北京一零一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個A.12 B.24C.36 D.482．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.5．“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.7．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，8．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.9．若等軸雙曲線C過點(diǎn)，則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.210．直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，其前項和為，，．若數(shù)列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1312．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________14．已知，若共線，m+n＝__.15．若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_________.16．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求定點(diǎn)與交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積的最大值.18．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立20．（12分）如圖，正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D2、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.3、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系4、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B5、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據(jù)此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0，則直線l斜率可能等于零，此時直線傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件；直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率為負(fù)，滿足直線的斜率不大于0，即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項公式與前項和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D7、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則,，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.9、A【解析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為.故選：A10、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.11、A【解析】根據(jù)題意和對數(shù)的運(yùn)算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出，進(jìn)而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A12、D【解析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先驗證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時，，故點(diǎn)在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：14、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n，進(jìn)而求得答案.【詳解】由于，因為，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，當(dāng)時，的最小值為，所以，故答案為：16、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得，，再由，即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立求得關(guān)于的方程，利用弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式配方即可求解.【詳解】解（1）由題意得：，，∴，∴∴橢圓的方程為(2)∵直線的斜率為，∴可設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立可得：①設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，由韋達(dá)定理得：，∴點(diǎn)到直線的距離，∴由①知：，，令，則，∴令，則在上的最大值為∴的最大值為綜上所述：三角形面積的最大值2.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓額位置關(guān)系中三角形面積問題，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，則，等價于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值8.19、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因為，故可得，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.則，且當(dāng)時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，欲證，只須證，再用向量數(shù)量積公式求解即可.【小問1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則∴，，∴，∴.21、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當(dāng)NH最小時線面角最大，因為當(dāng)P為中點(diǎn)時，,此時NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時.【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.22、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最