第一章三角形的證明及其應(yīng)用5角平分線第2課時(shí)角平分線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)1.在角平分線性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上探索三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì)．2.能夠運(yùn)用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：三角形三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)．難點(diǎn)：三角形三條內(nèi)角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用．.導(dǎo)入新課探究活動(dòng)一:以小組為單位,每人選擇一類三角形(銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形),獨(dú)立完成以下任務(wù):1.用尺規(guī)作出所選三角形的三條角平分線.2.組內(nèi)交流各自的作圖結(jié)果,重點(diǎn)觀察三條角平分線的位置關(guān)系.導(dǎo)入新課由此,你發(fā)現(xiàn)了什么?導(dǎo)入新課探究活動(dòng)二:以小組為單位,每人選擇一類三角形(銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形),獨(dú)立完成以下任務(wù):分別過三角形三條角平分線的交點(diǎn)作三邊的垂線,用刻度尺量一量每組垂線段的長度.導(dǎo)入新課由此,你發(fā)現(xiàn)了什么?過三角形的三條角平分線的交點(diǎn)所作三角形三邊的垂線段相等.你能證明以上兩個(gè)結(jié)論嗎?這節(jié)課我們就來探究這方面的問題.新知探究任務(wù)一:探究三角形三條角平分線相交的性質(zhì)例1已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P.求證:∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.已知△ABC中,∠B與∠C的平分線相交于點(diǎn)P,如何證明∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P?要證明∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P,需要什么條件?已知的兩條角平分線相交于點(diǎn)P,由此你能得到哪些相關(guān)的結(jié)論?新知探究例1已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P.求證:∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.(1)明確探究目標(biāo):將問題分解為兩個(gè)任務(wù):①證點(diǎn)P到三邊的距離相等(用性質(zhì)定理);②證∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P(用判定定理).新知探究例1已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P.求證:∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.(2)構(gòu)建關(guān)鍵橋梁:利用“角平分線的性質(zhì)定理”作為推理工具,由BP平分∠ABC,得到PD=PE;由CP平分∠ACB,得到PE=PF.由此建立等量關(guān)系PD=PE=PF.新知探究例1已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P.求證:∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.(3)完成邏輯閉環(huán):利用“角平分線的判定定理”,由PD=PF,且PD⊥AB,PF⊥AC,證得∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P,從而證得三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).新知探究證明:如圖,過點(diǎn)P分別作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分別為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線,∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.∵PD⊥AB,PF⊥AC,∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.三角形的角平分線：三角形的三條角平分線交與一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.

該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心.符號(hào)語言：①在△ABC中，∵BD，CE，AG分別是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分線，∴BD，CE，AG相交于一點(diǎn)P.②若過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)M，N，F(xiàn)，則PM=PN=PF.我發(fā)現(xiàn)了：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形內(nèi)部.銳角三角形鈍角三角形直角三角形比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理．請(qǐng)?zhí)畋恚?/p>

三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于________________交于_______________鈍角三角形交于________________直角三角形交于________________交點(diǎn)性質(zhì)到三角形的__________的距離相等到三角形的_____的距離相等三角形內(nèi)一點(diǎn)三角形外一點(diǎn)斜邊上的中點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)三角形內(nèi)一點(diǎn)三邊1.

如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)

域，如果在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市

場到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在

（

C

）A.

三條高線的交點(diǎn)處B.

三條中線的交點(diǎn)處C.

三條角平分線的交點(diǎn)處D.

三條垂直平分線的交點(diǎn)處C跟蹤練習(xí)2.

如圖，某市有一塊由三條公路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中修建一座小亭供人們小憩，要求小亭到三條公路的距離相

等，試確定小亭的位置.解：如圖，分別作三角形綠地兩個(gè)內(nèi)角的平分線，交點(diǎn)

P

即為

小亭的位置.新知探究任務(wù)二:例題解讀例2如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)已知CD=4

cm,求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.(1)已知CD=4

cm,如何求AC的長?圖中哪些線段相等?AC=BC,DE=DC,只需利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程求出BD的長,進(jìn)而可求出AC的長.新知探究任務(wù)二:例題解讀例2如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)已知CD=4

cm,求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.(2)要證明AB=AC+CD,在幾何證明中如何處理線段和的問題?可以構(gòu)造全等三角形或?qū)B拆分為AE+EB進(jìn)行證明.新知探究

新知探究(2)證明:由(1)的求解過程易知,Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.1.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于

點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn).若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積

為（

C

）CA.10B.12C.9D.6跟蹤練習(xí)2.

如圖，在△ABC中，AB＝AC，過BC的中點(diǎn)D分別作

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).

（1）求證：DE＝DF；解：（1）證明：如圖，連接AD.

∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

（2）若∠BDE＝50°，求∠BAC的度數(shù).解：（2）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.∵∠BDE＝50°，∴∠B＝40°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°.2.

如圖，在△ABC中，AB＝AC，過BC的中點(diǎn)D分別作

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).

課堂練習(xí)1.

如圖，△ABC的三邊AC，BC，AB的長分別是8，12，16，

O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC為

（

A

）A.4∶3∶2B.5∶3∶2C.2∶3∶4D.3∶4∶5A

2.

如圖，AE與BF交于點(diǎn)O，點(diǎn)O在CG上，根據(jù)尺規(guī)作圖的

痕跡，下列說法不一定正確的是（

C

）CA.

AE，BF是△ABC的內(nèi)角平分線B.

CG也是△ABC的一條內(nèi)角平分線C.

AO＝BO＝COD.

點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等3.

如圖，O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，△ABC的面積和周

長都為24，則點(diǎn)O到BC的距離為

?.2

6

5.

如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在∠A的平分線上，過點(diǎn)P分別作

PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，連接PB，PC.

已

知∠A＝60°，∠BPC＝120°