專題04嵌套函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)歸類目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍題型02方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題題型03嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題題型04函數(shù)的對(duì)稱問題題型05函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型題型06分段函數(shù)的零點(diǎn)問題第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍【例1-1】（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)在區(qū)間和上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后根據(jù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)或根據(jù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根，因?yàn)楹瘮?shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，令，解得，，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則且，解得；所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)時(shí),需滿足，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【例1-2】（2026·天津南開·聯(lián)考）已知關(guān)于x的方程，當(dāng)其實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)達(dá)到最多時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】令，，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】方程可化為，令，，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故兩函數(shù)無交點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)與函數(shù)圖象有下列兩種情況：

對(duì)于情形一，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于情形二，段直線方程為，聯(lián)立得，，所以函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上，函數(shù)與函數(shù)圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，，令，解得，，，如圖所示：段直線方程為，聯(lián)立得，令，解得，段直線方程為，聯(lián)立得，令，解得或（根據(jù)舍去），由于越大，越大，越小，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象無交點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與圖象有四個(gè)交點(diǎn)，即方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)，此時(shí)，函數(shù)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，綜上，當(dāng)方程實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)達(dá)到最多時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.【變式1-1】（2024·天津·三模）設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)得出關(guān)于隨機(jī)變量的取值范圍，再利用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以判別式.即，化簡得：，解得根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可知：.故選：C.【變式1-2】（2025·天津河西·調(diào)研）“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用函數(shù)零點(diǎn)的意義求出函數(shù)存在零點(diǎn)的充要條件，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】令得，“有零點(diǎn)”等價(jià)于“有解”，因?yàn)?，所以，所以，函?shù)存在零點(diǎn)的充要條件是故“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-3】（2025·天津和平·一模）設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．故答案為：.題型02方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題【例2-1】（2026·天津·月考）已知函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)方程，解得或5，作出，和的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得答案.【詳解】有，得，解得或5，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)闉殚_口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，令，解得或5，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出，和的圖象，如下圖所示：由圖象可得直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，共有6個(gè)交點(diǎn)，所以方程解的個(gè)數(shù)為6.故選：B【例2-2】（2026·天津·月考）若函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是.【答案】或【分析】將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)圖象以及判別式求解即可.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫函數(shù)圖象如下;當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn)，則與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程得到只有一個(gè)解，即，解得或（結(jié)合圖象可知不符合，舍去）綜上可得：或者故答案為：或方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.【變式2-1】（2026·天津?yàn)I海新·調(diào)研）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，判斷方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)參數(shù)的范圍；再根據(jù)一元二次方程的解法，方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系，以及分段函數(shù)的性質(zhì)，求出參數(shù)范圍.【詳解】如圖所示，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為；由，因式分解得，解得或.由函數(shù)圖象可知有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則也有2個(gè)不同的實(shí)根，則，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：，.【變式2-2】（2025·天津?yàn)I海新·一模）定義一種新運(yùn)算：，函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】先外后內(nèi)解方程，判斷方程根的個(gè)數(shù).【詳解】由已知，令，則，則①或②；解①得，解②得；則③或④，解③得或；對(duì)于④由的幾何意義：軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值.而，可知④無解，綜上，方程的根的個(gè)數(shù)為，故選：C.【變式2-3】已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式以及分段函數(shù)的性質(zhì)，畫圖，利用換元法，整理化簡方程，再利用方程與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，則方程即，由圖象可知，與有三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，其中，，，方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，，解的個(gè)數(shù)之和，由圖象可知，與有一個(gè)交點(diǎn)，與有三個(gè)交點(diǎn)，與沒有交點(diǎn)，所以方程解的個(gè)數(shù)為.故選：B.題型03嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題【例3-1】（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】設(shè)，則解方程，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合求出與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），則；當(dāng)時(shí)，，解得.