(wèn)題高考預(yù)測(cè)題3道04好題速遞·分層闖關(guān)（精選15道最新名校模擬試題+10道高考闖關(guān)題）考點(diǎn)考向命題特征圓錐曲線基本性質(zhì)（3年3考）1.范圍：

2.對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于

軸對(duì)稱(chēng)3.頂點(diǎn)：原點(diǎn)

；焦點(diǎn)

，準(zhǔn)線

4.離心率：

5.定義性質(zhì)：拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離=到準(zhǔn)線距離1.

分層設(shè)題，梯度清晰選擇/填空題：前半部分考查基礎(chǔ)性質(zhì)（離心率、漸近線），難度低；后半部分考查定義應(yīng)用或小綜合（如橢圓與圓的交匯），難度中等。2.

側(cè)重代數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性核心方法是“設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋達(dá)定理→代換化簡(jiǎn)”，對(duì)計(jì)算能力要求高，需避免計(jì)算失誤。含參問(wèn)題需分類(lèi)討論，如直線斜率存在與否、參數(shù)取值范圍對(duì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響。3.

注重定義與幾何性質(zhì)的靈活應(yīng)用部分題目用定義解題更簡(jiǎn)便（如拋物線的焦半徑、橢圓的焦點(diǎn)三角形），可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，避免復(fù)雜聯(lián)立。圓錐曲線綜合問(wèn)題（3年3考）1.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2.

定點(diǎn)、定值問(wèn)題3.

最值與范圍問(wèn)題4.

向量與圓錐曲線的交匯5.

軌跡方程求解1.

梯度分明，層層遞進(jìn)解答題分2-3問(wèn)，第一問(wèn)多為求曲線方程或直線方程，考查基礎(chǔ)性質(zhì)，屬于送分題；第二、三問(wèn)考查定點(diǎn)定值、最值范圍，需綜合運(yùn)用韋達(dá)定理、代數(shù)變形，區(qū)分度強(qiáng)。2.

重運(yùn)算，輕技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法命題不依賴特殊技巧，核心方法是“設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋達(dá)定理→代換化簡(jiǎn)”，對(duì)計(jì)算的準(zhǔn)確性和耐心要求高，避免因計(jì)算失誤丟分。3.

注重幾何性質(zhì)與代數(shù)方法的結(jié)合部分題目用幾何定義（如拋物線的焦半徑、橢圓的焦點(diǎn)三角形性質(zhì)）可簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少聯(lián)立方程的復(fù)雜度，體現(xiàn)“幾何優(yōu)先”的解題思路。4.

