2025年大學(xué)數(shù)學(xué)（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）期中測(cè)試卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知P(X=1)=P(X=2)，則λ的值為（）A.1B.2C.3D.42.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，且f(-x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有（）A.F(-a)=1-∫??f(x)dxB.F(-a)=1/2-∫??f(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-13.已知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且它們的分布函數(shù)分別為F?(x)和F?(y)，則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)為（）A.F?(z)F?(z)B.F?(z)+F?(z)-F?(z)F?(z)C.1-(1-F?(z))(1-F?(z))D.min(F?(z),F?(z))4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X的邊緣概率密度f(wàn)?(x)為（）A.∫?∞?∞f(x,y)dyB.∫?∞?∞f(x,y)dxC.∫??∞f(x,y)dyD.∫??∞f(x,y)dx5.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P(|X-μ|<σ)（）A.單調(diào)增大B.單調(diào)減小C.保持不變D.增減不定6.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列結(jié)論正確的是（）A.(n-1)S2/σ2服從自由度為n-1的χ2分布B.n(X?-μ)/S服從自由度為n-1的t分布C.(X?-μ)/(S/√n)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)D.X?與S2相互獨(dú)立7.設(shè)總體X的均值為μ，方差為σ2，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為X?，則μ的無(wú)偏估計(jì)量是（）A.X?B.(X?+X?)/2C.X?D.(X?-X?)/28.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）A.若A,B互斥，則A,B一定相互獨(dú)立B.若A,B相互獨(dú)立，則A,B一定互斥C.若A,B互斥，則P(A|B)=0D.若A,B相互獨(dú)立，則P(A|B)=P(A)9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則P(X=a)=（）A.F(a)B.F(a?)-F(a)C.F(a)-F(a?)D.010.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則θ的矩估計(jì)量為（）A.2X?B.X?C.max(X?,X?,…,X?)D.min(X?,X?,…,X?)二、多項(xiàng)選擇題（總共5題，每題4分，每題至少有兩個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)B.當(dāng)σ固定時(shí)，μ越大，曲線越“瘦高”C.當(dāng)μ固定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”D.P(X<μ)=0.52.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，則（）A.∫?∞?∞f(x)dx=1B.f(x)≥0C.P(a<X<b)=∫??f(x)dxD.f(x)是連續(xù)函數(shù)3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則（）A.F(-∞,y)=0B.F(x,-∞)=0C.F(+∞,+∞)=1D.F(x,y)是關(guān)于x和y的不減函數(shù)4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的是（）A.(X?-μ)/(σ/√n)B.(n-1)S2/σ2C.(X?-μ)/(σ/√n)D.(X?-μ)/(S/√n)5.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6，則（）A.P(AB)=0.1B.A與B互斥C.A與B相互獨(dú)立D.P(A|B)=1/3三、判斷題（總共10題，每題2分，請(qǐng)判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）1.若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)連續(xù)，則X一定是連續(xù)型隨機(jī)變量。（）2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則P(X>s+t|X>s)=P(X>t)。（）3.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)=f?(x)f?(y)，則X與Y相互獨(dú)立。（）4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則樣本均值X?與樣本方差S2相互獨(dú)立。（）5.若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)。（）6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，則E(X2)=∫?∞?∞x2f(x)dx。（）7.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,1)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則樣本均值X?的方差為1/n2。（）8.若隨機(jī)事件A與B互斥，則P(A|B)=0。（）9.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(|X-μ|<2σ)>0.95。（）10.若總體X的均值為μ，方差為σ2，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，則樣本方差S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)量。（）四、簡(jiǎn)答題（總共3題，每題10分，請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題）1.簡(jiǎn)述正態(tài)分布的性質(zhì)。2.說(shuō)明矩估計(jì)法的基本思想。3.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義及判斷方法。五、計(jì)算題（總共2題，每題15分，請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程）1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={6xy,0<x<1,0<y<1-x;0,其他}，求：（1）X的邊緣概率密度f(wàn)?(x)；（2）P(X+Y<1)。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,4)，X?,X?,…,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為X?。（1）已知n=16，求P(|X?-μ|<1)；（2）要使P(|X?-μ|<1)≥0.95，問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)取多大？答案：一、選擇題1.B2.B3.C4.A5.C6.A7.A8.CD9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題1.ACD2.ABC3.ABCD4.AC5.AD三、判斷題1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、簡(jiǎn)答題1.正態(tài)分布的性質(zhì)：（1）正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)；（2）當(dāng)σ固定時(shí)，μ越大，曲線越向右平移，當(dāng)μ固定時(shí)，σ越大，曲線越“矮胖”；（3）P(|X-μ|<σ)≈0.6826，P(|X-μ|<2σ)≈0.9544，P(|X-μ|<3σ)≈0.9974等。2.矩估計(jì)法的基本思想：用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩。設(shè)總體X的分布函數(shù)中含有未知參數(shù)θ?,θ?,…,θ?，首先求出總體的k階原點(diǎn)矩E(X?)，它是θ?,θ?,…,θ?的函數(shù)。然后用樣本的k階原點(diǎn)矩A?=(1/n)∑????X??來(lái)代替總體的k階原點(diǎn)矩E(X?)，得到關(guān)于θ?,θ?,…,θ?的方程組，解方程組得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量。3.隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。判斷方法：（1）若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)=f?(x)f?(y)，則X與Y相互獨(dú)立；（2）若隨機(jī)變量X與Y的取值范圍互不影響，也可判斷它們相互獨(dú)立。五、計(jì)算題1.（1）當(dāng)0<x<1時(shí)，f?(x)=∫?1??6xydy=3x(1-x)2；當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，f?(x)=0。所以f?(x)={3x(1-x)2,0<x<1;0,其他}。（2）P(X+Y<1)=∫?1dx∫?1??6xydy=1/4。2.（1）因?yàn)閄?~N(μ,4/16)，即X?~N(μ,1/4)，則(X?-μ)/(1/2)~N(0,1)。P(|X?-μ|<1)=P(-1<X?-μ<1)=P