專(zhuān)題10.5古典概型、概率的基本性質(zhì)（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"13"\h\u【題型1古典概型】 3【題型2有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率】 4【題型3根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)】 6【題型4幾何概型】 7【題型5概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】 9【題型6古典概型與統(tǒng)計(jì)綜合】 12【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題】 16【題型8古典概型與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題】 201、古典概型、概率的基本性質(zhì)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率(2)了解概率的基本性質(zhì)，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第9題，5分2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第4題，5分2024年新高考I卷：第14題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第4題，5分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第16題，5分2025年上海卷：第17題（2），4分古典概型、概率的基本性質(zhì)是概率的基礎(chǔ)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查古典概型及其計(jì)算、概率的基本性質(zhì)等，主要以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；在解答題中出現(xiàn)時(shí)，往往古典概型會(huì)與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)結(jié)合考查，作為解答題中的一小問(wèn)考查，難度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1古典概型及其解題策略1．古典概型(1)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱(chēng)為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定義我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性.并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型.下列三類(lèi)試驗(yàn)都不是古典概型：①樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)有限，但非等可能；②樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)無(wú)限，但等可能；③樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)無(wú)限，也不等可能.2．古典概型的概率計(jì)算公式3．求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：再求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí)進(jìn)行求解.4．古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟?wèn)題.知識(shí)點(diǎn)2概率的基本性質(zhì)1．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.性質(zhì)3性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1P(A)，P(A)=1P(B).性質(zhì)5性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).2．復(fù)雜事件概率的求解策略(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常?？紤]其對(duì)立事件，通過(guò)求其對(duì)立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.【方法技巧與總結(jié)】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B=?，即A,B互斥時(shí)，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此時(shí)P(A∩B)=0.【題型1古典概型】【例1】（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）某校高三年級(jí)編制的數(shù)學(xué)模擬卷，其多項(xiàng)選擇題中的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，規(guī)定：只要選擇了錯(cuò)誤項(xiàng)一律得0分，部分選對(duì)的得2分，若某題的正確答案是A，C，D，某考生隨機(jī)選了兩個(gè)選項(xiàng)，則其得分的概率為（

）A．34 B．310 C．16【答案】D【解題思路】利用古典概型的概率公式求解.【解答過(guò)程】由題意所求概率為C3故選：D.【變式11】（2025·山東臨沂·三模）蘇軾，字子瞻，號(hào)鐵冠道人、東坡居士.北宋文學(xué)家，書(shū)法家、畫(huà)家，歷史治水名人.與父蘇洵、弟蘇轍三人并稱(chēng)“三蘇”.為了紀(jì)念蘇軾在文學(xué)方面的偉大成就，某中學(xué)開(kāi)展“蘇軾文化競(jìng)賽”活動(dòng)，最終參加決賽共有7位同學(xué)，參加決賽的同學(xué)都有獎(jiǎng)，決賽設(shè)置一、二、三等獎(jiǎng).若要求獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于1人，獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于2人，獲得三等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于3人，則恰有2人獲得二等獎(jiǎng)的概率為（

）A．613 B．313 C．413【答案】D【解題思路】先確定獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的人數(shù)，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解答過(guò)程】設(shè)獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別為a、b、c，則a+b+c=7，因?yàn)橐螳@得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于1人，獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于2人，獲得三等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于3人，則a=1b=2c=4或a=1b=3所以恰有2人獲得二等獎(jiǎng)的概率為P=C故選：D.【變式12】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）某校派高一、高二、高三每個(gè)年級(jí)各2名學(xué)生參加某項(xiàng)技能大賽，比賽要求每2名學(xué)生組成一個(gè)小組，則在這6名學(xué)生組成的小組中，只有一個(gè)小組的2名學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)的概率為（

）A．215 B．13 C．25【答案】C【解題思路】利用古典概率模型進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【解答過(guò)程】6人分成3個(gè)小組，每個(gè)小組2人，共有C63個(gè)年級(jí)中選1個(gè)，該年級(jí)的2名學(xué)生組成一個(gè)小組，有C3剩余兩個(gè)年級(jí)（設(shè)為A、B年級(jí)）各有2名學(xué)生，A年級(jí)學(xué)生記為A1,A2，分組方式有A1,B1和A2所以，只有一個(gè)小組的2名學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)的概率為3×215故選：C.【變式13】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）老師從7篇不同的詩(shī)歌中隨機(jī)抽3篇讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少能背出其中2篇才算及格，甲同學(xué)只能背誦其中的3篇，則他能及格的概率為（

）A．1335 B．1235 C．1370【答案】A【解題思路】先算出從7篇詩(shī)歌中隨機(jī)抽3篇的總情況數(shù)n，再分別算出甲同學(xué)能背出2篇和3篇的情況數(shù)，兩者相加得到甲同學(xué)及格的情況數(shù)m，最后代入古典概型概率公式計(jì)算甲同學(xué)能及格的概率.【解答過(guò)程】計(jì)算從7篇詩(shī)歌中隨機(jī)抽3篇的總情況數(shù)，n=C計(jì)算甲同學(xué)能背出2篇的情況數(shù)，甲同學(xué)只能背誦其中3篇，那么從這3篇會(huì)背的中選2篇的組合數(shù)為C32，同時(shí)從剩下7?3=4篇不會(huì)背的中選1篇的組合數(shù)為所以甲同學(xué)能背出2篇的情況數(shù)為C3計(jì)算甲同學(xué)能背出3篇的情況數(shù)，從3篇會(huì)背的詩(shī)歌中選3篇的組合數(shù)為C33，根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算甲同學(xué)及格的情況數(shù)m，因?yàn)橹辽倌鼙吵?篇才算及格，所以甲同學(xué)及格的情況數(shù)為能背出2篇的情況數(shù)與能背出3篇的情況數(shù)之和，即m=C根據(jù)古典概型概率公式，將m=13，n=35代入可得P=13故選：A.【題型2有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率】【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色相同的概率為（