考法穩(wěn)定，創(chuàng)新點(diǎn)集中在條件呈現(xiàn)天津高考圓錐曲線綜合題命題套路固定，創(chuàng)新多體現(xiàn)在條件的包裝（如結(jié)合新定義、幾何圖形），但解題的核心邏輯不變，仍以韋達(dá)定理為核心工具?！緢A錐曲線基本性質(zhì)常用結(jié)論】在橢圓的定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的．否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段；②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；（2）定量：依據(jù)條件及確定的值；（3）寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程；2、求橢圓方程時(shí)，若沒(méi)有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；3、當(dāng)橢圓過(guò)兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF2，性質(zhì)1：AF1+拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c1、求橢圓離心率的3種方法（1）直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．（2）構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．（3）通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．2、求橢圓離心率范圍的2種方法（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系，適用于題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系；（2）直接法：根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式，適用于題設(shè)條件直接有不等關(guān)系。（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。1、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍（1）對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（2）對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類(lèi)型（1）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過(guò)配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．（3）因?yàn)殡x心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡(jiǎn)化計(jì)算．（4）通過(guò)特殊位置求出離心率．2、雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當(dāng)k>0時(shí)，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當(dāng)k<0時(shí)，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行舍而不求，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過(guò)雙曲線上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有.證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴.1、利用拋物線的定義解決問(wèn)題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．2、注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．1、定義法：根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．2、待定系數(shù)法（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開(kāi)口方向不確定需分為y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開(kāi)口向右；若m<0，開(kāi)口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)、，中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，，，將兩式相減，可得，整理可得：1、一般弦長(zhǎng)：設(shè)為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.2、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：如圖，是拋物線過(guò)焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.（2）(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.（6）為定值.【圓錐曲線綜合問(wèn)題常用結(jié)論】1、解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量（線段長(zhǎng)度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，求定值問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法有兩種：法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān)；法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去參數(shù)，從而得到定值。2、直接法解題步驟第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：或、點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過(guò)題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長(zhǎng)、距離等）用引入的變量表示出來(lái)；第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)得出目標(biāo)量與引入的變量無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。1、參數(shù)無(wú)關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)。2、特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線、動(dòng)曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)。3、關(guān)系法：對(duì)滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過(guò)定點(diǎn)的知識(shí)求解。解決圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線問(wèn)題的解題步驟：1、聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對(duì)稱(chēng)性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；3、將動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù)；4、設(shè)點(diǎn)，將方程變形解出定直線方程。圓錐曲線最值問(wèn)題的解題步驟：1、設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)，設(shè)直線的方程等；2、聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元二次方程；3、建函數(shù)：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求其最值。圓錐曲線幾何證明問(wèn)題的解題策略：1、圓錐曲線中的證明問(wèn)題，主要有兩類(lèi)：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過(guò)某點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系（相等與不等）；（2）解決證明問(wèn)題時(shí)，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明?？键c(diǎn)一圓錐曲線基本性質(zhì)《解題指南》解題步驟與技巧：1.求曲線方程（1）待定系數(shù)法（已知曲線類(lèi)型）步驟：①設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程（橢圓分焦點(diǎn)在x/y軸，雙曲線同理，拋物線分開(kāi)口方向）；②列a,b,p的關(guān)系式；③解方程求參數(shù)；④寫(xiě)方程。技巧：橢圓/雙曲線若焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)統(tǒng)一方程：橢圓mx2+ny2=1(m>0,n>0,)；雙曲線mx2-ny2=1(mn>0)。（2）定義法（已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的幾何條件）步驟：①分析動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)/定點(diǎn)與定直線的距離關(guān)系；②匹配橢圓、雙曲線、拋物線的定義；③求a,c,p；④寫(xiě)方程。技巧：雙曲線需注意“差的絕對(duì)值”，拋物線需找準(zhǔn)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和定直線（準(zhǔn)線）。2.離心率計(jì)算步驟：①找a,b,c的關(guān)系式（利用幾何性質(zhì)，如三角形邊角、漸近線斜率等）；②消去b（橢圓用b2=a2-c2，雙曲線用b2=c2-a2）；③轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程；④解方程求e（注意e的范圍）。技巧：①橢圓雙曲線可結(jié)合漸近線斜率快速計(jì)算；②遇到焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先用余弦定理+定義列方程。3.漸近線相關(guān)問(wèn)題命題點(diǎn)01雙曲線基本性質(zhì)【典例01】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)，由，以及斜率公式解方程組可得，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，結(jié)合的關(guān)系，求得，即可得離心率.【詳解】由題意，，設(shè)，則，，因?yàn)樵c(diǎn)O在以線段為直徑的圓上，可得，所以，即①，又直線的斜率，可得②，聯(lián)立①②可得，即，又點(diǎn)在雙曲線上，可得，又，解得，所以.故選：B.【典例02】（2025·天津北辰·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)?左頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用直線與漸近線求交點(diǎn)，再利用等邊三角形找到一個(gè)垂直關(guān)系，然后通過(guò)斜率來(lái)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出離心率.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線為，與雙曲線的漸近線聯(lián)立可得:,,同理與雙曲線的漸近線聯(lián)立可得:,,由為等邊三角形，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，即，，，，,所以解得,故選：A.命題點(diǎn)02拋物線基本性質(zhì)【典例01】（2025·天津·二模）已知拋物線（）的焦點(diǎn)F是雙曲線（）的一個(gè)頂點(diǎn)，兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為A，過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若是正三角形，則p的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)，和正三角形的基本性質(zhì)，用參數(shù)表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入求得參數(shù)的值.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線線的另一個(gè)頂點(diǎn)為，依題意，可知，，可知，，不妨設(shè)A在第一象限，則在雙曲線上，所以，解得，故選：A．【典例02】（2025·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，過(guò)D的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影.若P，B，F(xiàn)共線，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用拋物線定義求出比值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，由對(duì)稱(chēng)性，不妨令點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，由B在線段AD上，得，整理得，而，則，由P，B，F(xiàn)共線，得，整理得，解得，于是，過(guò)作于，所以.

