試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省深圳中學(xué)、順德一中、松山湖未來學(xué)校、中山紀念中學(xué)2026屆高三上學(xué)期港澳班第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試科目：數(shù)學(xué)考試時長：120分鐘注意事項：1、答案寫在答題卡指定的位置上，寫在試題卷上無效.2、選擇題作答必須用2B鉛筆，修改時用橡皮擦干凈.3、解答題作答必須用黑色墨跡簽字筆或鋼筆填寫，答題不得超出題框.一、選擇題（本題共10小題，每小題6分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則（

）A．1 B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．27 B．28 C．29 D．304．如果圓與圓關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．5．已知在梯形中，，，點P在線段BC上，且，則（

）A． B．C． D．6．若，，則實數(shù)、、的大小順序為（

）A． B． C． D．7．某圓臺形無蓋水桶的表面積為，水桶下底面的半徑為5cm，上底面的半徑為10cm，則該水桶的容積為（

）（水桶壁與底的厚度忽略不計）A． B． C． D．8．已知是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則（

）A．6 B．5 C．4 D．39．高三（1）班舉行英語演講比賽，共有六名同學(xué)進入決賽，在安排出場順序時，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率為（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）．11．的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）12．已知函數(shù)，則．13．設(shè)，若，則.14．若點，則兩點間距離的最小值為.15．如圖所示四棱錐，平面平面，是AB中點，平面PCD與平面POD的夾角的余弦值為，則線段OP的長為．三、解答題（本題共4小題，每題15分，共60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求a；(2)若的面積為，求AB上的高CD．17．已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)記，數(shù)列的前項和為，證明：.18．已知函數(shù)(1)求出函數(shù)在上的最值(2)若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．19．已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，且，直線過點與交于兩點.(1)求的方程；(2)若，求的方程；(3)若直線過點與交于兩點，且的斜率乘積為分別是線段的中點，求面積的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】先求集合，再根據(jù)集合的交集定義得出答案.【詳解】，故，故選：C.2．D【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則可得答案.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，可得，所以.故選：D.3．B【分析】根據(jù)，求出，則【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以則；故選B4．D【分析】由題意可得直線l的方程為以兩圓圓心、為端點的線段的中垂線方程，再利用兩直線垂直斜率關(guān)系和中點由點斜式求解即可.【詳解】圓圓心為，圓可化為，所以圓心為，由題意可得直線l的方程為以兩圓圓心、為端點的線段的中垂線方程，設(shè)，由兩直線垂直斜率關(guān)系可得直線l的為1，又兩圓中點坐標為，所以直線l的方程為，即.故選：D.5．A【分析】結(jié)合圖形，由向量的加法法則計算即可；【詳解】因為，，所以，故選：A.6．D【分析】求出、、，利用對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小順序.【詳解】由題意可得，，可得，，因為對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.故選：D.7．B【分析】水桶是一個倒立的圓臺，設(shè)母線長為，由圓臺的體積公式求解．【詳解】水桶是一個倒立的圓臺，設(shè)母線長為，因為表面積為，下底面的半徑為5cm，上底面的半徑為10cm，所以，解得，設(shè)水桶的高為，如圖所示：，所以水桶的容積為.故選：B8．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的對稱性，可得答案.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，則軸為該函數(shù)圖像的一條對稱軸；由函數(shù)為奇函數(shù)，則原點為該函數(shù)圖象的一個對稱中心.由函數(shù)的圖象先向右平移一個單位，再向上平移一個單位，可得到函數(shù)的圖象，則是函數(shù)的一個對稱中心.所以直線是函數(shù)圖象的對稱軸，是函數(shù)圖象的對稱中心，因為是函數(shù)圖象的對稱中心，所以，則，將代入中得到，解得，所以.故選：D.9．B【分析】利用分類分步計數(shù)，結(jié)合捆綁法、排列組合數(shù)求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法數(shù)，再由全排列求六位同學(xué)任意安排的方法數(shù)，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.【詳解】1、將除甲丙丁外的其它三名同學(xué)作排列有種；2、丙丁捆綁，插入三名同學(xué)成排的4個空中，分兩種情況：當(dāng)插入前2個空有種，再把甲插入五名同學(xué)所成排的5個空中后3個空有種；當(dāng)插入后2個空有種，再把甲插入有種；所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有種，而六位同學(xué)任意安排的方法數(shù)為種，所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率為.故選：B10．C【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，設(shè)，則，求出點P，Q的坐標，得出，，根據(jù)，再利用余弦定理求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.【點睛】方法點睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．11．15【分析】求出展開式通項公式，令，解得，從而求出常數(shù)項.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，則，故展開式中常數(shù)項為15.故答案為：1512．【分析】先求導(dǎo)，當(dāng)時，代入求得，則，再求即可．【詳解】，則，當(dāng)時，，解得，所以，，故答案為：．13．【分析】借助兩角差的正切函數(shù)公式化簡并計算可得，然后利用正切函數(shù)定義即可得解.【詳解】，整理得，因為，所以，所以，則.故答案為：.14．##【分析】由題意可得點在直線上，點在曲線上，在曲線上找到與直線平行的切線，則該切線與直線的距離即為的最小值.【詳解】點在直線上，點在曲線上，即求的最小值等價于求直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，過上的點作的切線，可得，令，可得，故該切線為，則直線與的距離即為的最小值，此時，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于觀察出點在直線上，點在曲線上，則可借助求直線上的點到曲線上的點的距離的最小值得到的最小值.15．【分析】取中點，連接，以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，然后利用向量夾角公式列式求解即可.【詳解】取中點，連接，則，所以，，是中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，解得，則，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，解得，，，，，，，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，，，.故答案為：16．(1)3(2)【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系解得，再使用正弦定理即可求解；（2）根據(jù)面積求解，再利用余弦定理求得，再次使用面積即可求解.【詳解】（1）根據(jù),，可知：因為，即，所以，即;（2），解得，則，解得，則，代入，解得17．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（2）利用累加法即可求得的通項公式.（3）利用裂項相消法即可求解，根據(jù)其單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）由，得，又，，所以，所以，，即是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，當(dāng)時，.當(dāng)時，也成立，所以的通項公式為；（3）由（2）得，所以，所以，顯然是遞增數(shù)列，所以.因為，所以，所以.18．(1)；(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；（2）把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；【詳解】（1）因為，，所以，令，令，因為函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以方程得解為，，的變化情況如下表所示．xe++0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時，有極大值，也是的最大值.又因為，，所以，所以為的最小值.（2）因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為的最大值，，所以，時，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以所以a的取值范圍為.19．(1)(2)，或；(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓焦距公式。橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓標準方程中的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)直線的斜率是否為零，結(jié)合橢圓弦長公式分類討論進行求解即可（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合中點坐標公式、三角形的特點、基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，又因為該橢圓的離心率為，所以，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為零時，此時方程為，此時，顯然此時，不符合題意，故設(shè)直線的方