成人教育高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料匯編前言高等數(shù)學(xué)是成人教育階段一門重要的基礎(chǔ)理論課程，它不僅為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)工具，更能培養(yǎng)學(xué)員的邏輯思維能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本資料匯編旨在幫助各位學(xué)員系統(tǒng)梳理高等數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，鞏固基礎(chǔ)，掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提升解題技能，為順利通過(guò)課程考核及未來(lái)的學(xué)習(xí)與工作奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本匯編內(nèi)容的組織力求條理清晰，重點(diǎn)突出，注重實(shí)用性和針對(duì)性。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，建議學(xué)員結(jié)合教材，循序漸進(jìn)，在理解基本概念和原理的基礎(chǔ)上，通過(guò)適量練習(xí)加深鞏固，切忌死記硬背。遇到疑難問(wèn)題，應(yīng)多思考、多請(qǐng)教，力求弄懂每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。目錄1.第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.2極限1.3連續(xù)2.第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式2.3高階導(dǎo)數(shù)2.4微分3.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值3.4函數(shù)的最值3.5函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn)4.第四章不定積分4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.2換元積分法4.3分部積分法4.4有理函數(shù)的積分（簡(jiǎn)介）5.第五章定積分5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）5.3定積分的換元法與分部積分法5.4定積分的應(yīng)用（面積、體積簡(jiǎn)介）6.第六章常微分方程初步6.1微分方程的基本概念6.2一階微分方程（可分離變量、齊次、線性方程）6.3二階常系數(shù)線性微分方程（簡(jiǎn)介）7.第七章多元函數(shù)微積分初步（選學(xué)）7.1多元函數(shù)的基本概念7.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.3二重積分的概念與計(jì)算（簡(jiǎn)介）8.復(fù)習(xí)與解題建議---第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.1.1函數(shù)的概念函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D→R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為y=f(x)，x∈D。其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，f(D)={y|y=f(x),x∈D}稱為值域。理解要點(diǎn)：兩個(gè)函數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同。定義域的確定是首要的，通常考慮分母不為零、偶次根式下非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零等基本要求。1.1.2函數(shù)的性質(zhì)*有界性：若存在常數(shù)M>0，使得對(duì)一切x∈I（I為定義域內(nèi)某區(qū)間），都有|f(x)|≤M，則稱f(x)在I上有界。*單調(diào)性：對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x?<x?，若f(x?)<f(x?)，則稱f(x)在I上單調(diào)增加；若f(x?)>f(x?)，則稱f(x)在I上單調(diào)減少。*奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若f(-x)=f(x)，則為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則為奇函數(shù)。偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*周期性：若存在非零常數(shù)T，使得對(duì)一切x∈D，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期。通常所說(shuō)的周期是指最小正周期（若存在）。1.1.3基本初等函數(shù)與初等函數(shù)*基本初等函數(shù)：冪函數(shù)(y=x^μ,μ∈R)、指數(shù)函數(shù)(y=a^x,a>0,a≠1)、對(duì)數(shù)函數(shù)(y=log?x,a>0,a≠1)、三角函數(shù)(sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx)、反三角函數(shù)(arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx)。要熟悉它們的定義域、值域、圖像和基本性質(zhì)。*復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u)，u=φ(x)，若φ(x)的值域與f(u)的定義域有交集，則y=f[φ(x)]稱為由f和φ復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，u為中間變量。復(fù)合函數(shù)的分解是后續(xù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。*初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。1.2極限1.2.1數(shù)列的極限數(shù)列{x?}的極限為A，是指當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，x?無(wú)限接近于常數(shù)A。記為lim?→∞x?=A或x?→A(n→∞)。理解要點(diǎn)：“無(wú)限增大”和“無(wú)限接近”是描述性的語(yǔ)言，其嚴(yán)格定義為ε-N語(yǔ)言，核心在于對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總能找到相應(yīng)的N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|x?-A|<ε。1.2.2函數(shù)的極限*x→x?時(shí)函數(shù)的極限：lim?→x?f(x)=A，指當(dāng)x無(wú)限接近于x?（但x≠x?）時(shí)，f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A。類似地，有左極限lim?→x??f(x)和右極限lim?→x??f(x)。函數(shù)在x?處極限存在的充要條件是左、右極限都存在且相等。*x→∞時(shí)函數(shù)的極限：lim?→∞f(x)=A，指當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A。也可分為x→+∞和x→-∞。1.2.3極限的性質(zhì)包括唯一性、有界性（局部有界性）、保號(hào)性（局部保號(hào)性）。1.2.4極限的運(yùn)算法則若limf(x)=A，limg(x)=B，則：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)*g(x)]=A*B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)*lim[c*f(x)]=c*A(c為常數(shù))*lim[f(x)]?=A?(n為正整數(shù))這些法則對(duì)數(shù)列極限同樣適用，且可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。1.2.5重要極限*lim?→0(sinx/x)=1(第一個(gè)重要極限，用于計(jì)算含三角函數(shù)的0/0型極限)*lim?→0(1+x)^(1/x)=e或lim?→∞(1+1/n)?