故選：B高考預(yù)測(cè)題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)．若與相交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為．【答案】【分析】首先求出拋物線方程及直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到，再由拋物線的定義、中點(diǎn)公式求圓的半徑和圓心橫坐標(biāo)，最后應(yīng)用幾何法求弦長(zhǎng).【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，解得，則拋物線，直線的方程為，由，則，顯然，所以，故，所以以為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)為，半徑為，故以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：2．過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件先求得直線和拋物線的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得圓心和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】已知直線過(guò)點(diǎn)且斜率為1，因此其方程為.拋物線的方程為（），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由于直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，代入焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，解得，因此拋物線的方程為，焦點(diǎn)為.將直線方程代入拋物線方程得到：,展開(kāi)并整理得：,解得，對(duì)應(yīng)的值為，因此交點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為和.以線段為直徑的圓的圓心為的中點(diǎn)，坐標(biāo)為：,,,半徑為，因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,故答案為：.3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，同時(shí)點(diǎn)P在線段中垂線上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，進(jìn)而可知雙曲線浙近線的傾斜角為，進(jìn)而得到的關(guān)系，再將點(diǎn)代入雙曲線方程求解即可.【詳解】如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)可知．又點(diǎn)在線段中垂線上，則，則是等邊三角形，故雙曲線浙近線的傾斜角為．所以，即，則雙曲線方程為．將點(diǎn)代入雙曲線方程，得，解得，則雙曲線方程為，故選：C．考點(diǎn)二圓錐曲線綜合問(wèn)題《解題指南》解題步驟與技巧：圓錐曲線綜合大題（天津高考常為解答題第19/20題）核心解法是“代數(shù)化幾何問(wèn)題”，通用流程為設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋達(dá)定理→轉(zhuǎn)化求解，以下分步驟拆解并附專(zhuān)項(xiàng)技巧。一、通用解題步驟（必背流程）1.審題定模型，設(shè)參化簡(jiǎn)約第一步：確定曲線類(lèi)型（橢圓/雙曲線/拋物線），寫(xiě)出已知條件（如焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、漸近線、過(guò)定點(diǎn)等），若曲線方程含參數(shù)，先根據(jù)條件求曲線方程。第二步：設(shè)直線方程（關(guān)鍵避坑點(diǎn)）若直線過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)：斜率存在時(shí)設(shè)y-y0=k(x-x0)；斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論（設(shè)x=x0）。若直線斜率存在且不為0，或與拋物線聯(lián)立：優(yōu)先設(shè)x=my+t（避免斜率不存在的討論，簡(jiǎn)化計(jì)算）。2.聯(lián)立方程，判別式定范圍將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成關(guān)于x或y的一元二次方程：Ax2+Bx+C=0或Ay2+By+C=0。計(jì)算判別式=B2-4AC，根據(jù)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，得判別式>0（后續(xù)求參數(shù)范圍的依據(jù)）。3.韋達(dá)定理代換，化繁為簡(jiǎn)設(shè)直線與曲線交點(diǎn)為A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)，寫(xiě)出韋達(dá)定理結(jié)論：x1+x2=-B/A,x1x2=C/A核心原則：不直接解x1,x2，而是將所求幾何量轉(zhuǎn)化為x1+x2和x1x2的代數(shù)式。4.轉(zhuǎn)化幾何條件，代數(shù)求解把題目所求（弦長(zhǎng)、面積、定點(diǎn)、定值、最值等）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，代入韋達(dá)定理結(jié)論化簡(jiǎn)。若含參數(shù)，結(jié)合\Delta>0確定參數(shù)范圍；若為定值/定點(diǎn)問(wèn)題，消去參數(shù)得到常數(shù)或定點(diǎn)坐標(biāo)。5.檢驗(yàn)總結(jié)，規(guī)范書(shū)寫(xiě)檢驗(yàn)計(jì)算過(guò)程中是否忽略斜率不存在的情況，是否滿足判別式>0的限制。整理步驟，寫(xiě)出最終結(jié)論。二、專(zhuān)項(xiàng)題型解題技巧1.弦長(zhǎng)與面積問(wèn)題2.中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法優(yōu)先）3.定點(diǎn)定值問(wèn)題（消參核心）4.最值與范圍問(wèn)題（轉(zhuǎn)化函數(shù)）三、避坑關(guān)鍵技巧1.

斜率不存在必討論：設(shè)y=kx+b時(shí)，務(wù)必單獨(dú)驗(yàn)證斜率不存在的情況（直線垂直x軸），避免漏解。2.

判別式不能忘：聯(lián)立后得到的參數(shù)范圍（\Delta>0）是最終參數(shù)范圍的前提，尤其最值問(wèn)題需結(jié)合此條件。3.

優(yōu)先用定義簡(jiǎn)化：涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦時(shí)，用橢圓/雙曲線/拋物線的定義轉(zhuǎn)化，如拋物線焦半徑r=x0+P/2，避免復(fù)雜聯(lián)立。4.

計(jì)算分步寫(xiě)，少跳步：聯(lián)立后的一元二次方程系數(shù)、韋達(dá)定理結(jié)論單獨(dú)寫(xiě)，代數(shù)變形時(shí)分步化簡(jiǎn)，減少計(jì)算錯(cuò)誤。命題點(diǎn)01軌跡方程【典例01】（2025·天津靜海·三模）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)，若，求直線的斜率.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意得，解出即可求解；（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，驗(yàn)證是否滿足題意，當(dāng)斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元，由韋達(dá)定理得，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)和，利用即可求解.【詳解】（1）由題意知，橢圓的方程為：.（2）為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，顯然，，顯然，斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，，，，所以，，，此時(shí)，，，，，，解得或，直線的斜率為或.【典例02】（2025·天津·一模）已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交于A，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，其中，在軸上方，，分別為AB，DE的中點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，面積的為，求直線的方程.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)或.【分析】（1）由通徑和離心率求出a，b，c的值，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AB和DE的方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線MN的方程，由方程確定所過(guò)定點(diǎn)；（3）由題意得，利用弦長(zhǎng)公式可求得、，從而得到．再根據(jù)題意列式求解，即可得直線的方程.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）B，D在x軸上方，直線l斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，消去x得：，由韋達(dá)定理得：，，則中點(diǎn)，由，所以以代替m可得，所以，，化簡(jiǎn)得，則過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，取，，則過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取，，則過(guò)定點(diǎn)；綜上直線MN過(guò)定點(diǎn)．（3）M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，，由（2）知，以代替m可得，所以，，所以或，解得，，所以直線的方程為：或.命題點(diǎn)02存在性/定點(diǎn)/定值/定直線/最值問(wèn)題【典例01】（2025·天津?qū)幒印つM預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、．(1)求橢圓的方程；(2)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的斜率；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，且點(diǎn)【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，則，利用點(diǎn)差法可得出，結(jié)合點(diǎn)在直線上，可得出，代入可得出的值；（3）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合為定值，可得出，求出的值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，可得，因此橢圓方程為，即.（2）設(shè)點(diǎn)、，則，因?yàn)?，這兩個(gè)等式作差可得，即，由題意可知，直線的方程為，線段的中點(diǎn)在直線上，所以，，可得，所以，故，故直線的斜率為.（3）在軸上存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù).證明：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率為，所以，直線的方程為，由得.設(shè)、，則，，因?yàn)椋?，所以設(shè)常數(shù)為，則，整理得對(duì)任意的恒成立，，解得，即在軸上存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù).【典例02】（2025·天津·二模）橢圓（），過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，若的最大值為8，面積的最大值為12．(1)求橢圓的方程；(2)是橢圓上異于（不在坐標(biāo)軸上）的任意兩點(diǎn)，且直線相交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，直線斜率均存在．求證：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得到，再結(jié)合面積求得，即可求解；（2）設(shè)，，，，則，通過(guò)點(diǎn)差法，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）依題意，當(dāng)兩點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，且的面積有最大值，所以，，，．所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，，，，則，則．因?yàn)?，，兩式相減，得，所以，即．所以．①同理，可得，所以．②，得，則，所以．即直線AB的斜率與直線MN的斜率乘積為定值．高考預(yù)測(cè)題1．已知橢圓的中心為點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，且左焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓的左?右頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于（異于）兩點(diǎn)，過(guò)做垂直于長(zhǎng)軸的直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為，求是否為定值？若是，求出該值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，定值9.【分析】（1）利用題設(shè)條件列出方程，求出，即得橢圓的方程；（2）設(shè)直線，將直線與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用直線的直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形表示出，化簡(jiǎn)并代入韋達(dá)定理計(jì)算即得定值.【詳解】（1）由橢圓短軸長(zhǎng)為，得，又橢圓C左焦點(diǎn)到直線的距離為，解得則，故橢圓的方程是.（2）設(shè)直線，且聯(lián)立則，即得，且，則，過(guò)做垂直于長(zhǎng)軸的直線為令，得，同理可得；又，，則，為定值9.