）A．1325 B．1225 C．35【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式，進(jìn)而求出古典概率.【解答過(guò)程】從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球的試驗(yàn)有C5取出的2個(gè)球顏色相同的事件有C3所以這2個(gè)球顏色相同的概率為C3故選：D.【變式21】（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機(jī)抽取3次，每次取一張，則抽到的3張卡片上的數(shù)字之和大于9的概率為（

）A．332 B．764 C．532【答案】C【解題思路】根據(jù)古典概型結(jié)合乘法原理計(jì)算即可.【解答過(guò)程】從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機(jī)抽取3次的所有情況有4×4×4=64種，抽到的3張卡片上的數(shù)字之和大于9的情況有3,3,4,所以抽到的3張卡片上的數(shù)字之和大于9的概率為P=10故選：C.【變式22】（2025·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A．310 B．13 C．35【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有1,3，1,6，2,3，2,6，3,4，3,5，3,6，4,6，5,6共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率P=9故選：C.【變式23】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）袋子中裝有5個(gè)形狀和大小相同的球，其中3個(gè)標(biāo)有字母a,2個(gè)標(biāo)有字母b.甲先從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，若甲?乙兩人摸到標(biāo)有字母a的球的概率分別為p1,p2A．p1=pC．p1=3p【答案】A【解題思路】利用古典概型的概率及全概率公式求出p1【解答過(guò)程】設(shè)A為“甲摸到標(biāo)有字母a的球”，B為“乙摸到標(biāo)有字母a的球”，則p1而p2故p1故選：A.【題型3根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)】【例3】（2425高一下·山西·期末）一個(gè)口袋中裝有20個(gè)紅球和若干個(gè)黑球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，為估計(jì)口袋中黑球的個(gè)數(shù)，小張采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個(gè)球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻.不斷重復(fù)上述過(guò)程900次，共摸出紅球400次，根據(jù)上述數(shù)值，估計(jì)口袋中黑球的個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】A【解題思路】設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為n，根據(jù)古典概型概率公式列式求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為n，由古典概型的概率公式可得2020+n=400故選：A.【變式31】（2025·上海徐匯·一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（

）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【答案】B【解題思路】因?yàn)橹貜?fù)摸球次數(shù)足夠多，所以將頻率視為概率，應(yīng)用古典概型概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)紅球個(gè)數(shù)為a，由題意可得：5a+5=0.1，解得：故選：B.【變式32】（2425高二上·廣東佛山·期末）一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的6個(gè)紅球，n個(gè)綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球.若取出的2個(gè)球都是紅球的概率為13，則n的值為（

A．4 B．5 C．12 D．15【答案】A【解題思路】利用古典概型概率計(jì)算公式列出方程，能求出n的值．【解答過(guò)程】一個(gè)袋子中有若干個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)紅球，n個(gè)綠球，從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，取出的2個(gè)球都是紅球的概率是13則6×56+n解得n=4（負(fù)值舍去）.故選：A．【變式33】（2425高一下·江蘇南京·期末）一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，為估計(jì)口袋中黃球的個(gè)數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個(gè)球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過(guò)程200次，共摸出紅球80次，根據(jù)上述數(shù)值，估計(jì)口袋中大約有黃球（

）個(gè)．A．10 B．15 C．25 D．40【答案】B【解題思路】設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n，利用古典概型的概率公式可得出關(guān)于n的等式，解出n的值即可.【解答過(guò)程】設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n，由古典概型的概率公式可得1010+n=80故選：B.【題型4幾何概型】【例4】（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）七巧板被譽(yù)為“東方魔板”，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的偉大發(fā)明之一，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向此正方形內(nèi)丟一粒小種子，則種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為（

）

A．18 B．38 C．516【答案】A【解題思路】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，求出大正方形的邊長(zhǎng)，以及黑色平行四邊形的底和高，再結(jié)合幾何概型公式求解.【解答過(guò)程】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，可得黑色平行四邊形底為2，高為22黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為22，即大正方形邊長(zhǎng)為2故種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為2×故選：A.【變式41】（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O是正三角形ABC的內(nèi)切圓，則在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A．3π9?14 B．3π【答案】D【解題思路】利用等面積法求出正三角形ABC的邊長(zhǎng)與其內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，再利用幾何概型求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，由S△ABC得12×a×a?所以S△ABC內(nèi)切圓得面積S1所以陰影部分得面積為33所以該點(diǎn)取自陰影部分的概率為33故選：D.【變式42】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）將長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段隨機(jī)剪成兩段，則兩段長(zhǎng)度都不小于13的概率是（

A．16 B．14 C．13【答案】C【解題思路】設(shè)其中一段為x0<x<1，根據(jù)所給條件求出x【解答過(guò)程】設(shè)其中一段為x0<x<1，則另一段為1?x依題意x≥131?x≥所以?xún)啥伍L(zhǎng)度都不小于13的概率P=故選：C.【變式43】（2025·四川南充·三模）如圖，圓O內(nèi)接一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形ABC內(nèi)的概率為（

