大學(xué)電動(dòng)力學(xué)課程作業(yè)題庫(kù)與解答電動(dòng)力學(xué)作為經(jīng)典物理學(xué)的重要分支，旨在研究電磁場(chǎng)的基本規(guī)律及其與物質(zhì)的相互作用。對(duì)于初學(xué)者而言，掌握其核心概念與數(shù)學(xué)工具并非易事，而通過(guò)系統(tǒng)的作業(yè)練習(xí)，則是深化理解、提升應(yīng)用能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文旨在構(gòu)建一個(gè)具有實(shí)用價(jià)值的大學(xué)電動(dòng)力學(xué)課程作業(yè)題庫(kù)框架，并輔以解答思路與要點(diǎn)提示，期望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供有益的參考。一、靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)基礎(chǔ)（一）靜電場(chǎng)核心知識(shí)點(diǎn)：庫(kù)侖定律、電場(chǎng)強(qiáng)度、高斯定理、電勢(shì)、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理、導(dǎo)體的靜電平衡、電介質(zhì)極化、電場(chǎng)能量。典型習(xí)題類型：1.電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的計(jì)算：*基于庫(kù)侖定律或電場(chǎng)疊加原理，計(jì)算具有特定電荷分布（如點(diǎn)電荷系、連續(xù)帶電體）的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。*利用電勢(shì)的定義（線積分）或電勢(shì)疊加原理計(jì)算電勢(shì)分布，并能通過(guò)電勢(shì)梯度求電場(chǎng)強(qiáng)度。*示例：試計(jì)算均勻帶電球體（半徑R，電荷體密度ρ）內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)分布，并畫出E-r和V-r曲線。*解答要點(diǎn)：對(duì)于球?qū)ΨQ問(wèn)題，優(yōu)先考慮應(yīng)用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度。明確高斯面的選取，區(qū)分球內(nèi)（r<R）和球外（r>R）區(qū)域，分別計(jì)算電通量和包圍電荷。電場(chǎng)強(qiáng)度求出后，電勢(shì)可通過(guò)電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分（通常選取無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)）得到，同樣需分區(qū)域積分。注意積分路徑的選取及電勢(shì)在球面上的連續(xù)性。2.高斯定理與環(huán)路定理的應(yīng)用：*利用高斯定理求解具有高度對(duì)稱性（球?qū)ΨQ、柱對(duì)稱、面對(duì)稱）的電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)。*利用靜電場(chǎng)的環(huán)路定理證明靜電場(chǎng)的保守性，或分析特定情況下的電勢(shì)關(guān)系。*示例：證明真空中靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的電荷代數(shù)和除以ε?（高斯定理的證明）。*解答要點(diǎn)：從庫(kù)侖定律出發(fā)，證明點(diǎn)電荷的電場(chǎng)滿足高斯定理，再利用電場(chǎng)疊加原理推廣到任意電荷分布的電場(chǎng)。需清晰闡述立體角的概念及點(diǎn)電荷電場(chǎng)的球?qū)ΨQ性在證明中的作用。3.導(dǎo)體與電介質(zhì)：*分析導(dǎo)體在靜電平衡時(shí)的電荷分布、電場(chǎng)分布及電勢(shì)特征。*理解電介質(zhì)的極化機(jī)制，計(jì)算極化電荷，掌握有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理（D的高斯定理）及其應(yīng)用。*示例：一半徑為R的金屬球，帶電量為Q，置于相對(duì)介電常數(shù)為ε?的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中。求球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移矢量D和極化強(qiáng)度P的分布，并求電介質(zhì)表面的極化電荷面密度。*解答要點(diǎn)：金屬球在靜電平衡時(shí)電荷均勻分布于表面。由于球?qū)ΨQ性，可應(yīng)用D的高斯定理先求D，再由D與E的關(guān)系（D=ε?ε?E或D=ε?E+P）求E和P。極化電荷面密度由P的法向分量給出。（二）穩(wěn)恒磁場(chǎng)核心知識(shí)點(diǎn)：畢奧-薩伐爾定律、安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)對(duì)電流和運(yùn)動(dòng)電荷的作用、磁介質(zhì)磁化。典型習(xí)題類型：1.磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算：*應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算簡(jiǎn)單載流導(dǎo)線（如直導(dǎo)線、圓電流、螺線管等）產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。