2．已知橢圓C：（）上一動(dòng)點(diǎn)D到原點(diǎn)O距離的最小值為，最大值為2．(1)求橢圓C方程．(2)設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線l交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，線段，OP交于點(diǎn)A，設(shè)與的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，利用二次函數(shù)結(jié)合動(dòng)點(diǎn)取值范圍，可求最值，從而可得橢圓方程；(2)利用定比分點(diǎn)，結(jié)合向量知識(shí)，可得交點(diǎn)分線段的比例，然后把三角形面積轉(zhuǎn)化到交點(diǎn)縱坐標(biāo)表示上來(lái)，最后利用韋達(dá)定理來(lái)求解即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，所以有，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，故橢圓C方程為；（2）由圖可知：，設(shè)，又由則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，則，所以，設(shè)直線方程為，與橢圓，消得：，設(shè)交點(diǎn)，則有由，令，則，由，可知，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可知：恒成立，所以只需要解，因?yàn)?，所以，解得，而，因?yàn)?，所以，?3．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線，與圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB長(zhǎng)度的最小值為2.(1)求橢圓的方程；(2)求證：直線OA，OB斜率乘積為定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率得，設(shè)點(diǎn)，將橢圓方程化為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再由圓的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可.（2）利用（1）中信息求出直線與圓的方程，聯(lián)立求出兩根的積即可推理得證.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，解得，橢圓方程為，圓化為圓，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，得，求導(dǎo)得，直線的斜率；當(dāng)時(shí)，由，得，求導(dǎo)得，直線的斜率，因此當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線的方程為，點(diǎn)，直線的方程為，滿足，于是對(duì)任意點(diǎn)，直線的方程為，圓的圓心到直線距離，而圓的半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，解得，所以橢圓方程為，即.（2）由（1）知，圓的方程為，直線方程為，由消去得，設(shè)，則，消去得，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別為圓與軸的交點(diǎn)，的斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在；當(dāng)時(shí)，的斜率都存在且不為0，斜率乘積為為定值.好題速遞1．（2025·天津靜?！と＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn).若與相交于，兩點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為.【答案】【分析】首先根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的方程，根據(jù)直線的斜率和經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，則.所以拋物線方程為.由題意，直線的斜率為1，則直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線方程組得：，化簡(jiǎn)得.所以，，所以.因?yàn)閳A心位于線段的中點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為.而.所以圓的半徑為4.所以圓的方程為.故答案為：.2．（2025·天津北辰·三模）已知圓與圓相交的兩個(gè)公共點(diǎn)所在直線為，若與拋物線交于兩點(diǎn)，則.【答案】20【分析】先通過(guò)兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求出.【詳解】已知圓，圓，將兩式相減消去二次項(xiàng)可得直線的方程：，即.聯(lián)立直線與拋物線方程聯(lián)立，將代入可得：，即，設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，.根據(jù)弦長(zhǎng)公式（其中為直線的斜率），直線的方程為，其斜率，則：故答案為：20.3．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，直線l過(guò)C的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)且圓心為G，則的最小值是.【答案】【分析】作出輔助線，由拋物線的性質(zhì)，二倍角公式和垂徑定理得到，結(jié)合即可求解.【詳解】顯然直線l的方程斜率不為0，因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，故，故，所以，顯然G為的中點(diǎn)，過(guò)G作y軸的垂線，垂足為H，則H是的中點(diǎn)，設(shè)，則，，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，軸時(shí)取等號(hào)，則，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：4．（2025·天津?qū)氎妗ざ＃佄锞€的焦點(diǎn)恰好是圓的圓心，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于不同的A，B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求，進(jìn)而得出圓心及半徑即可求解．【詳解】由題意知，焦點(diǎn)，則拋物線，直線，設(shè)，，聯(lián)立消去y并整理得，則，所以所以．則以線段AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：．5．（2025·天津·一模）已知圓心位于拋物線焦點(diǎn)處的圓，與直線相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求出圓的半徑長(zhǎng)，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到直線的距離為，故圓的半徑為，因此，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.6．（2025·天津·一模）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)（M在之間），求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率的定義，三角形的面積，橢圓中，解方程可得；（2）分直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立表示出韋達(dá)定理，再利用圖形化簡(jiǎn)面積表達(dá)式，然后利用非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理表示出面積表達(dá)式，再設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求取值范圍可得.【詳解】（1）由題意可得，又，解得，所以橢圓C的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則四點(diǎn)共線，不存在面積比，不符合題意；若直線的斜率存在，如圖，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，即，所以，因?yàn)?，，又，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)，由于在之間，所以，即，設(shè)，在上單調(diào)遞增，令，解得，令，解得（舍）或，故，所以.7．（2025·天津·二模）已知圓，拋物線，斜率大于的直線與圓和拋物線都相切，則直線的方程為．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，由以及圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出直線的方程.