）A．14 B．34 C．12【答案】C【解題思路】連接OA，OC，設(shè)圓的半徑為r，求出AC，利用扇形面積公式求出扇形ABC的面積，再結(jié)合幾何概型求概率公式求解．【解答過(guò)程】連接OA，OC，則∠OAC=30°，OA=OC=r，取AC中點(diǎn)D，連接OD，則OD⊥AC，其中AD=CD=rcos所以AC=2AD=3所以扇形ABC的面積為12又因?yàn)閳A的面積為πr所以在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在扇形ABC內(nèi)的概率為12故選：C.【題型5概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】【例5】（2425高二下·上?！て谥校┮阎录嗀與事件B相互獨(dú)立，且PA=0.3,?PBA．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率及概率的基本性質(zhì)計(jì)算得解.【解答過(guò)程】由事件A與事件B相互獨(dú)立，PA=0.3,?所以PA∪B故選：C.【變式51】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為45，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率為23，則事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率的取值范圍是（A．815,23 B．715,【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)及概率的取值范圍求解即得.【解答過(guò)程】依題意，P(A)=45,P(B)=得P(AB)≥P(A)+P(B)?1=45+則當(dāng)B?A時(shí)，P(AB)=P(B)=2所以事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率的取值范圍是[7故選：C.【變式52】（2425高一下·陜西西安·期末）已知隨機(jī)事件A，B滿(mǎn)足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=5A．116 B．18 C．316【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】依題意，P(A∩B)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=1故選：D.【變式53】（2425高三上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）事件A與B獨(dú)立，A、B分別是A、B的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（

）A．P(A∪B)=P(A)P(B) B．P(A∪B)=P(A)+P(B)C．PAB=P(A)P【答案】C【解題思路】利用獨(dú)立事件的乘法公式和概率的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】事件A與B獨(dú)立，A、B分別是A、B的對(duì)立事件，故P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A)P(B)，故AB錯(cuò)誤；PAPA∪B故選：C.【題型6古典概型與統(tǒng)計(jì)綜合】【例6】（2425高一下·北京·期中）某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在[20,45]內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.(1)求選取的市民年齡在[40,45]內(nèi)的人數(shù)；(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)200名市民的年齡的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；(3)若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再?gòu)闹羞x取2人在座談會(huì)中作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在[35,40)內(nèi)的概率.【答案】(1)20(2)平均數(shù)32.25;第80百分位數(shù)37.5(3)7【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，先求出年齡在40,45內(nèi)的頻率，再求出頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求出組中值，利用組中值求平均數(shù)即可，第80百分位數(shù)即為左側(cè)面積為0.8的線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的值；（3）先確定從第3，4組中分別抽取3人，2人.再根據(jù)古典概型公式求解概率即可.【解答過(guò)程】（1）（1）由題意可知，年齡在40,45內(nèi)的頻率為P=0.02×5=0.1，故年齡在40,45內(nèi)的市民人數(shù)為200×0.1=20.（2）(2)平均數(shù)為22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.2532.25;前三組的頻率和為0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7，第四組的頻率為0.04×5=0.2，所以第80百分位數(shù)在第四組，第80百分位數(shù)為35+0.1（3）（3）易知，第3組的人數(shù)，第4組人數(shù)都多于20，且頻率之比為3:2，所以用分層抽樣的方法在第3、4兩組市民抽取5名參加座談，所以應(yīng)從第3，4組中分別抽取3人，2人.記第3組的3名分別為A1，A2，A3，第4組的2名分別為B1，B2，則從5名中選取2名作重點(diǎn)發(fā)言的所有情況為A1,A2，A1,A3，A1,其中第4組的2名B1，B2至少有一名被選中的有：A1,B1，A1,B2，所以至少有一人的年齡在35,40內(nèi)的概率為710【變式61】（2025·北京東城·二模）已知近10年北京市12月和1月歷史氣溫分別如下圖所示.(1)從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，求該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率；(2)將當(dāng)年12月和次年1月作為當(dāng)年的冬季周期，記當(dāng)年12月平均高溫與平均低溫的差值為a（單位：攝氏度），次年1月平均高溫與平均低溫的差值為b（單位：攝氏度）.從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少有2個(gè)冬季周期中a=b的概率；(3)依據(jù)圖2中信息，能否預(yù)測(cè)北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)4(2)1(3)不能預(yù)測(cè)，理由見(jiàn)解析【解題思路】（1）由圖結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式求解即可；（2）先確定滿(mǎn)足a=b的冬季周期的個(gè)數(shù)，然后利用組合數(shù)計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)分析即可.【解答過(guò)程】（1）由圖可知從2016年至2024年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的有2017，2018，2020，2022，所以從2016年至2024年這9年中隨機(jī)抽取一年，該年12月平均高溫和平均低溫都低于前一年的概率為49（2）由已知可得從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期分別為8,8,滿(mǎn)足a=b的有4個(gè)，從2015年至2024年這10個(gè)冬季周期中隨機(jī)抽取3個(gè)，至少有2個(gè)冬季周期中a=b的概率為C4（3）不能預(yù)測(cè)北京市2026年1月平均高溫低于4攝氏度，理由如下：從圖2可以看出，1月平均高溫?cái)?shù)據(jù)雖有波動(dòng)，但沒(méi)有明顯的單調(diào)遞增或遞減的線(xiàn)性趨勢(shì)，數(shù)據(jù)的波動(dòng)是隨機(jī)的，沒(méi)有足夠的依據(jù)能從過(guò)去10年的數(shù)據(jù)直接推斷2026年1月平均高溫低于4攝氏度.【變式62】（2025·上海楊浦·一模）為加強(qiáng)學(xué)生睡眠監(jiān)測(cè)督導(dǎo)，學(xué)校對(duì)高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機(jī)抽樣法，學(xué)校在高一?高二和高三年級(jí)中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時(shí)間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級(jí)一共512人.(1)學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有多少個(gè)學(xué)生？(2)若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中x<10,n是正整數(shù)）日均睡眠時(shí)間（小時(shí)）x8.599.510學(xué)生數(shù)量n3213114求該樣本的第40百分位數(shù).(3)從這100名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間，求其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自高三學(xué)生的概率.【答案】(1)1600(2)8.25(3)2536【解題思路】1根據(jù)分層抽樣，按比例抽取即可得到答案．2根據(jù)極差可得x=8，再結(jié)合學(xué)生總數(shù)量為100，可求出n=40，再根據(jù)求第p百分位數(shù)的方法即可求得.3根據(jù)古典概型的概率計(jì)算，如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為PA【解答過(guò)程】（1）設(shè)學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有N個(gè)學(xué)生,因?yàn)椴捎梅謱映闃臃ǔ槿∫粋€(gè)容量為100的樣本，在高一年級(jí)抽取了35人，高二年級(jí)抽取了33人，所以高三抽取的人數(shù)為：100?35?33=32人，又因?yàn)楦呷昙?jí)一共512人，所以有：32512=100所以學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有1600個(gè)學(xué)生.（2）因?yàn)槌槿?00名學(xué)生的樣本極差為2，x<10,n所以10?x=2?x=8,n=100?32?13?11?4=40.又因?yàn)?00×0.4=40（3）因?yàn)?00名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的總情況數(shù)為：C其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自高三學(xué)生的情況為：C所以至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自高三學(xué)生的概率為：P=【變式63】（2025·上?！ひ荒＃┠承酒S生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)已知甲型芯片指標(biāo)在80,100為航天級(jí)芯片，乙型芯片指標(biāo)在60,70為航天為航天級(jí)芯片．現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在70,90內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在50,70內(nèi)取4件，再?gòu)倪@6件中任取2件，求至少有一件為航天級(jí)芯片的概率．【答案】(1)x=0.020，x=47(2)PE【解題思路】（1）由頻率和為1求出x得值，根據(jù)平均數(shù)公式求出平均值.（2）根據(jù)條件列舉樣本容量和樣本點(diǎn)的方法，列式求解.【解答過(guò)程】（1）由題意得10×0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x=1，解得由頻率分布直方圖得乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值：x=（2）根據(jù)分層抽樣得，來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在70,80和80,90的各1件，分別記為A和B，來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在50,60和60,70分別為3件和1件，分別記為C1，C2，C3從中任取2件，樣本空間可記為Ω=A,B，A,C1，A,C2，B,C2，B,C3，B,D，C1,C2，C1記事件E：至少有一件為航天級(jí)芯片,則E=A,B，A,D，B,C1，B,B,D，C1,D，C2所以PE【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題】【例7】（2025·江西·一模）從1，2，……，10中取三個(gè)不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等差數(shù)列的概率為（

