2026屆吉林省遼源市第五中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.452．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.4．如圖，奧運五環(huán)由5個奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個造形為一個底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機構定制一批奧運五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.95．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.6．已知點，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)8．觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應填入的適當?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.9．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.210．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.11．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}12．，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數(shù)的值為__________.14．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高二被抽取的人數(shù)為__.15．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.16．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值18．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知橢圓：過點，其左、右頂點分別為，，上頂點為，直線與直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線：分別與線段（不含端點）和線段的延長線交于，兩點，直線與橢圓的另一交點為，求證：，，三點共線.21．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：22．（10分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：2、B【解析】根據(jù)題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.3、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D4、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點，連接，所以，，又因為，所以，所以即相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C5、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.6、A【解析】由兩點坐標，求出直線的斜率，利用，結合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設直線AB的傾斜角為，因為，所以直線AB的斜率，即，因為，所以.故選：A7、B【解析】如圖設橢圓的左焦點為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結合平面向量的數(shù)量積計算即可.【詳解】由題意知，如圖，設橢圓的左焦點為E，則，因為點A、B關于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B8、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D9、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉化為直線上點與圓心連線和半徑的關系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結合勾股定理即可得出結果.【詳解】設為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.10、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調性情況，再由導函數(shù)與原函數(shù)的關系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，從左向右函數(shù)先增后減，故時，從左向右導函數(shù)先正后負，故排除AB；當時，從左向右函數(shù)先減后增，故時，從左向右導函數(shù)先負后正，故排除D.故選：C.11、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎題.12、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】分析可知，結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得結果.【詳解】由已知可得，，因為，則，即，解得.故答案為：.14、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).【詳解】高一年級抽取的人數(shù)為：人，則，則高二被抽取的人數(shù)，故答案為：.15、【解析】由題意知在上恒成立，從而結合一元二次不等式恒成立問題，可列出關于的不等式，進而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運用導數(shù)探究函數(shù)的單調性.一般地，由增函數(shù)可得導數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導數(shù)不大于零.對于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.16、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間的問題，屬于常考題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，則，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE與BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小問2詳解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD，∴CD⊥ED，∴DA，DC，DE三線兩兩垂直，故以D為原點，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D－xyz：則,則設為平面BDM的法向量，則，取，取平面BCD的法向量為，設二面角的大小為θ，則，∴.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列條件列方程，即可求通項公式；（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，解得，分組求和即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，∴，由，∴，∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】∵數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.19、（1），;（2）.【解析】（1）利用求出數(shù)列的通項，再求出等比數(shù)列的公比即得解；（2）求出，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：，.當時，，適合..設等比數(shù)列公比為，，，即，或（舍去），.【小問2詳解】解：，，，上述兩式相減，得，所以所以.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由和，聯(lián)立求解；（2）由（1）易得直線：，直線：，，分別與x=t聯(lián)立，求得M，N坐標，設，利用，得到，然后兩邊乘以，結合點P在橢圓上化簡得到即可，【詳解】（1）在橢圓中，，，，則，，由題意得：，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，，，則直線：，直線：，由題意，，聯(lián)立，同理聯(lián)立，設，則①，且點滿足：，即，兩邊乘以，可得：，代入①得：，而，則，所以，，三點共線.21、（1）12（2）18【解析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項公式，要求前12項絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項為正項，后6項為負項，因此在算和的時候，后6項和可以取原通項公式的相反數(shù)即可計算，即為，然后再加上前6項和，即為要求的前12項絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項公式為，所以即22、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數(shù)，運用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個數(shù)，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天