=e(第二個(gè)重要極限，用于計(jì)算1^∞型極限)*等價(jià)無(wú)窮小替換：當(dāng)x→0時(shí)，常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小有：sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ln(1+x)~x,e?-1~x,1-cosx~(1/2)x2,(1+x)^α-1~αx(α為常數(shù))。在乘除運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小可以相互替換，簡(jiǎn)化極限計(jì)算。1.2.6無(wú)窮小量與無(wú)窮大量*無(wú)窮小量：極限為零的變量稱為無(wú)窮小量。*無(wú)窮大量：絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大量。無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量（非零），反之亦然。*無(wú)窮小量的階：用來(lái)比較兩個(gè)無(wú)窮小量趨于零的快慢。高階、低階、同階、等價(jià)無(wú)窮小。1.3連續(xù)1.3.1函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處連續(xù)，是指lim?→x?f(x)=f(x?)。這要求f(x?)有定義，lim?→x?f(x)存在，且兩者相等。也可表述為：Δx→0時(shí)，Δy=f(x?+Δx)-f(x?)→0。若函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在I上連續(xù)。1.3.2間斷點(diǎn)及其分類若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處不連續(xù)，則x?為f(x)的間斷點(diǎn)。*第一類間斷點(diǎn)：左、右極限都存在。包括可去間斷點(diǎn)（左、右極限相等但不等于f(x?)或f(x?)無(wú)定義）和跳躍間斷點(diǎn)（左、右極限不相等）。*第二類間斷點(diǎn)：左、右極限至少有一個(gè)不存在。如無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)。1.3.3初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。利用連續(xù)性求極限：若f(x)在x?處連續(xù)，則lim?→x?f(x)=f(x?)。1.3.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)*有界性定理：閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。*最大值最小值定理：閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值。*介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)介于f(a)與f(b)之間的任何常數(shù)C，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。*零點(diǎn)定理（根的存在定理）：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（f(a)·f(b)<0），則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。---第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x?處取得增量Δx（點(diǎn)x?+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)，記為f'(x?)，y'|?=x?，dy/dx|?=x?或df(x)/dx|?=x?。即f'(x?)=lim_{Δx→0}[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx。也可寫成f'(x?)=lim?→x?[f(x)-f(x?)]/(x-x?)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線的斜率。切線方程為y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)。2.1.2左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)f?'(x?)=lim_{Δx→0?}[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx(左導(dǎo)數(shù))f?'(x?)=lim_{Δx→0?}[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx(右導(dǎo)數(shù))函數(shù)在x?處可導(dǎo)的充要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。2.1.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。反之，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例如，y=|x|在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。2.2求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則：*(u±v)'=u'±v'*(Cu)'=Cu'(C為常數(shù))*(uv)'=u'v+uv'*(u/v)'=(u'v-uv')/v2(v≠0)2.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)y=f(u)，u=φ(x)，且f(u)及φ(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為dy/dx=dy/du*du/dx或y'(x)=f'(u)*φ'(x)。這是求導(dǎo)中非常重要的法則，要熟練掌握。2.2.3反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)x=φ(y)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且φ'(y)≠0，則它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且f'(x)=1/φ'(y)或dy/dx=1/(dx/dy)。2.2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式*(C)'=0(C為常數(shù))*(x^μ)'=μx^(μ-1)(μ為常數(shù))*(sinx)'=cosx*(cosx)'=-sinx*(tanx)'=sec2x*(cotx)'=-csc2x*(secx)'=secxtanx*(cscx)'=-cscxcotx*(a^x)'=a^xlna(a>0,a≠1)*(e^x)'=e^x*(log?x)'=1/(xlna)(a>0,a≠1)*(lnx)'=1/x*(arcsinx)'=1/√(1-x2)(-1<x<1)*(arccosx)'=-1/√(1-x2)(-1<x<1)*(arctanx)'=1/(1+x2)*(arccotx)'=-1/(1+x2)這些公式是求導(dǎo)的基礎(chǔ)，必須熟記并能靈活運(yùn)用。2.2.5隱函數(shù)的求導(dǎo)若方程F(x,y)=0確定了y是x的函數(shù)y=y(x)，則稱此函數(shù)為隱函數(shù)。求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，遇到含y的項(xiàng)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，然后解出y'。2.2.6參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若函數(shù)由參數(shù)方程{x=φ(t),y=ψ(t)}確定，則dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ'(t)/φ'(t)(φ'(t)≠0)。2.3高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù)，若f'(x)可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為y''，f''(x)，d2y/dx2或d2f/dx2。類似地，可以定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)……n階導(dǎo)數(shù)。常見(jiàn)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公