）A．13 B．112 C．14【答案】D【解題思路】設(shè)取出的3個(gè)不同的數(shù)分別為a、b、c，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析可知故a、c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，且a與c確定后，b隨之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案.【解答過(guò)程】設(shè)取出的3個(gè)不同的數(shù)分別為a、b、c，不同的取法共有C10若這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則有a+c=2b.故a、c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，且a與c確定后，b隨之而定.從而所求概率為C5故選：D．【變式71】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）從?2，?1，1，2，3，4，5，6這8個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差或等比數(shù)列的概率是（

）A．956 B．528 C．1156【答案】C【解題思路】根據(jù)古典概型概率公式，需要確定從8個(gè)中選出3個(gè)數(shù)的總情況數(shù)，再分別找出能夠構(gòu)成等差或等比數(shù)列的組合數(shù)目，最后計(jì)算概率．【解答過(guò)程】從8個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)共有C8能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：公差為1或?1的有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，公差為2或?2的有{?1,1,3}，{1,3,5}，{2,4,6}，公差為3或?3的有{?2,1,4}，{?1,2,5}，公差為4或?4的有{?2,2,6}，共10種情況；能構(gòu)成等比數(shù)列的情況有：公比為?12或?2的有公比為12或2的有{1,2,4}但{4,?2,1}既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，算一種情況．所以構(gòu)成等差或等比數(shù)列的概率是1156故選：C．【變式72】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)n∈N，通過(guò)拋擲一枚均勻硬幣n次后生成有序數(shù)對(duì)an,bn，具體生成規(guī)則如下：①規(guī)定a0,b0=0,0；②當(dāng)?shù)趎n≥1次拋擲硬幣時(shí)：如果出現(xiàn)硬幣正面朝上，若an?1<bn?1，則a(1)寫(xiě)出a2,b2的所有可能結(jié)果，并求(2)證明：數(shù)列Pn?1(3)設(shè)Fn=e【答案】(1)答案見(jiàn)解析，P1=0，(2)證明見(jiàn)解析，P(3)答案見(jiàn)解析【解題思路】（1）利用枚舉法可求所有可能結(jié)果，由古典概型的概率公式可求概率；（2）由全概率公式可求Pn=1（3）結(jié)合（2）的結(jié)果可求Pn的最大項(xiàng)，從而可求F【解答過(guò)程】（1）當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，若正面朝上，由a0,b則a1若反面朝上，由a0,b則a1當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，如果正面朝上，此時(shí)若第1次正面朝上，由a1,b則a此時(shí)若第1次反面朝上，由a1,b則a當(dāng)?shù)?次拋擲硬幣時(shí)，如果反面朝上，此時(shí)若第1次正面朝上，由a1,b則a此時(shí)若第1次反面朝上，由a1,b則a所以a2,b2的所有可能結(jié)果共3個(gè)，所以（2）由（1）的分析可得a1當(dāng)?shù)趎n≥1如果出現(xiàn)硬幣正面朝上，若an?1則an,b否則an,b而?1≤an?1?1?如果出現(xiàn)硬幣反面朝上，同理有an?b當(dāng)an?1>b有an,bn=an?1有an,bPn即Pn=?所以Pn?13是以所以Pn?1（3）由（2）知Pn而F′x=ex?故Pn最大時(shí)F當(dāng)n>1且n為奇數(shù)時(shí)，Pn當(dāng)n>1且n為偶數(shù)時(shí)，Pn且Pn=1所以Pn=所以Fn【變式73】（2025·山東泰安·二模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，n∈N?，記ai為第i次拋擲得到的點(diǎn)數(shù)，(1)求a1(2)若前m次點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為Pm,m=2,3,?,7，且m=27Pm=（?。┣骲的值；（ⅱ）已知正項(xiàng)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn,【答案】(1)1(2)（ⅰ）1（ⅱ）證明見(jiàn)解析【解題思路】（1）寫(xiě)出樣本事件空間，根據(jù)古典概型求概率即可；（2）（ⅰ）求出m=27Pm（ⅱ）由所給條件可得1cn+1【解答過(guò)程】（1）a1+a∵樣本空間Ω=∴n(Ω∵7=1+6=2+5=3+4，∴A=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)∴n(A)=6，∴PA即a1+a（2）（?。┊?dāng)m=2時(shí)，由（1），P2當(dāng)m=3時(shí)，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3，∴P當(dāng)m=4時(shí)，7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，∴P當(dāng)m=5時(shí)，7=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2，∴P當(dāng)m=6時(shí)，7=1+1+1+1+1+2,∴P當(dāng)m=7時(shí)，P7∴==1∵6,7互質(zhì)，t,r互質(zhì)，∴t=7∴b=log（ⅱ）證明：∵c∵S∴當(dāng)n≥2時(shí)，c1∴c∴c∴1∴i=2∵c∴i=2【題型8古典概型與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題】【例8】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）從正方體ABCD?A1BA．12 B．14 C．13【答案】D【解題思路】結(jié)合圖形確定正四面體及正三棱錐的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概率模型計(jì)算公式即可求解.【解答過(guò)程】由4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的正三棱錐有兩類(lèi)，第一類(lèi)是正四面體，如四面體A1BC第二類(lèi)是正三棱錐但非正四面體，如正三棱錐A?BDAA1故所求概率為22+8故選：D.【變式81】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知3x+3A．89 B．79 C．