*應(yīng)用安培環(huán)路定理計(jì)算具有高度對(duì)稱性（軸對(duì)稱等）的電流分布產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。*示例：一無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，通有電流I。試?yán)卯厞W-薩伐爾定律計(jì)算空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。*解答要點(diǎn)：建立合適的坐標(biāo)系，寫出電流元Idl的表達(dá)式及其到場(chǎng)點(diǎn)的位矢r，代入畢奧-薩伐爾定律公式，注意矢量叉乘的方向和大小，正確進(jìn)行積分運(yùn)算。利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。2.安培環(huán)路定理的應(yīng)用：*利用安培環(huán)路定理求解具有軸對(duì)稱性的電流分布（如無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱、螺線管、螺繞環(huán)等）的磁場(chǎng)。*示例：一無(wú)限長(zhǎng)密繞螺線管，單位長(zhǎng)度匝數(shù)為n，通有電流I。忽略邊緣效應(yīng)，求管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。*解答要點(diǎn)：根據(jù)螺線管的對(duì)稱性（無(wú)限長(zhǎng)、密繞），可知管內(nèi)磁場(chǎng)均勻且方向平行于軸線，管外磁場(chǎng)為零。選取合適的矩形安培環(huán)路，應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。3.磁場(chǎng)對(duì)電流和運(yùn)動(dòng)電荷的作用：*計(jì)算洛倫茲力、安培力及載流線圈在磁場(chǎng)中受到的磁力矩。*示例：一矩形載流線圈，邊長(zhǎng)分別為a和b，電流為I，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，線圈平面法線方向與B的夾角為θ。求線圈所受的磁力矩大小和方向。*解答要點(diǎn)：可先計(jì)算線圈各邊所受的安培力，再求力對(duì)軸的力矩；或直接應(yīng)用磁力矩公式M=m×B，其中磁矩m=ISn?，S為線圈面積，n?為法線方向單位矢量。明確θ角的定義。二、電磁感應(yīng)與電磁波（一）電磁感應(yīng)核心知識(shí)點(diǎn)：法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)、自感與互感、磁場(chǎng)能量。典型習(xí)題類型：1.法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用：*計(jì)算由于磁通量變化（磁場(chǎng)變化或回路面積/取向變化）所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。*運(yùn)用楞次定律判斷感應(yīng)電流或感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向。*示例：一面積為S的平面線圈，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B(t)=B?sin(ωt)的均勻磁場(chǎng)中，線圈平面法線方向與磁場(chǎng)方向夾角為θ。求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。*解答要點(diǎn)：明確磁通量Φ=B·S=BScosθ，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律ε=-dΦ/dt計(jì)算。注意負(fù)號(hào)的意義，可結(jié)合楞次定律判斷電動(dòng)勢(shì)方向。2.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)：*區(qū)分動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)（導(dǎo)體在穩(wěn)恒磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)）和感生電動(dòng)勢(shì)（導(dǎo)體不動(dòng)，磁場(chǎng)變化），并分別用相應(yīng)公式計(jì)算。*理解感生電場(chǎng)的概念及其環(huán)路定理。*示例：一長(zhǎng)直導(dǎo)線通有穩(wěn)恒電流I，一與導(dǎo)線共面的矩形線圈以速度v沿垂直于導(dǎo)線的方向遠(yuǎn)離導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)。已知某時(shí)刻線圈與導(dǎo)線的距離為a，線圈邊長(zhǎng)分別為l（平行于導(dǎo)線）和b（垂直于導(dǎo)線）。求此時(shí)線圈中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。*解答要點(diǎn)：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力是洛倫茲力。