【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，可得①，又直線與圓相切，得，整理得②，聯(lián)立①②，得，或．當(dāng)時(shí)，得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，得（負(fù)值舍去），故直線的方程為．故答案為：．8．（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，如果有且只有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】先分析出曲線表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點(diǎn)，再分情況討論當(dāng)取不同值時(shí)，表示的不同曲線，及與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)元素，所以曲線與有且只有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)于曲線變形可得，表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點(diǎn)，對(duì)于曲線，（1）當(dāng)時(shí)，如圖所示，表示的是一條直線，與交于，兩點(diǎn)，符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，與至多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；（3）當(dāng)時(shí)，表示的是兩條射線，，當(dāng)時(shí)，表示的是和兩條射線，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的斜率，當(dāng)時(shí)，的斜率，聯(lián)立，解得，此時(shí)與左支僅有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒(méi)有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒(méi)有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒(méi)有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸的交點(diǎn)為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒(méi)有交點(diǎn)，與左支有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：9．（2025·天津河西·一模）已知拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，最后根據(jù)切線的性質(zhì)，利用勾股定理求值.【詳解】在拋物線中，，則，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得．把代入，得，因?yàn)?，所以，即．圓，圓心為，半徑，故．故答案為：．10．（2025·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)圓心到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為．【答案】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)以及圓心的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大時(shí)，求出直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】對(duì)于拋物線，則，，所以，故其焦點(diǎn)為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.11．（2025·天津·二模）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線l，直線l與雙曲線的一條漸近線平行，若雙曲線上一點(diǎn)M到雙曲線左、右焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.【答案】/0.75【分析】判斷出在圓上，得到切線方程，從而，結(jié)合雙曲線定義得到，求出雙曲線方程為，設(shè)，則，由點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】由于，故在圓上，其中，由垂直關(guān)系可得切線l的斜率為，由漸近線方程的斜率為得，由雙曲線定義可知，解得，故，雙曲線方程為，兩漸近線方程為，設(shè)，則，點(diǎn)M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為.故答案為：12．（2025·天津和平·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為．(1)求橢圓離心率；(2)已知直線與橢圓相切于點(diǎn)，過(guò)作垂直于直線，交直線于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件易得，進(jìn)而可求解；（2）通過(guò)和，結(jié)合直線方程、橢圓方程求得坐標(biāo)，通過(guò)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列出等式求解.【詳解】（1），由條件可知，又，可得：，所以.（2）由（1）可知：，橢圓方程為，設(shè)，當(dāng)時(shí)，直線，，設(shè)夾角為，則，由，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)聯(lián)立橢圓方程：，化簡(jiǎn)整理得：，由，整理得到：，，，故，又，所以，由垂直關(guān)系易知直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，所以由，解得：，所以，所以，綜上13．（2025·天津和平·三模）已知拋物線過(guò)點(diǎn)；其焦點(diǎn)為，以為直徑作圓，圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則直線的方程為．【答案】【分析】先代入P點(diǎn)求出拋物線方程，則焦點(diǎn)坐標(biāo)可求，進(jìn)而可得圓的方程，與圓相減即可得相交弦AB的直線方程.【詳解】將P點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得，即拋物線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，,所以圓的圓心為，半徑為2，所以圓，因?yàn)椋詧A與圓相交，圓與圓方程相減可得：，即，故答案為：.14．（2025·天津和平·三模）已知雙曲線的上，下焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，，若的實(shí)軸長(zhǎng)為1，且上點(diǎn)滿足，，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，由題意可知，由于，，故，解得，故，故雙曲線方程為，故選：D15．（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的左，右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（異于，），直線與交于點(diǎn)．（i）求面積的取值范圍；（ii）是否存在點(diǎn)同時(shí)滿足，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）存在，點(diǎn)或.【分析】（1）由離心率及已知有求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得，，再應(yīng)用面積公式求范圍；（ii）由題設(shè)直線為，直線為，進(jìn)而得，令得，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求參數(shù)，即可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，消得，即，所以，設(shè)，，恒成立，，，，令，，則，由在上單調(diào)遞增，則，故，所以；（ii），，由（i），直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)?，，所以．令∴，∴，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?，，，解得，得出或，所以存在點(diǎn)或滿足條件.高考闖關(guān)1．已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)的距離減去圓的半徑.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，

