高一期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學本卷滿分分，考試時間分鐘.答題卡的指定位置考試結(jié)束后，將答題卡交回.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.85分在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.樣本數(shù)據(jù)210，224，201，244的第50百分位數(shù)為（）A.210B.217C.222D.224【答案】B【解析】【分析】由百分位數(shù)的計算可得.【詳解】由題意可知第50百分位數(shù)即中位數(shù)，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排序為201，210，224，244，則樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.2.已知平面向量，，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件B.甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行坐標運算可得或，再由充分條件和必要條件定義判斷即可.【詳解】若，則，解得或，因為能推出，但不一定能得，第1頁/共15頁所以甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件.故選：A.3.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由分式不等式的運算和二次根式的取值再結(jié)合集合的運算可得.【詳解】不等式即，即，由知，而，故.故選：C.4.設(shè)正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用1的代換及基本不等式計算即可.【詳解】由題意可得，當且僅當時，等號成立.故選：D.5.已知函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第2頁/共15頁的定義域可知不等式在解出的范圍即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以不等式在上恒成立，所以，解得，故選：A6.定義在上的函數(shù)滿足，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，將選項中涉及的自變量值代入分析即可.【詳解】對于A，B選項：將10和0分別代入和得：，即，因為，所以，故A，B錯誤.對于C，D選項：將20和0分別代入和得：，即，因為，所以，故C錯誤，D正確.故選：D.7.某地開展志愿服務(wù)，小藍，小黃等人充當志愿者，現(xiàn)將他們均分成三組，則小藍和小黃不在同一組的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用排列組合的方法求出事件發(fā)生的個數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率公式直接求解即可.【詳解】將他們?nèi)司殖扇M的方法種數(shù)有，第3頁/共15頁小藍和小黃不在同一組的方法種數(shù)有，故小藍和小黃不在同一組的概率.故選：D8.已知函數(shù)，當時，，當時，，，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通過對分段函數(shù)的討論，求解不等式即可.【詳解】由題可知：當時，，故在時單調(diào)遞減；當時，，，則函數(shù)在時只可能為常函數(shù)，且常數(shù)等于，所以分段函數(shù)：，解不等式：需分類討論：（1）且，即，此時：，，不等式變?yōu)椋簝蛇叾际侵笖?shù)函數(shù)，底數(shù)，單調(diào)遞增，故可比較指數(shù)：，所以；（2）且，即無解；（3）且，即,,,第4頁/共15頁不等式：，即，所以；（4）且，即，此時，，函數(shù)值相等不符合題意；綜上可得：解集為.故選：D.36分在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)是平面內(nèi)的一組基底向量，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A.和B.和C.和D.和【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量是否共線，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，假設(shè)，則使得，因為不共線得且，則無解，故，不共線可作為一組基底；對于B，因為，所以，不能作為基底；對于C，因為，所以，不能作為基底；對于D使得不共線得且，則無解，故和不共線可作為一組基底.故選:BC.10.設(shè)函數(shù)，則（）第5頁/共15頁A.函數(shù)為奇函數(shù)B.，C.，，D.區(qū)間上存在的零點【答案】BD【解析】【分析】選項A判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)，只需判斷是否成立；選項B判斷函數(shù)的C當，，所以函數(shù)無下界，故不存在；選項D根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】已知，則，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故，故B正確；可得在上單調(diào)遞減，當，，，故，則函數(shù)無下界，故不存在，使得對任意的，都滿足，故C錯誤；因為，，所以，由零點存在定理可知，區(qū)間上存在的零點，故D正確.故選：BD.已知樣本數(shù)據(jù)，，的方差為6，則（）第6頁/共15頁A.該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)無最值B.數(shù)據(jù)，，的方差為9C.該組樣本數(shù)據(jù)極差的最大值為6D.該組樣本數(shù)據(jù)極差的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由方差的性質(zhì)可得A；舉反例可得B；由基本不等式可得CD.