2026年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試題庫及答案—統(tǒng)計預測與決策理論應用歷年真題解一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.在時間序列預測中，若某序列的ACF圖在滯后1階后迅速衰減至0附近，而PACF圖在滯后1階后截尾，則該序列最可能服從A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.ARIMA(0,1,1)答案：A解析：ACF拖尾、PACF截尾是AR(p)的典型特征，滯后1階截尾對應AR(1)。2.設(shè)某產(chǎn)品月銷量Xt滿足Xt=0.8Xt-1+εt，εt～N(0,σ2)。若已知X100=120，則X102的最小均方誤差預測值為A.120B.96C.76.8D.153.6答案：C解析：兩步預測φ2X100=0.82×120=76.8。3.在貝葉斯決策中，若損失函數(shù)為平方誤差，則最優(yōu)決策為A.后驗均值B.后驗中位數(shù)C.后驗眾數(shù)D.先驗均值答案：A解析：平方誤差損失下的貝葉斯估計量是后驗均值。4.對某季度數(shù)據(jù)建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)?模型，其季節(jié)差分階數(shù)為A.0B.1C.4D.12答案：B解析：括號內(nèi)第二個1表示季節(jié)差分階數(shù)D=1。5.若某預測方法的MAPE連續(xù)三年分別為4.2%、3.8%、4.5%，則該方法A.存在明顯偏差B.存在遞增方差C.表現(xiàn)穩(wěn)定D.存在滯后答案：C解析：MAPE波動小于1個百分點，表明預測精度穩(wěn)定。6.在指數(shù)平滑中，平滑參數(shù)α=0.8意味著A.歷史權(quán)重衰減緩慢B.歷史權(quán)重衰減迅速C.序列無趨勢D.序列無季節(jié)答案：B解析：α越大，近期觀測權(quán)重越高，歷史信息衰減越快。7.對高維回歸實施LASSO的主要目的是A.降低偏差B.提高可解釋性并實現(xiàn)變量選擇C.消除異方差D.增強共線性答案：B解析：LASSO通過??懲罰實現(xiàn)稀疏估計，自動選擇變量。8.若隨機森林的OOB誤差為6.3%，而測試誤差為9.1%，則最合理的解釋是A.模型過擬合B.模型欠擬合C.數(shù)據(jù)泄露D.樣本分布偏移答案：D解析：OOB誤差與測試誤差差異大，提示訓練集與測試集分布不一致。9.在狀態(tài)空間模型中，Kalman濾波的一步ahead預測誤差稱為A.平滑殘差B.創(chuàng)新序列C.似然增量D.增益向量答案：B解析：創(chuàng)新序列(innovation)是觀測值與一步預測之差。10.若某預測區(qū)間的覆蓋率連續(xù)10期均為98%，而名義水平為95%，則A.區(qū)間過寬B.區(qū)間過窄C.模型無偏D.模型方差低估答案：A解析：實際覆蓋率高于名義水平，說明區(qū)間保守、過寬。二、多項選擇題（每題3分，共15分）11.下列哪些技術(shù)可用于處理非平穩(wěn)序列A.差分B.Box-Cox變換C.協(xié)整檢驗D.小波分解E.季節(jié)調(diào)整答案：ACE解析：差分與季節(jié)調(diào)整直接消除非平穩(wěn)；協(xié)整處理多個非平穩(wěn)序列的長期均衡；Box-Cox與小波主要處理方差非平穩(wěn)或局部特征。12.關(guān)于Bagging的陳述正確的是A.降低方差B.基學習器必須深度很大C.可并行訓練D.對不穩(wěn)定學習器效果顯著E.一定提升預測精度答案：ACD解析：Bagging通過平均降低方差；基學習器無需很深；并行訓練是其優(yōu)點；對不穩(wěn)定學習器（如決策樹）效果佳；若基學習器本身偏差大，Bagging未必提升精度。13.下列屬于概率預測評分規(guī)則的是A.CRPSB.MAEC.DSSD.LogSE.RMSE答案：ACD解析：CRPS(連續(xù)分級概率評分)、DSS(Dawid-Sebastiani)、LogS(對數(shù)評分)均評估概率分布；MAE、RMSE僅評估點預測。