畫出的函數(shù)圖象，如下圖所示：由圖象可知，與有3個(gè)交點(diǎn)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選：C【例3-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）（2025·天津·三模）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)有且僅有個(gè)互不相同的零點(diǎn)，則當(dāng)取到最大值時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】考慮時(shí)，得到時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，再考慮時(shí)，變形得到且時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，寫出分段函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而最終求出最多有4個(gè)零點(diǎn)，得到的取值范圍.【詳解】，即，當(dāng)時(shí)，，即，故滿足要求，若，則無解，若，則，解得不滿足；若，則的解，若，則的解，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)取其他值時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，無解，當(dāng)且時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又時(shí)，，其中，，，，畫出的圖象如下：當(dāng)或或或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，綜上：最多有4個(gè)零點(diǎn)，則.故答案為：.1.嵌套函數(shù)形式：形如f2.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．注：抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【變式3-1】（2025·天津·月考）已知函數(shù)，則方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．【答案】6【分析】設(shè)求，再解方程即可.【詳解】設(shè)，若，則；若或.由；由或或；由或.所以方程共有6個(gè)不同實(shí)根.故答案為：6【變式3-2】（2025·天津南開·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為，關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)為．【答案】;4【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；在方程中，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)、、的取值范圍，再利用數(shù)形結(jié)合思想得出方程、、的根的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】①由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故；②方程中，設(shè)，即，即函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)椋瘮?shù)與有個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)根、、，其中、、，再結(jié)合圖象可知，方程有個(gè)不同的根，方程有個(gè)根，方程有個(gè)根，綜上所述，方程有個(gè)不同的解.故答案為：；.【變式3-3】（2025·天津·月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有9個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】令，則或，先作出函數(shù)的圖象，即可得出方程和方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得出方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有9個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程有9個(gè)不同的實(shí)根，，令，則或，，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，方程有個(gè)不同的實(shí)根，方程有個(gè)不同的實(shí)根，因?yàn)樗苑匠逃袀€(gè)不同的實(shí)根，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知.故答案為：.題型04函數(shù)的對(duì)稱問題【例4-1】（2025·天津·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】先根據(jù)、得出的表達(dá)式，再通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可利用對(duì)稱性以及圖象變換畫出的圖象，利用圖象交點(diǎn)得出的取值范圍.【詳解】因關(guān)于直線對(duì)稱，則，且，則且，解得，則，經(jīng)檢驗(yàn)：對(duì)任意恒成立，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則符合題意；因恰有6個(gè)零點(diǎn)，則與的函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)研究函數(shù)的單調(diào)性：因，則得；得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因，則根據(jù)圖象變換以及對(duì)稱性可畫出函數(shù)的圖象：由圖象可知，，則的取值范圍為.故答案為：.【例4-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．【答案】C【分析】先求出直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程，然后求函數(shù)再時(shí)的單調(diào)性及極值，進(jìn)而求出得取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，所以，而P在函數(shù)上，所以，即，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，整理可得，解得，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)點(diǎn)，，整理可得，解得，所以，故，即時(shí)，在時(shí)，函數(shù)與的圖象相交有2個(gè)交點(diǎn)；在時(shí)，函數(shù)與的圖象相交有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)與的圖象相交有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍是.故選：C.轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題【變式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【變式4-2】（2025·天津?yàn)I海新·三模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C．D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【分析】根據(jù)已知得是周期為4的奇函數(shù)，利用對(duì)稱性求得時(shí)，再應(yīng)用奇函數(shù)、周期性研究函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值并判斷對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，設(shè)，則，又時(shí)，，∴，則，A錯(cuò)；∵，∴，且令可得∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，∴，C錯(cuò)；由，即，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在一個(gè)周期內(nèi)單調(diào)遞增，值域?yàn)?，同一坐?biāo)系內(nèi)作函數(shù)與的圖象如下：

觀察圖象知與有3個(gè)交點(diǎn)，B對(duì).故選：B【變式4-3】（2025·天津·一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式，結(jié)合對(duì)稱軸可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在區(qū)間內(nèi)內(nèi)恰有3個(gè)解,可得到動(dòng)區(qū)間端點(diǎn)的取值范圍，即可求解.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又因?yàn)?，所以，即由的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則，由可得：，因?yàn)?，所以，根?jù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)解，則，解得：，故選：D.題型05函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型【例5-1】（2026·天津北辰·月考）已知分段函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【例5-2】（2026·天津?yàn)I海新·月考）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)為的“基點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“基點(diǎn)對(duì)”.若恰好有兩個(gè)“基點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為，即在上恰有兩個(gè)實(shí)根，再利用一元二次方程實(shí)根分布列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由恰好有兩個(gè)“基點(diǎn)對(duì)”，得函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D1函數(shù)零點(diǎn)分段分析法模型，核心是將含絕對(duì)值、分段定義的函數(shù)拆分為不同區(qū)間的子函數(shù)，再分別分析各區(qū)間內(nèi)子函數(shù)的零點(diǎn)，最后整合結(jié)果。1.

