專題05利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問題(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.二、典型例題例題1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.第（2）問解題思路在恒成立，將代入：變量分離法：因為，，構(gòu)造函數(shù)，問題等價于研究，求最小值：，令，得或（舍去）.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.從而得到，所以，即實數(shù)的取值范圍為.【答案】(1)(2)(1)由已知得，令，得.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.故.(2)，即，因為，所以在上恒成立.令，則，令，得或（舍去）.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.故，所以，即實數(shù)的取值范圍為.例題2．（2022·重慶·三模）已知（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.(1)對任意，證明：的圖象在點處的切線始終過定點；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.第（2）問解題思路在恒成立，將代入變量分離法：對恒成立.構(gòu)造，問題等價于研究，求最小值：將變形：.不妨設(shè).因為，所以在上單增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在存在唯一零點，記.因為.令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以.所以.而，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，即，從而得到，所以，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.【答案】(1)證明見解析；(2).(1)因為，所以，，所以.所以的圖象在點處的切線為經(jīng)過定點.即的圖象在點處的切線始終過定點.(2)因為恒成立，即為對恒成立.記，只需..不妨設(shè).因為，所以在上單增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在存在唯一零點，記.因為.令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以.所以.而，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，即，所以.解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.題型歸類練1．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【答案】(1)(2)(1)由，得，則，所以曲線在點處的切線方程為，即(2)由對恒成立，得對恒成立，令，，則，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即，所以，即實數(shù)a的取值范圍為2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（文））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)(1)的定義域為，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為1.(2)因為恒成立，即恒成立，所以，因為，所以恒成立，設(shè)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以.所以，實數(shù)的取值范圍為．3．（2022·陜西漢中·高二期末（文））已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線方程是．(1)求a，b的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)(1)，∵曲線在點處的切線方程是，∴，，∴，，解得，．(2)由（1）得，，由，得，∵，∴可化為恒成立，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴，即實數(shù)m的取值范圍為．4．（2022·四川甘孜·高二期末（文））已知函數(shù)?(1)求函數(shù)?在點?處的切線方程;(2)是否存在實數(shù)?，都有?恒成立，若存在求出實數(shù)?的最小值，若不存在說明理由.【答案】(1)(2)(1)，，又，在點處的切線為，即.(2)定義域為，可化為，令，則在上恒成立；，令，則，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，，，，的最小值為.5．（2022·山東東營·高二期末）已知函數(shù)，曲線在點處的切線的斜率為4.(1)求切線的方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)解：函數(shù)的定義域為，，由題意知，，所以，故，所以，切點坐標(biāo)為故切線的方程為．(2)解：由（1）知，，所以，可化為：，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，故當(dāng)時，在上恒成立，所以實數(shù)的取值范圍是.6．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意恒成立，求的最大值．【答案】(1)單調(diào)性見解析；(2)(1)解：，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得，令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)依題意得：對任意恒成立，等價于恒成立.令，則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即的最大值為.7．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)極小值是，無極大值.(2)(1)當(dāng)時，，的定