14.在貝葉斯模型平均(BMA)中，權(quán)重取決于A.先驗模型概率B.邊緣似然C.參數(shù)后驗眾數(shù)D.模型復雜度懲罰E.訓練時長答案：ABD解析：BMA權(quán)重∝先驗模型概率×邊緣似然；邊緣似然已隱含復雜度懲罰；與后驗眾數(shù)及訓練時長無關(guān)。15.對高維協(xié)方差矩陣估計，有效方法包括A.樣本協(xié)方差B.Ledoit-Wolf收縮C.GraphicalLASSOD.因子模型E.硬閾值答案：BCDE解析：樣本協(xié)方差在高維下病態(tài)；收縮、稀疏、因子結(jié)構(gòu)均為有效正則化。三、計算與證明題（共35分）16.（8分）設(shè)Yt服從ARIMA(1,1,0)模型：(1?φB)(1?B)Yt=εt，εt～N(0,σ2)，|φ|<1。已知Yn=100，Yn-1=95，φ=0.7，σ=2。求Yn+3的95%預測區(qū)間。解：記Wt=(1?B)Yt，則Wt～AR(1)：Wt=φWt-1+εt。Wn=Yn?Yn-1=5。三步預測：Wn(1)=φWn=3.5Wn(2)=φ2Wn=2.45Wn(3)=φ3Wn=1.715Yn+3=Yn+Wn(1)+Wn(2)+Wn(3)=100+3.5+2.45+1.715=107.665預測誤差方差：Var(en(3))=σ2[1+(1+φ)2+(1+φ+φ2)2]=4×[1+1.72+2.392]=4×(1+2.89+5.7121)=38.4084標準誤=√38.4084≈6.19795%區(qū)間：107.665±1.96×6.197→[95.52,119.81]17.（9分）某零售商對周銷量建立狀態(tài)空間模型：觀測方程：Yt=μt+εt，εt～N(0,σ2ε)狀態(tài)方程：μt=μt-1+ηt，ηt～N(0,σ2η)已知σ2ε=25，σ2η=4，初始μ0|0=100，P0|0=9。現(xiàn)觀測到Y(jié)1=108，求μ1|1及P1|1，并給出第2周銷量的一步預測分布。解：預測步：μ1|0=μ0|0=100P1|0=P0|0+σ2η=9+4=13更新步：K1=P1|0/(P1|0+σ2ε)=13/38≈0.342μ1|1=μ1|0+K1(Y1?μ1|0)=100+0.342×8≈102.74P1|1=(1?K1)P1|0=0.658×13≈8.55第2周預測：Y2|1～N(μ1|1,P1|1+σ2ε)=N(102.74,8.55+25)=N(102.74,33.55)18.（10分）某企業(yè)欲預測季度利潤，考慮三種模型：AR(4)、SARIMA(1,0,1)(0,1,1)?、隨機森林。使用2010Q1—2022Q4數(shù)據(jù)，末四年做滾動原點驗證，結(jié)果如下：模型|RMSE|MAE|MAPE|CRPSAR(4)|3.81|3.10|8.7%|2.15SARIMA|3.05|2.44|6.9%|1.72RF|3.42|2.70|7.6%|1.98（1）請給出選擇SARIMA的統(tǒng)計依據(jù)；（2）若企業(yè)更關(guān)注利潤下滑風險，應如何調(diào)整評估指標？解：（1）SARIMA在三項指標均最優(yōu)，且CRPS最小，表明其概率預測校準度最好；Diebold-Mariano檢驗顯示SARIMA相對AR(4)的RMSE差異p=0.018<0.05，顯著優(yōu)于AR(4)。（2）可引入下行加權(quán)指標，如LinLin損失（低估損失權(quán)重2倍）、QuantileLossatτ=0.1，或計算下行MAPE(僅實際>預測時計入)。亦可用CVaR區(qū)間覆蓋率評估左尾。19.（8分）證明：對于任意線性預測X?n+h=∑ψiXn?i，最小化MSE等價于投影定理。證明：令預測誤差en+h=Xn+h?X?n+h。MSE=E[en+h2]=E[(Xn+h?∑ψiXn?i)2]。對ψk求偏導并令為零：?MSE/?ψk=?2E[Xn?k(Xn+h?∑ψiXn?i)]=0?E[Xn?ken+h]=0，即誤差與觀測空間正交。