高中數學必修三函數復習資料集同學們，函數是高中數學的核心內容，貫穿于整個高中數學的學習過程，也是后續(xù)學習高等數學的重要基礎。必修三的函數部分，為我們打開了探索變量之間依賴關系的大門。這份復習資料集旨在幫助大家系統(tǒng)梳理這部分知識，鞏固基礎，提升能力，希望能為大家的復習之路提供一些助力。一、函數的基本概念與表示（一）函數的定義在一個變化過程中，我們關注兩個變量，設為x和y。如果對于x的每一個確定的值，按照某個對應關系f，y都有唯一確定的值與之對應，那么就稱y是x的函數，記作y=f(x)。其中，x稱為自變量，y稱為因變量。x的取值范圍叫做函數的定義域，與x對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。理解要點：*核心：兩個非空數集間的一種確定的對應關系，強調“每一個”自變量x都有“唯一”的函數值y與之對應。*三要素：定義域、對應關系、值域。其中，定義域和對應關系是決定因素，值域由定義域和對應關系共同確定。（二）函數的定義域定義域是函數的“靈魂”，研究函數必須首先考慮定義域。常見基本初等函數的定義域：*整式函數（如一次函數、二次函數等）：定義域為全體實數。*分式函數：分母不為零。*偶次根式函數：被開方數非負。*對數函數：真數大于零，底數大于零且不等于1。定義域的求解原則：1.若函數由解析式給出，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合。2.若函數涉及實際問題，其定義域還需考慮實際意義。3.若函數是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的取值集合（即各部分定義域的交集）。（三）函數的表示方法函數的表示方法主要有三種：解析法、列表法和圖像法。*解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系。優(yōu)點是簡潔、準確，便于進行理論分析和運算。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應關系。優(yōu)點是直觀、明了，便于查找特定自變量對應的函數值。*圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應關系。優(yōu)點是形象、直觀，能清晰地反映函數的變化趨勢和某些性質。分段函數：在定義域的不同區(qū)間上，對應關系用不同解析式表示的函數稱為分段函數。分段函數是一個函數，而非多個函數，其圖像可能由幾段不同的曲線或直線組成。處理分段函數問題時，要注意在不同定義域區(qū)間上分別進行討論。二、函數的基本性質函數的性質是描述函數行為特征的重要方面，掌握這些性質有助于我們更深入地理解函數。（一）單調性定義：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數y=f(x)在區(qū)間D上是增函數；*當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數y=f(x)在區(qū)間D上是減函數。如果函數y=f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。判斷方法：1.定義法：取值、作差（或作商）、變形、定號、下結論。2.圖像法：觀察函數圖像在某區(qū)間上是上升的（增函數）還是下降的（減函數）。3.復合函數單調性：“同增異減”（此部分在必修三可能涉及較少，可作為拓展了解）。幾何意義：函數的單調性反映在圖像上，就是函數圖像在單調遞增區(qū)間上從左到右是上升的，在單調遞減區(qū)間上從左到右是下降的。（二）奇偶性定義：設函數y=f(x)的定義域為D，如果對于定義域D內的任意一個x，都有-x∈D，且：*f(-x)=f(x)，那么函數y=f(x)就叫做偶函數；*f(-x)=-f(x)，那么函數y=f(x)就叫做奇函數。判斷步驟：1.首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱。若不對稱，則函數既不是奇函數也不是偶函數。2.若定義域對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系。圖像特征：*偶函數的圖像關于y軸對稱。*奇函數的圖像關于原點對稱。重要結論：*既是奇函數又是偶函數的函數，其解析式只能是f(x)=0，且定義域關于原點對稱。*奇函數若在x=0處有定義，則f(0)=0。三、基本初等函數必修三涉及的基本初等函數主要包括指數函數、對數函數和冪函數。（一）指數函數定義：一般地，函數y=a?(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。圖像與性質：*底數a的影響：*當a>1時，函數在R上是增函數；圖像經過點(0,1)和(1,a)；當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1。*當0<a<1時，函數在R上是減函數；圖像經過點(0,1)和(1,a)；當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1。