宿州市重點中學2026屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結果是（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（）A. B.C. D.23．從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（）A. B.C. D.4．對于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項和為5．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.66．若函數(shù)在上為單調減函數(shù)，則的取值范圍（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足，，.設，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.98．設平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.9．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要10．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-211．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.12．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點,則的最小值為______14．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內心，連接并延長交于點N，則________.15．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當時，的周長為定值②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點P，使得④當時，有且僅有一個點P，使得平面16．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（1）若，求的單調區(qū)間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點；（3）若存在，使得，求的取值范圍18．（12分）已知點在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標軸且不過原點O的直線l與橢圓E交于B，C兩點，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.19．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當時，過點的直線與的另一個交點為，與的另一個交點為，若恰好是的中點，求直線的方程.20．（12分）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.21．（12分）動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標為，求直線AB的方程.22．（10分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質計算.【詳解】由等比數(shù)列的性質可知，且等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同，所以，即.故選：B3、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.故選：B.4、B【解析】由等差數(shù)列的通項公式判定選項A正確；利用等比數(shù)列的通項公式求出，即判定選項B錯誤；利用對數(shù)的運算和等差數(shù)列的定義判定選項C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項A正確；對于B：由條件可得，，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，則，即數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列，即選項C正確；對于D：，設數(shù)列的前項和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項D正確.故選：B.5、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.6、A【解析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結合二次函數(shù)的基本性質可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當時，在上單調遞減，在上單調遞減，所以，，故.故選：A.7、A【解析】整理數(shù)列的通項公式有：，結合可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數(shù)列的遞推關系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項8、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知，即，因為所有的基本事件共有種，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D9、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B10、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D11、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對稱性，結合矩形的性質、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關鍵點睛：利用矩形的性質、雙曲線的定義是解題的關鍵.12、C【解析】由等比中項的性質及等差數(shù)列通項公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出直線過的定點，當圓心和定點的連線垂直于直線時，取得最小值，結合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點，設圓心到直線的距離為，則，可知當距離最大時，有最小值，由圖可知，時，最大，此時，此時.故的最小值為.故答案為：.14、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內切圓入手，找到等量關系，進而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設內切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎上，借助內切圓的相關公式求解，層層遞進，是一道好題．關鍵點在于找到“”這一關系15、②④【解析】①結合得到P在線段上，結合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內一點，①，當時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉化等思路進行解決.16、【解析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，極小值（2）證明見解析（3）【解析】（1）對函數(shù)進行求導通分化簡，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因為存在零點，所以，從而．在對進行分類討論，再利用函數(shù)的單調性得出結論.（3）構造函數(shù)，在對進行求導，在對進行分情況討論，即可得的得到答案.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，由解得與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因為存在零點，所以，從而當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【小問3詳解】設，①若，則，符合題意②若，則，故當時，，在上單調遞增所以，存在，使得的充要條件為，解得③若，則，故當時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意綜上，的取值范圍是【點睛】本題考查求函數(shù)的單調區(qū)間和極值、證明給定區(qū)間只有一個零點問題，以及含參存在問題，屬于難題.18、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點坐標和離心率可得橢圓方程；（2）假設為等邊三角形，設，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得的中點的坐標，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設為等邊三角形，設，，聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，由得，故，所以的中點為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設不成立，故三角形不可能是等邊三角形.19、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關系，在雙曲線中方程是非標準的方程，注意套公式時容易出錯.（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點的橫坐標，利用中點坐標公式即可解得斜率值.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因為，.【小問2詳解】當時,橢圓，雙曲線.當過點的直線斜率不存在時，點P,Q恰好重合，坐標為，所以不符合條件；當斜率存在時，設直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達定理得，所以由于是的中點，所以,所以，即，化簡得，所以直線方程為或.20、（1）40；（2）a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.【解析】（1）設每件定價為x元,可得提高價格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；（2）依題意，x>25時，不等式有解，等價于x>25時,有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設每件定價為t