23【答案】B【解題思路】先由第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等求出n的值，然后求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，利用插空法求出有理項(xiàng)互不相鄰的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)?x所以Cn2=所以3x+3x8當(dāng)r=0或r=6時(shí)，?4+5若將展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新隨機(jī)排列，則所有的排列共有A99種，其中有理項(xiàng)互不相鄰的排列有所以所求的概率為P=A故選：B.【變式82】（2025·浙江寧波·三模）在1，2，3，…，7這7個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).(1)求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；(2)設(shè)X為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)X的值是2）.求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX【答案】(1)1835(2)分布列見(jiàn)解析，期望為67【解題思路】（1）應(yīng)用組合數(shù)求任選三個(gè)、恰有一個(gè)偶數(shù)的選法數(shù)，再由古典概型的概率求法求概率；（2）由題意X的可能值為0,1,2，再求出對(duì)應(yīng)概率寫(xiě)出分布列，進(jìn)而求期望.【解答過(guò)程】（1）從7個(gè)自然數(shù)中任選三個(gè)有C73=35所以這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率1835（2）由題設(shè)，X的可能值為0,1,2，X=2有{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}共有5種，X=0有{1,3,5}、{1,3,6}、{1,3,7}、{1,4,6}、{1,4,7}、{1,5,7}、{2,4,6}、{2,4,7}、{2,5,7}、{3,5,7}共有10種，X=1有35?5?10=20種，所以P(X=0)=1035=27X的分布列如下，X012P241E(X)=0×2【變式83】（2025·湖南·三模）某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)的體育開(kāi)展情況，隨機(jī)抽取了20位高三學(xué)生作為樣本進(jìn)行體育綜合測(cè)試，體育綜合測(cè)試成績(jī)分4個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示：等級(jí)不及格及格良優(yōu)分?jǐn)?shù)1234人數(shù)3953(1)若從樣本中隨機(jī)選取2位學(xué)生，求所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率；(2)用樣本估計(jì)總體，以頻率代替概率.若從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取n位學(xué)生，記所選學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤鬾=3，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若n=20，當(dāng)k為何值時(shí)，PX=k【答案】(1)69(2)（?。┓植剂幸?jiàn)解析，EX=65；（ⅱ）【解題思路】（1）設(shè)事件M=“選取的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同”，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合古典概型計(jì)算即可得概率；（2）（?。﹏=3時(shí)，X～B3,25，結(jié)合二項(xiàng)分布求解概率分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）n=20時(shí)，X～B20,25，由于【解答過(guò)程】（1）設(shè)事件M=“選取的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同”，則PM故所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率為6995（2）設(shè)A=“學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3”，則PA（?。┤鬾=3，X的可能取值為0,1,2,3，由題意可得X～B3,又PX=0=1?PX=2=C所以X的分布列為：X0123P2754368由于X～B3,25（ⅱ）若n=20，則X～B20,所以PX=k由于PX=k所以PX=k≥PX=k?1即20?k+1k因?yàn)閗∈N?，k∈0,20，所以k=8一、單選題1．（2425高一下·廣東深圳·期末）已知兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，其中PA=12，PB=3A．14 B．13 C．12【答案】D【解題思路】因?yàn)锳和B是兩個(gè)隨機(jī)事件,所以由P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)锳和B是兩個(gè)隨機(jī)事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)則P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=故選：D.2．（2025·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）6個(gè)數(shù)字1，2，2，2，3，5排成一排構(gòu)成一個(gè)六位數(shù)，則這個(gè)六位數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A．12 B．23 C．415【答案】A【解題思路】由題知6個(gè)數(shù)中只有3個(gè)不同的數(shù)，總事件為六位數(shù)選3個(gè)出來(lái)全排，剩下2個(gè)為2，若六位數(shù)為偶數(shù)，個(gè)位數(shù)必為2，則前面5位中選3位進(jìn)行全排，然后計(jì)算概率即可.【解答過(guò)程】6個(gè)數(shù)中只有3個(gè)不同的數(shù)，總事件為六位數(shù)選3個(gè)出來(lái)全排，剩下2個(gè)為2，則共有C6若六位數(shù)為偶數(shù)，個(gè)位數(shù)必為2，則前面5位中選3位進(jìn)行全排，共有C5所以概率P=故選：A.3．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組為了了解我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，先后去圖書(shū)館借閱了5本古代數(shù)學(xué)名著：《周髀算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《海島算經(jīng)》?《孫子算經(jīng)》和《張丘建算經(jīng)》，該小組每次隨機(jī)借閱一本名著，且歸還后再隨機(jī)借閱下一本（已借閱的不會(huì)重復(fù)借閱）．則最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》的概率為（