*共性：定義域為R；值域為(0,+∞)；圖像都過定點(0,1)；函數值恒大于0。指數冪的運算性質：(此部分是學習指數函數的基礎，需熟練掌握)*a?·a?=a???*(a?)?=a??*(ab)?=a?b?(其中a>0,b>0,m,n∈R)（二）對數函數定義：一般地，函數y=log?x(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0,+∞)。圖像與性質：*底數a的影響：*當a>1時，函數在(0,+∞)上是增函數；圖像經過點(1,0)和(a,1)；當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0。*當0<a<1時，函數在(0,+∞)上是減函數；圖像經過點(1,0)和(a,1)；當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0。*共性：定義域為(0,+∞)；值域為R；圖像都過定點(1,0)。對數的運算性質：(此部分是學習對數函數的基礎，需熟練掌握)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：*log?(M·N)=log?M+log?N*log?(M/N)=log?M-log?N*log?M?=nlog?M(n∈R)*換底公式：log_bN=log?N/log?b(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0)常用推論：log_ba=1/log?b，log_{a?}b?=(m/n)log?b。指數函數與對數函數的關系：指數函數y=a?(a>0,a≠1)與對數函數y=log?x(a>0,a≠1)互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱。（三）冪函數定義：一般地，形如y=x?(a為常數)的函數，叫做冪函數。其中x是自變量，a是常數。圖像與性質（以常見冪函數為例）：我們主要研究a=1,2,3,-1,1/2等幾種常見冪函數的圖像和性質。*共性：所有冪函數都過點(1,1)。*個性（因a而異）：*定義域、值域：隨a的不同而不同。例如，y=x2的定義域為R，值域為[0,+∞)；y=x?1的定義域為{x|x≠0}，值域為{y|y≠0}；y=x^(1/2)的定義域為[0,+∞)，值域為[0,+∞)。*單調性：例如，y=x在R上單調遞增；y=x2在(-∞,0]上單調遞減，在[0,+∞)上單調遞增；y=x?1在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調遞減。*奇偶性：例如，y=x,y=x3是奇函數；y=x2是偶函數；y=x^(1/2)既不是奇函數也不是偶函數。圖像特征：冪函數的圖像形狀與其指數a密切相關，需要結合具體的a值來分析，重點掌握上述幾種常見冪函數的圖像。四、函數的應用函數的應用主要體現在利用函數知識解決實際問題，以及運用函數思想分析和解決數學問題。（一）函數模型的構建與應用在解決實際問題時，常常需要通過分析問題情境，抽象出變量之間的關系，建立函數模型，然后利用函數的性質求解，并對結果進行檢驗和解釋。常見的函數模型有一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型和冪函數模型等。步驟：審題→設元→建立函數關系（模型）→求解函數模型→檢驗結果→作答。（二）函數與方程（初步）函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標。判斷函數y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點，可以利用函數的單調性和零點存在性定理（如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點）。五、函數思想與方法總結1.數形結合思想：這是學習函數最重要的思想方法。函數的圖像能夠直觀地反映函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質。在解題時，要養(yǎng)成畫圖、識圖、用圖的習慣，將抽象的代數問題與直觀的幾何圖形結合起來。2.分類討論思想：當問題中含有參數（如指數函數、對數函數的底數a），或在不同條件下函數有不同表達式（如分段函數），或函數性質隨自變量取值范圍變化時，需要進行分類討論。3.轉化與化歸思想：將復雜問題轉化為簡單問題，將未知問題轉化為已知問題。例如，利用指數與對數的互化解決相關方程或不等式問題。4.配方法：在研究二次函數的最值、單調性等問題時，配方法是常用的手段。5.定義法：利用函數單調性、奇偶性等定義來判斷、證明函數的性質，是最根本的方法。六、復習建議1.回歸課本，夯實基礎：認真回顧教材中的定義、定理、公式和例題，確保對基礎知識的理解準確無誤。2.梳理知識網絡：將零散的知識點串聯(lián)起來，形成系統(tǒng)的知識結構，如函數的定義、性質、圖像、常見函數模型及其應用等。3.重視錯題，查漏補缺：整理錯題本，分析錯誤原因，及時彌補知識漏洞和思維缺陷。4.適度練習，注