【詳解】設(shè)樣本的平均數(shù)為，方差為，選項A：由方差的性質(zhì)可得數(shù)據(jù)，，的方差和的方差相同，由具有任意性可知該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)無最值，故A正確；選項B：特值驗證：?。ǚ讲顬樾聰?shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)方差.所以B錯誤；選項C：不妨設(shè)，所以極差為，由不等式可得，，則，即，當且僅當時取等號，故C正確；選項D：又時，有，由可得，所以，即，當或時取等號，故D正確.故選：ACD.第7頁/共15頁三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.設(shè)A，B為平面直角坐標系xOy內(nèi)兩點，若，，則________.【答案】【解析】【分析】本題首先運用向量的加法求出向量的坐標，根據(jù)向量模的公式求解.【詳解】由題意可得，故.故答案：.13.已知函數(shù)，則的定義域為________.【答案】【解析】【分析】先確定自身的定義域，再確定外層函數(shù)對的要求，聯(lián)立兩個條件，解出的最終取值范圍.【詳解】的定義域為，對于函數(shù)，其外層，內(nèi)層函數(shù)均需符合定義域，故，且，解得的定義域為.故答案為：.14.梯形的兩頂點是直線與曲線的交點，頂點在曲線上，是一條垂直于軸的梯形底邊，軸，則梯形的面積為________.【答案】【解析】【分析】通過對數(shù)性質(zhì)建立等式求出交點坐標，再確定各點坐標，最后利用梯形面積公式求解.【詳解】因為，軸，設(shè)，，，，第8頁/共15頁因為，在直線上，所以，因為軸，所以，解得，，故，，，，所以梯形的面積為.故答案為：.5分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.12月2日是全國交通安全日.為了增強學生交通安全意識，某中學有600名學生參加了交通安全知識測評.根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了200名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）從總體的600名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；（2）若樣本中有一半男生的分數(shù)不小于6060的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.【答案】（1）0.4（2）【解析】1）根據(jù)頻率分布直方圖確定樣本中分數(shù)小于60的頻率，從而得分數(shù)小于60的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖確定樣本中分數(shù)不小于60的學生人數(shù)，結(jié)合分層抽樣與樣本估計總體，從而可得總體中男生和女生人數(shù)的比例.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，第9頁/共15頁樣本中分數(shù)小于60的頻率為，所以從總體的600名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為0.4.【小問2詳解】由題意可知，樣本中分數(shù)不小于60的學生人數(shù)為，所以樣本中分數(shù)不小于60的男生人數(shù)為，因為樣本中有一半男生的分數(shù)不小于60，所以樣本中男生為120人，女生為，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數(shù)比例為.16.已知冪函數(shù)的定義域為.（1）求；（2）解不等式.【答案】（1）（2）【解析】1）利用冪函數(shù)的定義求解即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，定義域為，符合題意，當時，定義域為，不符合題意，故.【小問2詳解】由（1）得，所以在上單調(diào)遞增，第10頁/共15頁所以由可得，所以，所以，解得.17.設(shè)函數(shù).（1）證明：曲線為中心對稱圖形；（2）若當且僅當，求a的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）設(shè)，先證明為奇函數(shù)，再由得證；（2）根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性可得，求解后檢驗即可.【小問1詳解】令，則，，則，奇函數(shù).即，故曲線為關(guān)于點對稱的中心對稱圖形.【小問2詳解】由題意及函數(shù)的連續(xù)性可知，，即，檢驗，當時，，滿足當且僅當，故.第11頁/共15頁18.如圖所示，在平面直角坐標系中，從原點出發(fā)，按或這兩個方向進行，且每次只能走一步，若某點可以表示為（、為鴻蒙點（1）通過鴻蒙點中、滿足的關(guān)系，判斷是否為鴻蒙點，并說明理由；（2）證明：若是鴻蒙點，則也是鴻蒙點；（3）若某些鴻蒙點滿足，求在所有滿足條件的鴻蒙點中，最小的點及此時的值.【答案】（1）不是，理由見解析（2）證明見解析（3），的最小值為50.【解析】1可以被5（2）構(gòu)造，計算可得，即可證明結(jié)論；（3）利用向量的坐標運算可得，設(shè)，可得，計算即可求解.【小問1詳解】不是鴻蒙點，理由如下：由，得，即，.即，所有鴻蒙點滿足可以被5整除，代入點，有不能被5整除，故不是鴻蒙點；【小問2詳解】由為鴻蒙點可知，，構(gòu)造：，第12頁/共15頁將表達為的形式，有，解得，故，即仍為鴻蒙點；【小問3詳解】由（1）可知，故，令，即，由是整數(shù)可知，可以被3整除，即被3整除余2，不妨設(shè)，，則有，即，為使盡可能小，即要求盡可能大，且，解不等式有，時，，.此時點坐標為，的最小值為.19.已知函數(shù)，.（1）當時；（i）求的單調(diào)區(qū)間；（ii）正數(shù)m，n滿足，，證明：.（2）若有2個零點，證明：.【答案】（1i）的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為ii）證明見解析（2）證明見解析【解析】1i）根據(jù)對數(shù)運算化簡，再由函數(shù)單調(diào)的定義求函數(shù)單調(diào)區(qū)間（ii）利用基本不等式及函數(shù)單調(diào)性證明即可；（2）有2個零點轉(zhuǎn)化為第13頁/共15頁由基本不等式證明即可.【小問1詳解】（i）此時，顯然其單調(diào)性與