東北大學(xué)17秋學(xué)期《離散數(shù)學(xué)》在線作業(yè)2引言離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程等相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，其重要性不言而喻。它不僅為后續(xù)的算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理等課程提供了堅(jiān)實(shí)的理論支撐，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象推理能力。東北大學(xué)17秋學(xué)期的《離散數(shù)學(xué)》在線作業(yè)2，作為檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果、鞏固知識(shí)要點(diǎn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其內(nèi)容設(shè)置緊密圍繞課程核心模塊，注重對(duì)基本概念、基本方法和基本技能的考察。本文旨在以資深文章作者的視角，對(duì)本次在線作業(yè)所涉及的核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理與解析，并提供具有實(shí)用價(jià)值的解題思路與技巧，以期為同學(xué)們更好地完成作業(yè)、深化理解提供有益的參考。一、集合論基礎(chǔ)與二元關(guān)系集合論是離散數(shù)學(xué)的基石，而二元關(guān)系則是集合論中刻畫事物之間聯(lián)系的重要工具，在本次作業(yè)中占據(jù)了相當(dāng)?shù)谋戎亍?.1集合的基本運(yùn)算與性質(zhì)集合的運(yùn)算，如并、交、補(bǔ)、差等，是解決集合問題的基礎(chǔ)。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，首先需要準(zhǔn)確理解這些運(yùn)算的定義和運(yùn)算規(guī)律。例如，兩個(gè)集合的并集是由屬于其中至少一個(gè)集合的所有元素組成的集合；交集則是由同時(shí)屬于兩個(gè)集合的所有元素組成的集合。典型問題：可能會(huì)涉及到集合恒等式的證明或集合表達(dá)式的化簡(jiǎn)。例如，證明兩個(gè)集合表達(dá)式相等，通?？梢酝ㄟ^證明它們互為子集，即任一元素屬于左式當(dāng)且僅當(dāng)屬于右式，這需要用到邏輯等價(jià)的知識(shí)。或者給出若干集合，通過運(yùn)算求出特定集合的元素。解題思路：對(duì)于集合運(yùn)算的證明題，利用邏輯等值演算將集合運(yùn)算轉(zhuǎn)化為命題公式的等價(jià)性證明，是一種行之有效的方法。對(duì)于計(jì)算題，則需要嚴(yán)格按照運(yùn)算定義逐步進(jìn)行，并注意集合元素的互異性和無序性。文氏圖（VennDiagram）作為一種直觀的輔助工具，對(duì)于理解和解決集合問題，特別是涉及多個(gè)集合運(yùn)算的問題，具有很好的幫助作用，但它通常不作為嚴(yán)格證明的依據(jù)，更多用于輔助理解和驗(yàn)證。1.2二元關(guān)系的基本概念與性質(zhì)二元關(guān)系是從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的笛卡爾積的子集。我們重點(diǎn)關(guān)注關(guān)系的性質(zhì)，如自反性、反自反性、對(duì)稱性、反對(duì)稱性和傳遞性。這些性質(zhì)是關(guān)系分類和進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)。典型問題：判斷給定關(guān)系是否具有某種性質(zhì)；或者根據(jù)要求構(gòu)造具有特定性質(zhì)的關(guān)系；亦或是證明關(guān)系的某些性質(zhì)在特定運(yùn)算下的保持性。解題思路：判斷關(guān)系性質(zhì)，關(guān)鍵在于嚴(yán)格依據(jù)定義。例如，自反性要求集合中的每個(gè)元素都與自身相關(guān)；對(duì)稱性則要求若a與b相關(guān)，則b與a也相關(guān)。在證明或判斷時(shí)，需要對(duì)集合中的所有元素（或元素對(duì)）進(jìn)行考察，特別注意是否存在反例。對(duì)于關(guān)系矩陣或關(guān)系圖，它們是分析關(guān)系性質(zhì)的有力工具。例如，自反關(guān)系的關(guān)系矩陣主對(duì)角線元素全為1；對(duì)稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對(duì)稱矩陣。1.3等價(jià)關(guān)系與劃分等價(jià)關(guān)系是一種同時(shí)具有自反、對(duì)稱和傳遞性的二元關(guān)系。等價(jià)關(guān)系與集合的劃分是一一對(duì)應(yīng)的，即給定一個(gè)等價(jià)關(guān)系，可以得到集合的一個(gè)劃分（等價(jià)類）；反之，給定一個(gè)劃分，也可以確定一個(gè)等價(jià)關(guān)系。