由圖知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，且最小值為.故選：D2．已知、分別是橢圓（）的左右焦點(diǎn)，A、B是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與該橢圓在軸左側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)槭堑冗吶切?，且、在圓與橢圓的左半部分交點(diǎn)，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入橢圓，求解離心率.【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，且、在圓與橢圓的左半部分交點(diǎn)，可得點(diǎn)坐標(biāo)為.如圖：

將代入橢圓方程，結(jié)合，得化簡(jiǎn)為關(guān)于離心率的方程為即，解得.由于橢圓離心率，故，即.故選：B3．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且直線傾斜角為若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，設(shè)，則，由直線的傾斜角為，得出，根據(jù)三角函數(shù)定義得出，在中由余弦定理即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：則

因?yàn)?，所以，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得：則，，所以，所以，則，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，所以，在中，，在中，，由余弦定理得：，整理得，，故選：A．4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為.【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離求雙曲線方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程，右焦點(diǎn)，到其一條漸近線的距離，解得，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，即拋物線方程，示意圖如下：過(guò)點(diǎn)作，垂足為A，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接MF，根據(jù)拋物線定義有：，即動(dòng)點(diǎn)到直線和距離之和等于，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即點(diǎn)F到直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到直線和距離之和最小為.故答案為：35．已知橢圓的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)分別交橢圓于兩點(diǎn)，周長(zhǎng)為(1)求橢圓的方程．(2)若弦長(zhǎng)為，求直線的方程．(3)是否存在使為直徑的圓過(guò)，若存在求出直線方程，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，直線方程為或.【分析】（1）根據(jù)橢圓性質(zhì)和三角形周長(zhǎng)解出，進(jìn)而確定求橢圓方程；（2）假設(shè)直線得方程并和橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求解；（3）由以為直徑的圓過(guò)，得，再根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)果解方程求.【詳解】（1）由題知橢圓的離心率，周長(zhǎng)為，則，所以，即得因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為.（2）橢圓右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，假設(shè)交點(diǎn)位于第一象限，則，此時(shí)弦長(zhǎng)，故直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，消去得，由韋達(dá)定理可得，由弦長(zhǎng)公式可知，整理得，解得；所以直線的方程為或.

（3）由以為直徑的圓過(guò)，可知，即①，又由（2）知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，假設(shè)交點(diǎn)位于第一象限，則，則，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則②，③，聯(lián)立①②③可得，因?yàn)?，所以，解得，即，故直線存在，直線方程為或.6．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線上求出雙曲線參數(shù)c，再根據(jù)雙曲線漸近線與圓相切列出等式求出b，最后結(jié)合求出a，即可得雙曲線方程．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，故雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，也即，所以，又雙曲線漸近線與圓相切，圓心到漸近線距離為半徑，所以，解得，所以，雙曲線方程為．故答案為：．7．若點(diǎn)在第一象限，且為拋物線上的點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的定義求出p的值，進(jìn)而得到拋物線方程，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程求出m的值即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則準(zhǔn)線方程為，所以，解得：，所以，即：，因此拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，將其代入拋物線方程：，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，則：.故答案為：.8．設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離為，點(diǎn)到直線：的距離為，則的最小值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以（為拋物線的焦點(diǎn)），所以，求得最小值，即可求得，即可求得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由點(diǎn)到直線的距離為，所以（為拋物線的焦點(diǎn)），點(diǎn)到直線距離為，所以，畫(huà)出圖象：故點(diǎn)作垂直于直線，根據(jù)圖象可知：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得：，所以，故選：B.9．橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以為圓心的圓與橢圓交于兩點(diǎn)，若弦恰為圓的直徑，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知是弦的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法求解即可.【詳解】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，由題知是弦的中點(diǎn)，所以，，將坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式作差得，即，所以，即直線的斜率為.故選：A10．已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得和，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）以為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即，設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理成關(guān)于的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，得出直線的斜率，從而求得直線的方程.【詳解】（1）由得，又∵短軸長(zhǎng)為2，可得，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，設(shè)直線的方程為：，則聯(lián)立，消元得：，，即.設(shè)，，∴，，由題意可知，即：，∴，解得，∴，所以直線的方程為：.高頻考點(diǎn)01集合與常用邏輯用語(yǔ)內(nèi)容概覽01命題探源·考向解密（分析近3年高考考向與命題特征）02根基夯實(shí)·知識(shí)整合（核心知識(shí)必備、常用結(jié)論與技巧等）03高頻考點(diǎn)·妙法指津（4大命題點(diǎn)+6道高考預(yù)測(cè)題，高考必考·（20-25）分）考點(diǎn)一集合之間的關(guān)系與運(yùn)算命題點(diǎn)1集合之間的關(guān)系命題點(diǎn)2集合的交并補(bǔ)運(yùn)算高考預(yù)測(cè)題3道考點(diǎn)二常用邏輯用語(yǔ)命題點(diǎn)1結(jié)合其他知識(shí)的充要關(guān)系的判斷命題點(diǎn)2含量詞的命題的相關(guān)問(wèn)題高考預(yù)測(cè)題3道04好題速遞·分層闖關(guān)（精選15道最新名校模擬試題+10道高考闖關(guān)題）考點(diǎn)考向命題特征集合（3年3考）元素與集合之間的關(guān)系；交并補(bǔ)混合運(yùn)算涉及集合間基本關(guān)系的隱性考查1.

