全等三角形壓軸訓(xùn)練（多解、動(dòng)點(diǎn)、新定義型壓軸）題型一利用三角形全等求時(shí)間或線段長(zhǎng)的多解問題例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動(dòng)點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿對(duì)角線向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．連接，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的速度為時(shí)，存在某個(gè)時(shí)刻，使得以P、D、M為頂點(diǎn)的三角形與全等．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若與全等，則t的值為．2．（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，垂足為C，射線，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為秒時(shí)，與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等（）．3．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)t=秒時(shí)，與全等．4．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，的兩條高與交于點(diǎn)O，，．F是射線上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)與全等時(shí)，則秒．題型二與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題例題：（23-24七年級(jí)下·江西吉安·期末）如圖，在和中，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·四川巴中·期末）如圖，在中，點(diǎn)M，N分別是邊上的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)滿足，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，若，則下列結(jié)論：①連接，則平分；②；③；④．成立的是（

）．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，則下列四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④3．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，高與角平分線相交于點(diǎn)，的平分線分別交，于點(diǎn)，，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④題型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)最值問題例題：（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，鈍角的面積為12，最長(zhǎng)邊，平分，點(diǎn)M、N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．鞏固訓(xùn)練1.（23-24七年級(jí)下·廣東河源·期末）如圖，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)B，且，，點(diǎn)E是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

2.（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，中，，用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．題型四全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題例題：（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在小學(xué)，我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角”，請(qǐng)適當(dāng)利用上述知識(shí)，解答下列問題：已知：如圖，在正方形中，，點(diǎn)G是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．以為邊向右作正方形，作于點(diǎn)H．(1)填空：；(2)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊．①求證：；②試探索：的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值：若不是，請(qǐng)說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級(jí)下·安徽宿州·期末）在中，，點(diǎn)是射線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，那么度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，請(qǐng)你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．2．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）已知在中，，，．點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)B作射線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線的方向運(yùn)動(dòng)，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，線段與相等嗎?請(qǐng)說明理由．(2)當(dāng)線段與的其中一邊垂直時(shí)，求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）已知：中，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，連接交直線于點(diǎn)，若，求的值．題型五全等三角形中的新定義型綜合問題例題：（23-24七年級(jí)下·遼寧本溪·期末）新定義：如果兩個(gè)三角形不全等但面積相等，那么這兩個(gè)三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點(diǎn)，若與是積等三角形，求的長(zhǎng)；【理解運(yùn)用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求的長(zhǎng)．【綜合應(yīng)用】（3）如圖3，在中，過點(diǎn)C作，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，以為邊作，連接．請(qǐng)判斷與是否為積等三角形，并說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．2．（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，B分別在射線，上，過點(diǎn)A垂直的直線與過點(diǎn)B垂直的直線交于點(diǎn)Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點(diǎn)F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，，且，求證：．3．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，B分別在射線，上，過點(diǎn)A垂直的直線與過點(diǎn)B垂直的直線交于點(diǎn)Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運(yùn)用】

(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點(diǎn)F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是；(3)若是的“邊垂角”，且．①如圖2，已知，交于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，，且，，求證：；對(duì)于上述問題，小明有這樣的想法：在上截取，連接，如圖3．你明白小明的做法嗎？接下來請(qǐng)你求證．②如圖4，若，直接寫出四邊形ABDC的面積．4．（22-23七年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α()得到，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．

(1)【探索一】如圖1，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”，探索與的數(shù)量關(guān)系．在探索這個(gè)問題之前，請(qǐng)先閱讀材料：【材料】如圖2在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．是這樣