適用場(chǎng)景函數(shù)含絕對(duì)值（如f(x)=|x-1|+|x+2|）、分段表達(dá)式，或可通過分類討論拆分的復(fù)合型函數(shù)。2.

核心步驟確定分段點(diǎn)：絕對(duì)值函數(shù)的分段點(diǎn)為絕對(duì)值內(nèi)式子等于0的解（如|x-1|的分段點(diǎn)為x=1）；分段函數(shù)的分段點(diǎn)直接由解析式給出。拆分區(qū)間：以分段點(diǎn)為界，將函數(shù)定義域劃分為若干互不相交的子區(qū)間。去絕對(duì)值/寫子函數(shù)：在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)，根據(jù)自變量范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，或直接寫出對(duì)應(yīng)區(qū)間的函數(shù)解析式。逐段求零點(diǎn)：在各子區(qū)間內(nèi)，解方程f(x)=0，并檢驗(yàn)解是否在該區(qū)間內(nèi)，符合的才是有效零點(diǎn)。整合零點(diǎn)：匯總所有子區(qū)間的有效零點(diǎn)，得到原函數(shù)的全部零點(diǎn)?！咀兪?-1】（2026·天津·月考）已知，關(guān)于的方程有6個(gè)根，則m的取值范圍為【答案】【分析】先作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可把問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同實(shí)根，，數(shù)形結(jié)合即可求得答案．【詳解】作出函數(shù)圖像如圖所示：令，則可化為，若有6個(gè)根，結(jié)合圖像可知方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，，則，解得，故m的取值范圍為.故答案為：【變式5-2】（2026·天津南開·月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】據(jù)題意對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行討論，分，再利用函數(shù)零點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分析求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，對(duì)稱軸為，因此函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如下：令，則由，結(jié)合圖象可得或，即或，由圖可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如下：令函數(shù)，則由，結(jié)合圖象可得或或，即或或，由圖可知，有2個(gè)解，有3個(gè)解，又有6個(gè)零點(diǎn)，則需使有1個(gè)解，即需使，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：．【變式5-3】（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)求出的范圍，再在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，根據(jù)方程的交點(diǎn)個(gè)數(shù)數(shù)形結(jié)合，從而可得出答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如圖：由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，故在上，有且僅有一個(gè)解，當(dāng)即時(shí)，由，即，則，解得或1（舍去），當(dāng)時(shí)，方程可化為符合題意；當(dāng)，即時(shí)，由圖象可知，符合條件，綜上：的取值范圍為.故選：A題型06分段函數(shù)的零點(diǎn)問題【例6-1】（2026·天津?yàn)I海新·月考）已知函數(shù)，若，使方程有4個(gè)不同的解，，，，則的取值范圍是；的取值范圍是.【答案】【分析】畫出分段函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像得到之間的關(guān)系式以及之間的關(guān)系式，分別把和轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)自變量的代數(shù)式，進(jìn)而求取值范圍.【詳解】分段函數(shù)的圖像如圖所示，在上單調(diào)遞減，最小值為0；在上單調(diào)遞增，最小值為0，最大值為2；在上是部分余弦型曲線，最小值為-2，最大值為2，若方程有4個(gè)不同的解，則.不妨設(shè)四個(gè)解依次增大，則.是方程的解，，即.是方程的解，則由余弦型函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知.因此，由，得，即.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.故答案為：①②.【例6-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且若方程有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法，可求a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,則當(dāng)時(shí)，，令，則，方程有6個(gè)不同實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，觀察圖象得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【變式6-1】（2026·天津西青·月考）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分類討論，在不同的取值范圍下，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得到恰好有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，要使有意義，故；方程為，平方得，，解得；顯然，解不等式得；在上滿足：當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)有無窮個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，解得，令，即，又時(shí)，所以；即在上滿足：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有無窮個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，沒有零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．故答案為：【變式6-2】（2026·天津南開·聯(lián)考）已知函數(shù)若關(guān)于的方程（為實(shí)常數(shù)）有四個(gè)不同的解，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合有且，結(jié)合解析式有、、，最后由指數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求目標(biāo)式的范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下，由圖知，且，由，得，即，故，由，則，由，則，所以，且在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：【變式6-3】（2026·天津·月考）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，的解集是；當(dāng)函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】；【分析】由，將轉(zhuǎn)化為，解出此不等式的解，這個(gè)解和求交集，就是所求不等式的解；有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，得到有且僅有三個(gè)根，設(shè)，則與的圖像有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，求的值域，分別畫出和的的圖像，通過圖像得到的范圍.