題型分值固定：長(zhǎng)期以單選題第1題的形式出現(xiàn)，分值穩(wěn)定為5分，是試卷開(kāi)篇的基礎(chǔ)送分題2.難度極低且穩(wěn)定：題目側(cè)重對(duì)集合基本概念和運(yùn)算規(guī)則的考查，無(wú)復(fù)雜推導(dǎo)和抽象新定義，運(yùn)算量小3.題干設(shè)定十分常規(guī)，多以實(shí)數(shù)集為背景，給出兩個(gè)需通過(guò)解不等式確定范圍的集合，極少出現(xiàn)抽象集合或特殊數(shù)集的復(fù)雜命題常用邏輯用語(yǔ)（3年3考）充分條件與必要條件判定結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)不單獨(dú)考查邏輯用語(yǔ)概念，而是和代數(shù)式、函數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容深度綁定1.長(zhǎng)期以單選題第2題的形式出現(xiàn)，分值穩(wěn)定為5分，緊跟在集合考題之后，是試卷前期的基礎(chǔ)送分題2.

難度低且無(wú)波動(dòng)：側(cè)重對(duì)基礎(chǔ)邏輯關(guān)系的辨析，無(wú)需復(fù)雜運(yùn)算和抽象推導(dǎo)，解題思路多為直接推導(dǎo)或舉反例3.

命題情境常規(guī)單一：題干設(shè)定很常規(guī)，均以實(shí)數(shù)集為背景，無(wú)抽象命題、新定義等陌生情境?！炯铣Ｓ媒Y(jié)論】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【常用邏輯用語(yǔ)常用結(jié)論】1．從集合與集合之間的關(guān)系上看：設(shè).（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.2.常見(jiàn)的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表原詞語(yǔ)等于大于小于是都是任意（所有）至多有一個(gè)至多有一個(gè)否定詞語(yǔ)不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有兩個(gè)一個(gè)都沒(méi)有(1)要判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合中的每一個(gè)元素證明其成立，要判斷全稱(chēng)量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個(gè)使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.考點(diǎn)一集合之間的關(guān)系與運(yùn)算《解題指南》解題步驟與技巧：第一步：化簡(jiǎn)集合：先解不等式、方程等，將集合化為具體的數(shù)集區(qū)間或列舉法形式；第二步：用數(shù)軸標(biāo)注集合范圍，直觀清晰，第三步：判定關(guān)系/計(jì)算運(yùn)算：關(guān)系判定：對(duì)照子集、真子集、相等的定義，結(jié)合數(shù)軸/韋恩圖判斷。運(yùn)算計(jì)算：交集取“公共部分”，并集取“全部覆蓋部分”，補(bǔ)集取“全集內(nèi)剩余部分”第四步：4.

含參問(wèn)題處理：分類(lèi)討論：空集優(yōu)先，端點(diǎn)驗(yàn)證：不等式邊界的等號(hào)是否可取，代入檢驗(yàn)。易錯(cuò)提醒：空集是任何集合的子集，運(yùn)算時(shí)先確認(rèn)集合是否為空集；命題點(diǎn)01集合之間的關(guān)系【典例01】（2025·天津河西·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】解出兩不等式的解集，并根據(jù)其包含關(guān)系判斷即可.【詳解】易知不等式的解集為，不等式的解集也為，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C【典例02】（2025·天津北辰·三模）對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分析可知，等價(jià)于且，再利用包含關(guān)系分析充分、必有條件.【詳解】因?yàn)椋葍r(jià)于且，且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.命題點(diǎn)02集合的交并補(bǔ)運(yùn)算【典例01】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由交集定義求得結(jié)果.【詳解】由，，則.故選：A.【典例02】（2025·天津·二模）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解一元二次不等式及絕對(duì)值不等式，再由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：C高考預(yù)測(cè)題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，所以，又?故選：C.2．集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定義可得出集合.【詳解】由得，等價(jià)于，解得，所以，又因?yàn)?，?故選：C.3．已知全集，集合，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集的定義求解.【詳解】不等式，解得，即，而，所以或.故選：D考點(diǎn)二常用邏輯用語(yǔ)《解題指南》解題步驟與技巧：第一步：

拆分條件與結(jié)論：明確題目中p（條件）和q（結(jié)論）對(duì)應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式（如等式、不等式）第二步：推導(dǎo)邏輯關(guān)系：正向推導(dǎo)：判斷p能否推出q；反向推導(dǎo)：判斷q能否推出p；技巧：推導(dǎo)困難時(shí)用舉反例否定，第三步：匹配條件類(lèi)型：根據(jù)雙向推導(dǎo)結(jié)果，對(duì)應(yīng)上述4種條件關(guān)系得出答案易錯(cuò)提醒：1.