由投影定理，此正交條件唯一確定最優(yōu)線性投影，故得證。四、綜合建模題（30分）20.背景：某共享單車公司需預測未來7天各站點借車量，以指導車輛調(diào)度。數(shù)據(jù)：2021年1月—2023年10月，共1005個站點，15分鐘粒度，含天氣、節(jié)假日、POI、地鐵時刻表等外生變量。任務(wù)：（1）給出完整建模流程，含數(shù)據(jù)清洗、特征工程、模型選擇、驗證、概率預測、決策應用；（2）針對“早高峰部分站點供不應求”問題，設(shè)計基于預測結(jié)果的調(diào)度優(yōu)化策略，并量化其期望收益。解：（1）流程a.數(shù)據(jù)清洗：剔除連續(xù)缺失>2小時站點；線性插值補全短缺口；異常值用3σ規(guī)則+孤立森林聯(lián)合檢測。b.特征工程：時間特征：星期、節(jié)假日、寒暑假、節(jié)氣；天氣特征：溫度、濕度、風速、降水，使用滯后0–2小時；空間特征：站點500米內(nèi)POI數(shù)量（辦公、住宅、公交）、地鐵進站量滾動30分鐘和；歷史特征：同期上周同期借車量、上周同期還車量、過去24小時滑動平均；交互特征：溫度×節(jié)假日、降雨×工作日；對高度偏斜變量做Box-Cox。c.模型選擇：基準：SARIMA(0,1,3)(0,1,1)??+外部回歸(SARIMAX)；機器學習：GradientBoostingTrees(LightGBM)，含類別特征直接支持；深度學習：TemporalFusionTransformer(TFT)，編碼靜態(tài)站點屬性、動態(tài)時變變量；驗證：2023年7—10月滾動窗口，步長1天，預測horizon=7×96=672步。評估：RMSE、MAE、MAPE、CRPS、區(qū)間覆蓋率、技能分數(shù)Skill=1?RMSE/naive。結(jié)果：TFT在CRPS領(lǐng)先7.3%，LightGBM在MAPE領(lǐng)先2.1%，但TFT概率預測校準更好，故選TFT。d.概率預測：TFT輸出分位數(shù)0.1–0.9，共9分位；用PinballLoss調(diào)參；對極端事件（暴雨、演唱會）引入貝葉斯后驗修正，融合氣象部門降水概率。e.驗證：PIT圖近似均勻，區(qū)間覆蓋率94.8%vs名義95%，表明校準良好；DM檢驗p<0.01優(yōu)于其余模型。（2）調(diào)度優(yōu)化a.決策變量：每晚22:00決定調(diào)度卡車數(shù)量K及路徑，目標次日早高峰(7:00–9:00)缺車數(shù)期望最小。b.需求缺口：對站點i，早高峰借車預測分布Qi～TFT輸出，還車分布Ri～同理；凈需求Di=Qi?Ri。c.缺車概率：P(Di>bi)=1?F_Di(bi)，bi為當前庫存。d.期望缺車：E[max(Di?bi,0)]=∫_{bi}^{∞}(x?bi)f_Di(x)dx，用分位數(shù)插值快速算。e.收益：每減少一次缺車可節(jié)省用戶流失成本3元，調(diào)度成本含卡車固定200元/輛、可變1.2元/輛·公里。f.模型：隨機規(guī)劃，目標min調(diào)度成本+3×E[缺車]；解：用SampleAverageApproximation，抽樣500次，CPLEX求解；對1005站點聚類為80區(qū)域，降維。g.結(jié)果：優(yōu)化后早高峰缺車數(shù)下降42%，日期望凈收益增加1.37萬元；敏感性分析顯示降水概率>60%時收益下降但仍為正。五、案例分析題（共20分）21.某省疾控中心需預測流感樣病例(ILI)周發(fā)病率，以提前調(diào)配醫(yī)療資源。數(shù)據(jù)：2010—2023年周數(shù)據(jù)，含ILI%、氣溫、濕度、疫苗接種率、學校開學時間、搜索引擎流感指數(shù)。（1）指出流感預測相比普通銷售預測的三項特殊挑戰(zhàn)；（2）給出融合搜索指數(shù)的建模方案，并說明如何檢驗指數(shù)增量信息；（3）若2024年春季出現(xiàn)新型變異株，導致歷史關(guān)系突變，如何在線更新預測？解：（1）挑戰(zhàn)a.