）A．115 B．9125 C．18125【答案】D【解題思路】由古典概率的計(jì)算公式求解即可.【解答過(guò)程】所有可能的借閱順序總數(shù)為：A5最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》，所以前兩本的順序可以是《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》或者《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》，有2種情況，最后一本已經(jīng)確定是《孫子算經(jīng)》，中間2本為《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》，有2種情況，設(shè)最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》為事件A，則PA故選：D.4．（2425高二上·浙江杭州·期中）設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記A,B為事件A,B的對(duì)立事件，且P(A)=25,P(B)=A．1115 B．815 C．1415【答案】D【解題思路】根據(jù)已知條件求出P(A)和P(B)，再利用概率的性質(zhì)求出【解答過(guò)程】因?yàn)镻(A)=25，所以又P(AB)=P(A)?P(A所以P(A故PA故選：D.5．（2025·陜西銅川·三模）如圖是一個(gè)射擊靶的示意圖，其中每個(gè)圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒(méi)有脫靶，則其命中9環(huán)的概率為（

）A．316 B．116 C．18【答案】A【解題思路】設(shè)中心10環(huán)圓的半徑為r，則大圓的半徑為4r，求出大圓的面積與9環(huán)所在圓環(huán)的面積，再由幾何概型的概率公式計(jì)算可得.【解答過(guò)程】設(shè)中心10環(huán)圓的半徑為r，則射擊靶所在大圓的半徑為4r，面積為π×9環(huán)所在圓環(huán)的面積為π×2r2故選：A.6．（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=x∈Nx2?5x<0，從集合A的非空子集中任取兩個(gè)集合BA．57 B．1021 C．521【答案】C【解題思路】解一元二次不等式，求出集合A中的元素，計(jì)算集合A的所有非空子集的個(gè)數(shù)，分類(lèi)討論其中兩個(gè)集合B1，B【解答過(guò)程】由x2?5x<0，解得0<x<5，所以A=1,2,3,4當(dāng)B1中有一個(gè)元素時(shí)，B2是剩下三個(gè)元素的非空子集，則有當(dāng)B1中有兩個(gè)元素時(shí)，B2是剩下兩個(gè)元素的非空子集，則有當(dāng)B1中有三個(gè)元素時(shí)，B2是剩下一個(gè)元素的非空子集，則有根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，其中有一半是重復(fù)的情況，則B1，B2交集為空實(shí)際有任取兩個(gè)集合B1，B2交集為空集的概率為故選：C.7．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）在4個(gè)人中選若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班兩天，其中甲恰有一天值班的概率為（

）A．14 B．12 C．712【答案】C【解題思路】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分類(lèi)，數(shù)清楚樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用古典概型即可得到答案.【解答過(guò)程】計(jì)算總可能值班的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：每天值班人選從4人中選1人，且相鄰兩天值班人不同.第一天：有4種選擇（任何一人均可）；第二天：不能與第一天相同，因此有3種選擇（排除第一天的人）；第三天：不能與第二天相同，因此有3種選擇（排除第二天的人）.總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：4×3×3=36.計(jì)算甲恰有一天值班的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：甲只在第一天值班有1×3×2=6種，甲只在第二天值班有1×3×3=9種，甲只在第三天值班有1×3×2=6種.所以有古典概型知：P=6+9+6故選：C.8．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽并求標(biāo)簽上的數(shù)字之和．記不放回地選取且和為6的概率為P1，有放回地選取且和為6的概率為P2，則P1A．2 B．1 C．23 D．【答案】B【解題思路】根據(jù)古典概型概率公式，求出事件概率，計(jì)算結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意知6=1+5=2+4=3+3，不放回地選取共有20個(gè)樣本點(diǎn)，標(biāo)簽上的數(shù)字之和為6有4個(gè)樣本點(diǎn)，分別為(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)，所以P1有放回地選取共有25個(gè)樣本點(diǎn)，標(biāo)簽上的數(shù)字之和為6有5個(gè)樣本點(diǎn)，分別為(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，所以P2則P1故選：B.二、多選題9．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）粉筆盒中只裝了白紅黃藍(lán)綠5支不同顏色的粉筆，老師上課時(shí)隨機(jī)使用了3支，下列結(jié)論中正確的是（