典型問題：驗(yàn)證一個(gè)關(guān)系是否為等價(jià)關(guān)系；求出等價(jià)關(guān)系所確定的等價(jià)類；或者根據(jù)劃分構(gòu)造相應(yīng)的等價(jià)關(guān)系。解題思路：驗(yàn)證等價(jià)關(guān)系，只需分別驗(yàn)證其自反、對(duì)稱、傳遞三個(gè)性質(zhì)即可。求等價(jià)類時(shí)，要找出所有與給定元素具有該等價(jià)關(guān)系的元素。理解等價(jià)關(guān)系的本質(zhì)是“將集合中的元素按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，使得同一類中的元素相互等價(jià)，不同類中的元素不等價(jià)”，這有助于我們更好地把握等價(jià)關(guān)系與劃分之間的聯(lián)系。二、函數(shù)函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，它要求對(duì)于定義域中的每個(gè)元素，都有唯一的像與之對(duì)應(yīng)。函數(shù)的概念在離散數(shù)學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都至關(guān)重要。2.1函數(shù)的定義與基本性質(zhì)函數(shù)的定義包含定義域、陪域和對(duì)應(yīng)法則三個(gè)要素。函數(shù)的基本性質(zhì)包括單射（injective）、滿射（surjective）和雙射（bijective）。單射要求不同的定義域元素對(duì)應(yīng)不同的像；滿射要求陪域中的每個(gè)元素都有原像；雙射則既是單射又是滿射。典型問題：判斷一個(gè)關(guān)系是否為函數(shù)；判斷一個(gè)函數(shù)是否為單射、滿射或雙射；根據(jù)給定條件構(gòu)造滿足特定性質(zhì)的函數(shù)。解題思路：判斷是否為函數(shù)，核心在于“唯一性”，即每個(gè)定義域元素是否有唯一的像。判斷單射，可以采用定義，即若f(a)=f(b)，則a=b；或者其逆否命題，若a≠b，則f(a)≠f(b)。判斷滿射，則需要驗(yàn)證陪域中的每個(gè)元素都能被定義域中的某個(gè)元素映射到。對(duì)于構(gòu)造題，則需要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)的要求，設(shè)計(jì)合理的對(duì)應(yīng)法則。2.2函數(shù)的復(fù)合與逆函數(shù)函數(shù)的復(fù)合是將兩個(gè)函數(shù)連接起來，形成一個(gè)新的函數(shù)。逆函數(shù)則是在函數(shù)為雙射的前提下，存在的一種“反轉(zhuǎn)”對(duì)應(yīng)關(guān)系。典型問題：計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)；判斷一個(gè)函數(shù)是否存在逆函數(shù)，并在存在時(shí)求出其逆函數(shù)。解題思路：復(fù)合函數(shù)的計(jì)算需要注意函數(shù)的先后順序，通常記為(f°g)(x)=f(g(x))，即先應(yīng)用g函數(shù)，再應(yīng)用f函數(shù)。逆函數(shù)存在的充要條件是函數(shù)為雙射。求逆函數(shù)，本質(zhì)上是尋找一個(gè)能“還原”原函數(shù)作用的函數(shù)，即若f(a)=b，則f?1(b)=a。三、代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)介代數(shù)系統(tǒng)是由集合以及定義在該集合上的若干運(yùn)算所組成的整體。群、環(huán)、域是典型的代數(shù)系統(tǒng)，但在線作業(yè)2中，可能更多涉及的是代數(shù)系統(tǒng)的基本概念以及諸如半群、獨(dú)異點(diǎn)等較為基礎(chǔ)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。3.1代數(shù)系統(tǒng)的基本概念一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)通常包含非空集合S和若干個(gè)定義在S上的運(yùn)算。運(yùn)算的封閉性是首要條件，即運(yùn)算結(jié)果仍在集合S中。此外，運(yùn)算還可能具有交換律、結(jié)合律、分配律等性質(zhì)，以及是否存在單位元（幺元）、零元、逆元等。典型問題：判斷一個(gè)集合和運(yùn)算是否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)；驗(yàn)證運(yùn)算的性質(zhì)；尋找代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（幺元、零元、逆元）。