上海市靜安區(qū)上戲附中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-25．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.7．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或8．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或69．是雙曲線：上一點(diǎn)，已知，則的值（）A. B.C.或 D.10．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；③回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；④如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯誤說法的個數(shù)是（）A. B.C. D.12．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.14．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______15．在等比數(shù)列中，已知，則__________16．已知拋物線的焦點(diǎn)F恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）已知（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知鈍角內(nèi)角A，B，C的對邊長分別a，b，c，若，，．求a的值19．（12分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若命題q為假時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).（1）當(dāng)時，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）等差數(shù)列中，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時，，此時，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值3、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C4、C【解析】以為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時，取得最小值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示5、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.6、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：7、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時，直線：，：，互相平行；當(dāng)時，直線：，：，重合；所以，故選：A8、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時，有或，所以或，得或6故選：D9、B【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點(diǎn)，，，或，又，.故選：B10、C【解析】對方程進(jìn)行化簡可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.11、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，①正確；對于②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；故②正確；對于③，線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，回歸直線不一定就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線，也可能不過任何一個點(diǎn)；③不正確；對于④，如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于；綜上，其中錯誤的個數(shù)是；故選：C.12、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所?故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.14、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則，對求導(dǎo)，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：15、32【解析】根據(jù)已知求出公比即可求出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以.故答案為：32.16、【解析】設(shè)兩條曲線交點(diǎn)為根據(jù)橢圓和拋物線對稱性知，不妨點(diǎn)A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長的定義進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，所以有：且，所以的取值范圍為：.18、（1），；（2）2.【解析】(1)利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論及已知求出角C，再利用余弦定理計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，則的最小正周期，由，解得，則在上單調(diào)遞增，所以的最小正周期為，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由(1)知，，即，在中，，，則，即，，于是得，解得，在中，由余弦定理得：，即，解得或，當(dāng)時，，為直角三角形，與是鈍角三角形矛盾，當(dāng)時，，，此時，是鈍角三角形，則，所以a的值是2.19、（1）p為真時或，q為假時；（2）{或}.【解析】（1）p為真應(yīng)用判別式求參數(shù)范圍；q為真，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍，再判斷q為假對應(yīng)的參數(shù)范圍.（2）由題設(shè)易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結(jié)合（1）的結(jié)果求a的取值范圍【小問1詳解】若p真，則有實(shí)數(shù)根，∴，解得或若q為真，則，即故q為假時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【小問2詳解】∵命題真命題，命題為假命題，∴p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，，可得當(dāng)p假q真時，，可得綜上，實(shí)數(shù)a取值范圍為或.20、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對任意的恒成立，是單調(diào)遞增數(shù)列，，只需，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當(dāng)時，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)