）A．事件“白色與紅色粉筆都用到”與“白色與紅色粉筆至少1支用到”為互斥事件B．事件“白色與紅色粉筆都用到”與“白色與紅色粉筆至多1支用到”為對(duì)立事件C．白色與紅色粉筆都用到的概率為2D．白色與紅色粉筆至少1支用到的概率為9【答案】BD【解題思路】根據(jù)題意，由互斥事件的定義，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)立事件的定義，可得判定B正確，利用列舉法，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，可判定C錯(cuò)誤，D正確.【解答過(guò)程】記白、紅、黃、藍(lán)、綠顏色的粉筆分別為：A,B,a,b,c，對(duì)于A中，“A,B都入選”與“A,B至少1支入選”可以同時(shí)發(fā)生，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，對(duì)于A,B是否入選所有事件類(lèi)型有：A,B都入選，A入選B不入選，A不入選B入選和A,B都不入選，所以事件“白色與紅色粉筆都用到”與“白色與紅色粉筆至多1支用到”為對(duì)立事件，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)從5支中隨機(jī)選3支，則有(A,B,a)，(A,B,b)，(A,B,c)，(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(a,b,c)，共10種選法，其中A,B都入選的選法有3種，故所求概率P=3對(duì)于D中，由A,B至少1支入選的選法有9種，故所求概率P=9故選：BD．10．（2025·甘肅白銀·三模）定義：對(duì)一個(gè)三位數(shù)來(lái)說(shuō)，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都小，則稱(chēng)它為“三位凹數(shù)”，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱(chēng)其為“三位凸數(shù)”，現(xiàn)從1至9共9個(gè)數(shù)中，選取3個(gè)不同的數(shù)排成三位數(shù)M，則（

）A．排成的“三位凹數(shù)”共有168個(gè)B．排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等C．從所有的M中隨機(jī)抽取一個(gè)三位數(shù)，該三位數(shù)是“三位凸數(shù)”的概率為1D．從所有的M中隨機(jī)抽取兩個(gè)三位數(shù)，至少有一個(gè)是“三位凹數(shù)”的概率為2【答案】ABC【解題思路】根據(jù)“三位凹數(shù)”和“三位凸數(shù)”的定義，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式，可判定A正確；求得“三位凹數(shù)”和“三位凸數(shù)”的個(gè)數(shù)，可判定B正確；由三位數(shù)M的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，可判定C正確；結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率公式，可判定D錯(cuò)誤.【解答過(guò)程】對(duì)于A中，從9個(gè)數(shù)中選3個(gè)數(shù)，有C9將最小的數(shù)作為十位數(shù)字，剩下兩個(gè)數(shù)隨意作為百位和個(gè)位上的數(shù)字，有A22種，故共有對(duì)于B中，由A知排成的“三位凸數(shù)”共有C9所以排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等，所以B正確；對(duì)于C中，由三位數(shù)M共有A93=504對(duì)于D中，由三位數(shù)M共有A9任取兩個(gè)三位數(shù)有C504任取兩個(gè)非“三位凹數(shù)”有C3362種，所以至少有一個(gè)是“三位凹數(shù)”的概率為故選：ABC.11．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）高考來(lái)臨之際，某校食堂的午飯針對(duì)高三學(xué)生推出了多種營(yíng)養(yǎng)套餐，其中10元套餐是從A、B、C、D、E五道菜中任選三道菜，甲、乙兩位同學(xué)午飯都選擇了此套餐，假設(shè)甲、乙兩人選擇每道菜品都是等可能的且兩人選擇菜品互不影響，則（

