初中全等三角形練習(xí)題同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)全等三角形這部分內(nèi)容時(shí)，是否常常感覺(jué)雖然定理都背熟了，但一到復(fù)雜的圖形中就有些無(wú)從下手呢？別擔(dān)心，全等三角形的證明確實(shí)需要我們仔細(xì)觀察、靈活運(yùn)用定理。今天，我們就通過(guò)一些典型的練習(xí)題，一起來(lái)梳理一下全等三角形證明的常用思路和方法，希望能幫助大家更好地掌握這一重要知識(shí)點(diǎn)。一、全等三角形判定定理回顧在開(kāi)始練習(xí)之前，我們先快速回顧一下判定兩個(gè)三角形全等的幾個(gè)基本定理，這是我們解決所有相關(guān)問(wèn)題的基石：1.邊邊邊（SSS）：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。2.邊角邊（SAS）：如果兩個(gè)三角形的兩條邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。3.角邊角（ASA）：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。4.角角邊（AAS）：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。5.斜邊、直角邊（HL）：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等。（這是直角三角形特有的判定方法）請(qǐng)大家務(wù)必牢記這些判定定理，并注意“SSA”和“AAA”是不能判定三角形全等的。二、典型例題精析例題1：利用“SSS”判定全等題目：如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：△ABC≌△DEF。分析：要證△ABC≌△DEF，我們先看看已知條件給了我們什么。題目直接給出了AB=DE，AC=DF，這是兩組對(duì)應(yīng)邊相等。第三組邊呢？已知BE=CF，而B(niǎo)、E、C、F在同一直線上，那么BC和EF是否相等呢？我們知道，BC=BE+EC，EF=EC+CF，因?yàn)锽E=CF，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。這樣一來(lái)，三組對(duì)應(yīng)邊就都相等了，正好符合“SSS”的判定條件。證明：∵B、E、C、F在同一條直線上，且BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性質(zhì)）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已證）∴△ABC≌△DEF(SSS)思路點(diǎn)撥：當(dāng)題目中出現(xiàn)線段和差關(guān)系時(shí)，要想到通過(guò)等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們需要的對(duì)應(yīng)邊相等。這道題的關(guān)鍵就是利用BE=CF推導(dǎo)出BC=EF。例題2：利用“SAS”判定全等題目：如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE。求證：△ABC≌△ADE。分析：這道題就比較直接了。已知AB=AD，AC=AE，這是兩組對(duì)應(yīng)邊相等。而∠BAC=∠DAE，這個(gè)角正好是AB與AC的夾角，AD與AE的夾角。兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，“SAS”定理可以直接應(yīng)用。證明：在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已知）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE(SAS)思路點(diǎn)撥：應(yīng)用“SAS”定理時(shí)，一定要注意那個(gè)“角”必須是兩組對(duì)應(yīng)邊的“夾角”。如果是其中一邊的對(duì)角，那就成了“SSA”，是不能判定全等的，這一點(diǎn)要特別小心。例題3：利用“ASA”判定全等題目：如圖，已知點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，∠B=∠C。求證：△ABE≌△ACD。分析：要證明△ABE≌△ACD。已知條件有AB=AC（一組對(duì)應(yīng)邊），∠B=∠C（一組對(duì)應(yīng)角）。觀察圖形，∠A是△ABE和△ACD的公共角，即∠A=∠A。這樣我們就有了∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C，這正好是“ASA”的條件：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等。證明：在△ABE和△ACD中，∠A=∠A（公共角）AB=AC（已知）∠B=∠C（已知）∴△ABE≌△ACD(ASA)思路點(diǎn)撥：公共角、對(duì)頂角等隱含的相等角條件，在解題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)和利用。本題的∠A就是一個(gè)關(guān)鍵的公共角。例題4：利用“AAS”判定全等題目：如圖，已知在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD和BE相交于點(diǎn)F，且BF=AC。求證：△BDF≌△ADC。分析：要證△BDF≌△ADC。已知BF=AC（一組對(duì)應(yīng)邊）。因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥AC，所以∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°（直角）。在Rt△BDF和Rt△ADC中，我們已有一個(gè)直角相等。再看看其他角，∠BFD和∠AFE是對(duì)頂角，所以∠BFD=∠AFE。在Rt△AFE中，∠AFE+∠FAE=90°；在Rt△ADC中，∠FAE+∠ACD=90°。因此，∠AFE=∠ACD（同角的余角相等），從而∠BFD=∠ACD。這樣，在△BDF和△ADC中，就有∠BDF=∠ADC（直角），∠BFD=∠ACD，BF=AC（已知），符合“AAS”的判定條件。證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知）∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°（垂直的定義）∵∠BFD=∠AFE（對(duì)頂角相等）在Rt△AFE中，∠AFE+∠FAE=90°在Rt△ADC中，∠FAE+∠ACD=90°∴∠AFE=∠ACD（同角的余角相等）∴∠BFD=∠ACD（等量代換）在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC（已證）∠BFD=∠ACD（已證）BF=AC（已知）∴△BDF≌△ADC(AAS)思路點(diǎn)撥：當(dāng)圖形中出現(xiàn)多個(gè)直角時(shí)，要聯(lián)想到“同角（或等角）的余角相等”這一性質(zhì)，它常常能幫我們找到判定全等所需的角相等條件。本題的證明過(guò)程稍顯復(fù)雜，需要多步推導(dǎo)，但只要思路清晰，一步一步來(lái)，就能找到關(guān)鍵。例題5：利用“HL”判定直角三角形全等題目：如圖，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE。求證：Rt△ABC≌Rt△DEF。分析：這道題直接給出了兩個(gè)直角三角形，∠C=∠F=90°。已知AC=DF（一組直角邊對(duì)應(yīng)相等），AB=DE（斜邊對(duì)應(yīng)相等）。對(duì)于直角三角形，我們有“HL”這個(gè)特殊的判定方法，即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。這里條件正好滿足。證明：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)（AB=DE（斜邊相等），AC=DF（直角邊相等））思路點(diǎn)撥：“HL”定理僅適用于直角三角形。在使用時(shí)，要明確指出哪個(gè)是斜邊，哪個(gè)是直角邊。三、練習(xí)題鞏固1.基礎(chǔ)題：如圖，已知AB=CD，AE=DF，AE∥DF。求證：△ABE≌△DCF。（提示：AE∥DF能得到什么角相等？）2.提高題：如圖，已知在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且BD=CE，BE與CD相交于點(diǎn)O。求證：△BOD≌△COE。（提示：先證△ABE≌△ACD，或直接在△BOD和△COE中找條件。）3.綜合題：如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，交AD于點(diǎn)G。求證：AD垂直平分EF。（提示：先證△AED≌△AFD，得到AE=AF，DE=DF，再證△AEG≌△AFG或△DEG≌△DFG。）四、總結(jié)與建議全等三角形的證明是平面幾何入門(mén)的重要環(huán)節(jié)，它不僅要求我們熟記判定定理，更重要的是培養(yǎng)觀察圖形、分析條件、邏輯推理的能力。在解題時(shí)，建議同學(xué)們：1.仔細(xì)審題：明確已知條件和求證結(jié)論。2.觀察圖形：找出圖中的隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、平行線所形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等。3.選擇定理：根據(jù)已知條件，初步判斷可能適用的判定定理，再看還需要什么條件，如何去獲得這個(gè)條件。4.規(guī)范書(shū)寫(xiě)：證明過(guò)程要做到條理清