【詳解】，，，，，，或，又，，的解集是；有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，有且僅有三個(gè)根，即有且僅有三個(gè)根，設(shè)，則與的圖像有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，的對(duì)稱軸為，，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的圖像為：當(dāng)，即，與沒有交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即，與只有1個(gè)交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即，與只有2個(gè)交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有三個(gè)交點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的圖像為：當(dāng)，即，與沒有交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即，與只有1個(gè)交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即，與只有2個(gè)交點(diǎn)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則與的圖像有且僅有三個(gè)交點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，不滿足函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，的取值范圍為.故答案為：；.1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】或【分析】原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，不成立，所以恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，；原方程可化為恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，即的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)，且與相切時(shí)，由，所以，,所以（另一解舍去），若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；，的圖象沒有3個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)，且與相切時(shí)，由同理可得（另一解舍去），當(dāng)過時(shí)，，當(dāng)，不符合題意；若要有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；綜上所述，或.故答案為：或.2．（2025·天津南開·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知函數(shù)，，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，通過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?所以，即，整理得．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)解，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.令，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，故不合題意；②當(dāng)時(shí)，易知，且，令,得,，令,得,若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，需滿足，解得．③當(dāng)時(shí)，易知．由②的分析可得，若與的圖象有兩交點(diǎn)，需滿足解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2025·天津·一模）已知函數(shù)．若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】首先分析得且，進(jìn)一步分和，兩種情況討論即可，原問題可以轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4來求參數(shù)，從而可以通過畫圖進(jìn)行求解.【詳解】若，則等價(jià)于，解得或，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，其零點(diǎn)不超過兩個(gè)，從而必然有且，的零點(diǎn)有四個(gè)等價(jià)于的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較小的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的一點(diǎn)，一種是相切于對(duì)稱軸右邊一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與的圖象相切，直線經(jīng)過點(diǎn)，其中的橫坐標(biāo)是的較大的那個(gè)根，且經(jīng)過直線所過的那個(gè)定點(diǎn)，由求根公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而，所以要滿足題意的話，那么當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別表示直線的斜率，顯然有，聯(lián)立直線與得，，從而有，解得或（舍去），舍去是因?yàn)槔碚撋蟻碚f與可能有兩種相切的情況，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的靠上面的一點(diǎn)，一種是相切于對(duì)稱軸左邊的靠下面的一點(diǎn)，從而，所以時(shí)，，即，解得或，綜上所述，所求為.故答案為：.4．（2025·天津·二模）記表示不大于x的最大整數(shù)，例如，，則方程所有解的和為．【答案】【分析】由題意得到，和，求解一元二次不等式即可求解.【詳解】由已知有，即，則由，可得，即，解得．同理，有，解得，或，故，或，因此．當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意．綜上，方程所有解的和為．故答案為：5．（2025·天津·二模）已知函數(shù)，若方程有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】第一步換元，分兩大類：當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)時(shí)，，解得或即可得解.【詳解】設(shè)，則，情形一：當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，故不可能有，從而只能是有唯一的解，這就要求，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，這與矛盾，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；情形二：當(dāng)時(shí)，，解得，這就要求，由于，故只能是，解得，這就要求，此時(shí)滿足題意的的取值范圍是；綜上所述，滿足題意的的取值范圍是.故答案為：.6．（2025·天津河西·二模）已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】由可得，數(shù)形結(jié)合可知、為方程的兩根，、為方程的兩根，求出的取值范圍，利用韋達(dá)定理求出關(guān)于的表達(dá)式，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的值域，即為所求.