）A．甲選了A的概率為3B．甲選了A且乙不選B的概率為6C．甲乙兩人所選的菜品完全相同的概率為1D．甲乙兩人選的菜品恰有一個(gè)相同的概率為3【答案】ABD【解題思路】根據(jù)古典概率的計(jì)算公式列式計(jì)算判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，甲同學(xué)選A這道菜的概率為C4對(duì)于B，由A選項(xiàng)得甲選了A且乙不選B的概率為C4對(duì)于C，甲乙兩人所選的菜完全相同的概率為1×1對(duì)于D，甲乙兩人選的菜恰有一個(gè)相同的概率為C5故選：ABD.三、填空題12．（2025·湖南·三模）甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲、乙命中目標(biāo)的概率分別為34，45，則目標(biāo)至少被擊中1次的概率為【答案】19【解題思路】方法一：設(shè)出事件，根據(jù)PA+B方法二：先求出目標(biāo)沒(méi)有被擊中的概率，利用對(duì)立事件的概率公式求解即可.【解答過(guò)程】方法一：設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，則PA=3所以目標(biāo)至少被擊中1次的概率PA+B方法二：設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，則PA=34，PB所以目標(biāo)沒(méi)有被擊中的概率為PA目標(biāo)至少被擊中1次的概率為1?故答案為：192013．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩人進(jìn)行擲骰子比賽，在每輪比賽中，兩人各自隨機(jī)投擲質(zhì)地均勻的骰子一次，規(guī)定點(diǎn)數(shù)大的得2分，點(diǎn)數(shù)小的得0分，點(diǎn)數(shù)相同時(shí)各得1分，三輪比賽結(jié)束后，甲得4分的概率為.【答案】145【解題思路】根據(jù)古典概型的概率公式分別計(jì)算每輪比賽得分所對(duì)應(yīng)的概率，再分情況討論三輪比賽的得分情況，即可得解.【解答過(guò)程】用a,b分別表示甲?乙兩人投擲一枚骰子的結(jié)果，因?yàn)榧?乙兩人每次投擲均有6種結(jié)果，則在一輪游戲中，共包含6×6=36（個(gè)）等可能的基本事件.其中，甲得2分，即a>b包含的基本事件有2,1，3,1，3,2，4,1，4,2，4,3，5,1，5,2，5,3，5,4，6,1，6,2，6,3，6,4，6,5共15個(gè)，則甲每輪得2分的概率為1536=512.同理可得，甲每輪得0分的概率也是512設(shè)事件A表示三輪比賽結(jié)束后甲得4分，則事件A可分兩類(lèi)情形：①甲有兩輪得2分，一輪得0分，概率為P1②甲有一輪得2分，兩輪得1分，概率為P2所以PA故答案為：14557614．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某停車(chē)場(chǎng)有2行4列共8個(gè)停車(chē)位，現(xiàn)有2輛紅色汽車(chē)和2輛黑色汽車(chē)要停車(chē)，則相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的概率為.【答案】1【解題思路】首先根據(jù)分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況，再結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【解答過(guò)程】先計(jì)算相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況種數(shù).第一步：停紅色汽車(chē)，第一輛紅色汽車(chē)在第一行選一個(gè)位置有四個(gè)位置可選，第二輛紅色汽車(chē)在第二行有三個(gè)位置可選，由于兩輛紅色汽車(chē)可以互換，故有4×3×2=24種；第二步：停黑色汽車(chē)，分成兩種情況：若第一輛黑色汽車(chē)停在第一行且與紅色汽車(chē)同列，則另一輛黑色汽車(chē)有3種停法，若第一輛黑色汽車(chē)停在第一行且與紅色汽車(chē)不同列有2種停法，此時(shí)另一輛黑色汽車(chē)有2種停法，由于兩輛黑色汽車(chē)可以互換，故有3+2×2×2=14因此，相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況種數(shù)共有24×14種，8個(gè)車(chē)位停入4輛車(chē)的試驗(yàn)共有8××7×6×5種情況，所以相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的概率為24×148×7×6×5故答案為：15四、解答題15．（2425高一下·山東臨沂·期末）猜燈謎是元宵節(jié)特色活動(dòng)之一.甲、乙兩人獨(dú)立地參加了今年的元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)，已知甲猜對(duì)的概率為35，乙猜對(duì)的概率為p，甲、乙都猜不對(duì)的概率為2(1)求p；(2)求甲、乙恰有一人猜對(duì)燈謎的概率.【答案】(1)2(2)7【解題思路】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的性質(zhì)求解即可；（2）利用概率的性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】（1）設(shè)事件A為“甲能猜對(duì)燈謎”，事件B為“乙能猜對(duì)燈謎”，由題意得，A與B相互獨(dú)立，且PA=3故甲、乙都猜不對(duì)的概率：PA故p=2（2）甲、乙恰有一人猜對(duì)燈謎的事件為AB且PA故甲、乙恰有一人猜對(duì)燈謎的概率為71516．（2025·河北秦皇島·三模）某村為提高村民收益，種植了一批蘋(píng)果樹(shù)，現(xiàn)為了更好地銷(xiāo)售，從該村的蘋(píng)果樹(shù)上隨機(jī)摘下100個(gè)蘋(píng)果，測(cè)得其質(zhì)量（單位：克）均分布在區(qū)間150,?(1)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間175,?(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，已知該村每畝蘋(píng)果樹(shù)上大約還有50000個(gè)蘋(píng)果待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A．所有蘋(píng)果均以4元/千克收購(gòu)；B．低于225克的蘋(píng)果以0.8元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)，高于或等于225克的蘋(píng)果以1元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案．【答案】(1)110(2)方案B.【解題思路】（1）先根據(jù)頻率比確定在不同區(qū)間內(nèi)抽取的蘋(píng)果個(gè)數(shù)，再利用組合數(shù)準(zhǔn)確計(jì)算從抽取的蘋(píng)果中選2個(gè)的所有情況數(shù)以及滿(mǎn)足條件（質(zhì)量均小于200克）的情況數(shù)，最后依據(jù)古典概型概率公式求解.（2）一是利用頻率分布直方圖的性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算各區(qū)間頻率和蘋(píng)果質(zhì)量的平均數(shù)，進(jìn)而得到總質(zhì)量用于方案A收益計(jì)算；二是分別算出不同質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)下蘋(píng)果的個(gè)數(shù)，用于方案B收益計(jì)算，最后通過(guò)比較收益大小做出合理選擇.【解答過(guò)程】（1）由題圖可得蘋(píng)果質(zhì)量在區(qū)間175,?200和200,?所以應(yīng)分別在質(zhì)量為175,?所以所求概