非平穩(wěn)性：病毒變異導致傳播機制突變，歷史參數(shù)失效；b.多重時間尺度：季節(jié)性+局部爆發(fā)+長期趨勢，需分層建模；c.數(shù)據(jù)延遲：ILI報告滯后1–2周，搜索指數(shù)實時但噪聲大，需處理延遲與精度權(quán)衡。（2）方案a.結(jié)構(gòu)：狀態(tài)空間模型，觀測方程ILI_t真實=報告_t+δ_t，δ_t～N(0,σ2_δ)反映延遲；狀態(tài)含真實ILI、搜索指數(shù)偏差、變異株指示；b.搜索指數(shù)處理：對原始指數(shù)做平滑，取對數(shù)差分；用Granger因果檢驗確認搜索指數(shù)滯后1–2周對ILI顯著；c.信息檢驗：構(gòu)建嵌套模型，無搜索指數(shù)vs有搜索指數(shù)，比較邊緣似然，BF>10認為顯著；亦可用R2增加、DM檢驗。（3）在線更新a.采用貝葉斯動態(tài)線性模型(DLM)，允許時變回歸系數(shù)；b.設(shè)置變異株指示變量為隱Markov狀態(tài)，轉(zhuǎn)移概率用BayesianChangepointDetector估計；c.每周更新后驗，若檢測到結(jié)構(gòu)突變（后驗概率>0.7），擴大系統(tǒng)噪聲方差，讓模型快速自適應；d.用ParticleLearning實現(xiàn)高效在線推斷，延遲<30秒；e.對極端情景，引入專家先驗，如R0提升50%，先驗加權(quán)融合。六、編程與計算題（共20分）22.使用Python完成以下任務(wù)并給出代碼與輸出截圖（文字描述即可）：（1）生成長度120的AR(2)序列：Xt=1.2X_{t-1}?0.5X_{t-2}+εt，εt～N(0,1)，前200期burn-in；（2）用statsmodels擬合AR(p)，p由BIC選擇，輸出參數(shù)估計與殘差Ljung-Boxp值；（3）做h=1–12步預測，繪制預測均值與90%區(qū)間；（4）計算CRPS并解釋其相對MAE的優(yōu)勢。代碼：```pythonimportnumpyasnpimportpandasaspdimportmatplotlib.pyplotaspltfromstatsmodels.tsa.ar_modelimportAutoRegfromstatsmodels.stats.diagnosticimportacorr_ljungboxfromscipy.statsimportnormfromsklearn.metricsimportmean_absolute_error(1)np.random.seed(42)n=120burn=200ar=np.array([1.2,-0.5])sigma=1x=np.zeros(burn+n)eps=np.random.randn(burn+n)fortinrange(2,burn+n):x[t]=ar[0]x[t-1]+ar[1]x[t-2]+eps[t]x=x[burn:](2)model=AutoReg(x,lags=10,ic='bic')res=model.fit()print(res.summary())lb=acorr_ljungbox(res.resid,lags=10,return_df=True)print('Ljung-Boxp:',lb['lb_pvalue'].min())(3)pred=res.get_prediction(start=len(x),end=len(x)+11)mean=pred.predicted_meanci=pred.conf_int(alpha=0.1)plt.figure(figsize=(8,4))plt.plot(np.arange(len(x)),x,label='Obs')plt.plot(np.arange(len(x),len(x)+12),mean,label='Forecast')plt.fill_between(np.arange(len(x),len(x)+12),ci.iloc[:,0],ci.iloc[:,1],color='gray',alpha=0.3)plt.legend()plt.show()(4)true=x[-12:]#pse