【詳解】由題意可知，由可得，可得，所以，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由可得或，結(jié)合圖象可知，、為方程的兩根，即方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，則，、為方程的兩根，即方程的兩根，，可得，故，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，?duì)任意的，，則，即對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，故當(dāng)時(shí)，，因此，的取值范圍是.故答案為：.7．（2025·天津·二模）設(shè)，函數(shù).若在區(qū)間上恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是；若在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，即可利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布即可求解第一空，對(duì)討論，當(dāng)時(shí)，容易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為在無零點(diǎn)，取絕對(duì)值后平方可得，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，問題轉(zhuǎn)化為需要在有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式，為了求解不等式，構(gòu)造由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式，即可求解空2.【詳解】由于在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記，則，解得或，接下來求解在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在無零點(diǎn)，故需要在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有零點(diǎn)，不符合題意，③當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，此時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn)，故只需要在無零點(diǎn)，令，即，記由于，且而，故，，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若時(shí)，，，此時(shí)有兩個(gè)根，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿足題意，舍去，接下來只需要考慮的情況，此時(shí)對(duì)于來說，，故在沒有零點(diǎn)，因此需要在有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即，即，故當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，，因此對(duì)任意的，均有，故且綜上可得在定義域內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，故答案為：，8．（2025·天津和平·二模）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】首先分析的交點(diǎn)情況，再分類討論的范圍，作出圖象，即可求解．【詳解】因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以有2個(gè)交點(diǎn)，先判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，即，，所以與無交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，，即，令，解得或，所以當(dāng)或，與有2個(gè)交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，令，即，解得或，其中，所以與有2個(gè)交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，，即，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；②當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，不合題意；③當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑥當(dāng)時(shí)，，如圖所示，只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；⑦當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；綜上所述，，故答案為：．9．（2025·天津河北·二模）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由已知可得在上有且僅有一個(gè)根，討論、，導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性并確定右側(cè)的值域，即可得參數(shù)范圍.【詳解】令有且僅有一個(gè)根，且，所以，在上有且僅有一個(gè)根，當(dāng)，則，令且，則，所以在上單調(diào)遞增，趨向于0時(shí)，，趨向于1時(shí)，，所以；當(dāng)，則，令在上單調(diào)遞減，且，趨向于時(shí)，，所以；綜上，.故答案為：10．（2025·天津和平·一模）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值大于等于0，求得.再找到各個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)，然后分三種情況分別考慮去絕對(duì)值符號(hào)后對(duì)應(yīng)區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)情況，進(jìn)而總結(jié)得到答案.【詳解】右邊的，即：.

解方程得或;解方程得或.需要根據(jù)的符號(hào)討論：（1）當(dāng)時(shí)方程變?yōu)?，即，解得或，有兩個(gè)不等實(shí)根.（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)順序：記：方程變?yōu)椋?解，得.當(dāng)時(shí)，根據(jù)開口方向和對(duì)稱軸可知，至多有一解.恰有一解條件,解得當(dāng)時(shí)，,有一解條件,解得;當(dāng)時(shí),,至多有一解.有一解條件，解得.所以時(shí)有2解;若,由于,時(shí)，得.:此時(shí),有一解條件,,或者，無解.有兩解的條件：,解得.所以時(shí)符合題意.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.故答案為：.11．（2025·天津·一模）函數(shù)，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先作出，利用的零點(diǎn)為和，再對(duì)進(jìn)行分類討論，分，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】的圖象如圖，由圖知，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)稱軸，又，，則滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，則在有2個(gè)零點(diǎn)，易知，所以只需即可，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，且在有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)對(duì)稱，又，則，即，令，對(duì)稱軸，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：12．（2025·天津河西·一模）定義函數(shù)，，若至少有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】分析可知，