“充分”與“必要”概念顛倒：這是最高頻錯(cuò)誤。比如誤把“p能推出q”說(shuō)成p是q的必要條件。避錯(cuò)技巧：牢記“誰(shuí)能推誰(shuí)，誰(shuí)就是充分條件”，也可借助集合判斷——若p對(duì)應(yīng)集合A，q對(duì)應(yīng)集合B，A是B的子集則p是q的充分條件，B是A的子集則p是q的必要條件，用“小范圍推大范圍”快速校驗(yàn)。2.

“的”字結(jié)構(gòu)倒裝致條件混淆：遇到“p的充分不必要條件是q”這類(lèi)表述時(shí)，易誤把p當(dāng)條件、q當(dāng)結(jié)論。避錯(cuò)技巧：抓標(biāo)志性詞，“的”字結(jié)構(gòu)會(huì)顛倒邏輯順序，正確邏輯是q推出p但p推不出q，可先轉(zhuǎn)化為“q是p的充分不必要條件”再分析。3.

量詞命題否定出錯(cuò)：常出現(xiàn)只否定結(jié)論、不互換量詞的問(wèn)題。避錯(cuò)技巧：遵循“兩步法則”，否定全稱(chēng)命題（?x∈M，p(x)）時(shí)，先把“?”換為“?”，再否定結(jié)論；否定特稱(chēng)命題（?x∈M，p(x)）時(shí)，先把“?”換為“?”，再否定結(jié)論。比如“所有x都滿足x2>0”的否定是“存在x滿足x2≤0”。4.

命題否定與否命題混淆：二者概念易弄混。避錯(cuò)技巧：明確差異，命題的否定僅否定原命題結(jié)論，如“若p則q”的否定是“若p則非q”；否命題需同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，即“若非p則非q”，且否定與原命題真假相反，否命題真假無(wú)固定規(guī)律。5.

結(jié)合代數(shù)知識(shí)推導(dǎo)不嚴(yán)謹(jǐn)：判定條件關(guān)系時(shí)，常因解方程、不等式疏漏導(dǎo)致推導(dǎo)錯(cuò)誤。比如判斷“a2=b2”與“a=b”的關(guān)系時(shí)，忽略a=-b的情況。避錯(cuò)技巧：推導(dǎo)正向關(guān)系后，務(wù)必反向驗(yàn)證，舉反例是快速否定推導(dǎo)關(guān)系的有效手段，可大幅降低出錯(cuò)率。命題點(diǎn)01結(jié)合其他知識(shí)的充要關(guān)系的判斷【典例01】（2025·天津靜?！と＃┰O(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結(jié)合根式的意義和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)依次分析充分性和必要性即可求解.【詳解】若“”則，所以當(dāng)時(shí)，“”不成立，故充分性不成立；若“”，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以“”，故必要性成立，“”是“”的必要不充分條件.故選：B【典例02】（2025·天津河?xùn)|·二模）已知，命題p：，命題q：，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】由命題間的必要不充分條件判斷即可.【詳解】命題p：即，命題q：即，所以命題能推出命題，而命題不能推出命題，所以p是q的必要不充分條件.故選：C命題點(diǎn)02含量詞的命題的相關(guān)問(wèn)題【典例01】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）若命題“”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到命題的否定后結(jié)合根的判別式計(jì)算即可得.【詳解】命題“”的否定是“”，則“”是真命題，則有，解得.故選：C.【典例02】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）給出下列四個(gè)命題：①；②；③；④函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的真假判斷方法，以及導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，輔助角公式和函數(shù)圖象的平移變換等知識(shí)來(lái)逐一分析這四個(gè)命題的真假，進(jìn)而確定真命題的個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所?根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故命題①為真命題.若，則，和都是無(wú)理數(shù)，不存在有理數(shù)使得，所以命題②為假命題.令，，對(duì)求導(dǎo)，可得.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減.則在處取得極大值，也是最大值，，所以，即，故命題③為真命題.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，根據(jù)“左加右減”的原則，得到.根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得.而，所以命題④為假命題.綜上，真命題有①③，共個(gè).故選：B.高考預(yù)測(cè)題1．已知向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由向量平行可得或，根據(jù)充分條件、必要條件概念判斷即可.【詳解】已知向量，若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．“關(guān)于x，y的方程表示的曲線是圓”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據(jù)方程表示圓求出參數(shù)范圍，再由充分條件，必要條件的定義判斷即可.【詳解】化成標(biāo)準(zhǔn)方程，所以，解得或，因?yàn)榛蛲撇怀?，可以推出或，所以方程表示圓是的必要不充分條件.故選：B.3．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，以及充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】若，則，此時(shí)，所以；若，則由向量共線定理可得，解得或.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.好題速遞1．（2025·天津·二模）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何的交補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，所以，故選：A.2．（2025·天津和平·三模）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“，”，故選：D3．（2025·天津南開(kāi)·二模）已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求解分式