解題思路：判斷是否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)，首先檢查集合是否非空，運(yùn)算是否封閉。驗(yàn)證運(yùn)算性質(zhì)，如交換律，即對(duì)集合中任意元素a、b，是否有a*b=b*a。尋找幺元，即尋找元素e，使得對(duì)任意a，有e*a=a*e=a。尋找逆元，則是對(duì)給定元素a，尋找元素b，使得a*b=b*a=e（e為幺元）。四、圖論初步圖論是離散數(shù)學(xué)中非?；钴S且應(yīng)用廣泛的一個(gè)分支，它通過點(diǎn)和邊來刻畫事物之間的聯(lián)系。4.1圖的基本概念圖由頂點(diǎn)集和邊集組成。根據(jù)邊是否有方向，圖可分為無向圖和有向圖。圖的基本術(shù)語包括頂點(diǎn)的度（出度、入度）、路徑、回路、連通性等。握手定理是圖論中的一個(gè)基本定理，它描述了圖中頂點(diǎn)度數(shù)之和與邊數(shù)的關(guān)系。典型問題：計(jì)算圖中頂點(diǎn)的度，驗(yàn)證握手定理；判斷圖是否連通；判斷一條序列是否為圖中的路徑或回路。解題思路：對(duì)于無向圖，握手定理表明所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍。對(duì)于有向圖，則是所有頂點(diǎn)的出度之和等于入度之和等于邊數(shù)。判斷連通性，對(duì)于無向圖，是指任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑；對(duì)于有向圖，則有強(qiáng)連通、弱連通等不同概念。判斷路徑或回路，需檢查序列中相鄰頂點(diǎn)之間是否有邊相連，以及路徑（回路）的定義要求（如頂點(diǎn)是否可重復(fù)、邊是否可重復(fù)等）。五、在線作業(yè)解題注意事項(xiàng)1.仔細(xì)審題：在線作業(yè)通常題目表述簡(jiǎn)潔，務(wù)必仔細(xì)閱讀每一個(gè)字，理解題目要求，明確已知條件和所求結(jié)論。避免因?qū)忣}不清而答非所問。2.概念清晰：離散數(shù)學(xué)高度依賴基本概念，很多題目直接考察對(duì)概念的理解和應(yīng)用。因此，在解題前，確保對(duì)相關(guān)概念的定義、性質(zhì)了然于胸。3.步驟規(guī)范：即使是在線作業(yè)，有些題目可能需要提交解題過程。清晰、規(guī)范的解題步驟不僅有助于自己檢查，也能讓閱卷老師（或系統(tǒng)）快速理解你的思路。對(duì)于選擇題和判斷題，雖然不需要寫出完整步驟，但在草稿紙上進(jìn)行必要的推演仍是必不可少的。4.善用反例：在判斷一個(gè)命題是否為真時(shí)，尋找反例是一種非常有效的方法。如果能找到一個(gè)不符合命題結(jié)論的例子，則命題為假。5.及時(shí)驗(yàn)證：對(duì)于計(jì)算類或構(gòu)造類題目，完成后應(yīng)進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，檢查結(jié)果是否符合題意和相關(guān)性質(zhì)。例如，構(gòu)造一個(gè)等價(jià)關(guān)系后，檢查它是否滿足自反、對(duì)稱、傳遞性。6.時(shí)間管理：合理安排解題時(shí)間，不要在某一道難題上花費(fèi)過多時(shí)間，先完成有把握的題目，再回頭攻克難題?？偨Y(jié)與展望東北大學(xué)17秋學(xué)期《離散數(shù)學(xué)》在線作業(yè)2所涵蓋的集合論、二元關(guān)系、函數(shù)、代數(shù)系統(tǒng)初步及圖論基礎(chǔ)等內(nèi)容，是整個(gè)離散數(shù)學(xué)課程的核心組成部分。這些知識(shí)不僅是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)邏輯思維和抽象建模能力的關(guān)鍵。通過本次在線作業(yè)的練習(xí)與反思，希望同學(xué)們能夠：*查漏補(bǔ)缺：發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)過程中存在的薄弱環(huán)節(jié)，及時(shí)回顧教材和課堂筆記，鞏固所學(xué)知識(shí)。*深化理解：不僅僅停留在對(duì)概念的表面記憶，更要理解其內(nèi)涵、外延以及概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。*提升能力：通過解題實(shí)踐，提升運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砹?xí)慣。離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程。在線作業(yè)是其中的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，它幫助我們檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，調(diào)整學(xué)習(xí)策略。希望同學(xué)們能夠正視每一次作業(yè)，從中汲取養(yǎng)分，