在矩形線圈中，只有與導(dǎo)線垂直的兩邊因切割磁感線而產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，且方向相反。需先求出長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的非均勻磁場(chǎng)分布B(r)，再對(duì)每一段導(dǎo)體應(yīng)用ε=∫(v×B)·dl計(jì)算，最后求代數(shù)和。3.自感與互感：*計(jì)算簡(jiǎn)單幾何形狀導(dǎo)體（如長(zhǎng)直螺線管、同軸電纜）的自感系數(shù)。*計(jì)算兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù)。*示例：計(jì)算長(zhǎng)度為l，匝數(shù)為N，截面積為S的長(zhǎng)直密繞螺線管的自感系數(shù)L。*解答要點(diǎn)：自感系數(shù)L可通過(guò)Φ=LI或W?=(1/2)LI2計(jì)算。通常先設(shè)螺線管通有電流I，求出管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B，進(jìn)而求出通過(guò)每匝線圈的磁通量及總磁鏈NΦ，再由L=NΦ/I得到結(jié)果。（二）電磁波核心知識(shí)點(diǎn)：麥克斯韋方程組、電磁波的產(chǎn)生與傳播、電磁波的基本性質(zhì)（橫波性、E與B的關(guān)系、能量與能流）、電磁波的反射與折射（菲涅爾公式初步）。典型習(xí)題類型：1.麥克斯韋方程組的理解與應(yīng)用：*闡述麥克斯韋方程組積分形式的物理意義。*由麥克斯韋方程組導(dǎo)出電磁波波動(dòng)方程。*示例：簡(jiǎn)述麥克斯韋方程組四個(gè)方程的物理意義，并說(shuō)明位移電流假設(shè)的提出對(duì)完善電磁場(chǎng)理論的重要性。*解答要點(diǎn)：分別解釋高斯定理（電）、高斯定理（磁）、法拉第電磁感應(yīng)定律、安培-麥克斯韋定律的物理內(nèi)涵。強(qiáng)調(diào)位移電流的引入使得麥克斯韋方程組能夠預(yù)言電磁波的存在，并保證了電流的連續(xù)性。2.平面電磁波的性質(zhì)：*已知平面電磁波的電場(chǎng)表達(dá)式，寫出磁場(chǎng)表達(dá)式，并確定波的傳播方向、頻率、波長(zhǎng)等。*計(jì)算電磁波的能量密度、能流密度（坡印廷矢量）。*示例：在真空中傳播的一平面電磁波，其電場(chǎng)強(qiáng)度為E=E?cos(kz-ωt)i。試求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式；（2）電磁波的傳播方向；（3）坡印廷矢量的平均值。*解答要點(diǎn)：對(duì)于平面電磁波，E、H、k（波矢）三者互相垂直，構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，且E?/H?=√(μ?/ε?)（真空中波阻抗）。由給定的E表達(dá)式確定k和ω的方向，進(jìn)而寫出H的表達(dá)式。坡印廷矢量S=E×H，其平均值需對(duì)一個(gè)周期積分。三、狹義相對(duì)論基礎(chǔ)核心知識(shí)點(diǎn)：狹義相對(duì)論基本原理、洛倫茲變換、相對(duì)論時(shí)空觀（同時(shí)性的相對(duì)性、長(zhǎng)度收縮、時(shí)間膨脹）、相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)（質(zhì)能關(guān)系、動(dòng)量能量關(guān)系）。典型習(xí)題類型：1.洛倫茲變換的應(yīng)用：*利用洛倫茲坐標(biāo)變換和速度變換公式解決不同慣性系間的時(shí)空坐標(biāo)和速度轉(zhuǎn)換問(wèn)題。*示例：在慣性系S中，一事件發(fā)生在t=t?，x=x?，y=y?，z=z?處。另一慣性系S'沿S系的x軸正方向以速度v運(yùn)動(dòng)。求該事件在S'系中的時(shí)空坐標(biāo)(x',y',z',t')。*解答要點(diǎn)：直接應(yīng)用洛倫茲坐標(biāo)變換公式。注意坐標(biāo)變換中時(shí)空是相互關(guān)聯(lián)的，與伽利略變換的區(qū)別。明確各物理量的含義及正負(fù)號(hào)規(guī)定。2.相對(duì)論時(shí)空效應(yīng)：*分析同時(shí)性的相對(duì)性，計(jì)算運(yùn)動(dòng)桿的長(zhǎng)度收縮和運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘的時(shí)間膨脹效應(yīng)。*示例：一固有長(zhǎng)度為l?的桿，在慣性系S中沿x軸放置，并以速度u沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求在相對(duì)S系沿x軸正方向以速度v運(yùn)動(dòng)的慣性系S'中觀測(cè)到的桿長(zhǎng)。*解答要點(diǎn)：首先明確在S系中桿的長(zhǎng)度（運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度），或者直接在S'系中應(yīng)用洛倫茲變換，對(duì)桿兩端的坐標(biāo)進(jìn)行測(cè)量（要求同時(shí)測(cè)量）。注意區(qū)分固有長(zhǎng)度（相對(duì)桿靜止的參考系中測(cè)得的長(zhǎng)度）。也可先求出桿相對(duì)S'系的速度u'，再應(yīng)用長(zhǎng)度收縮公式l=l?√(1-u'2/c2)。3.相對(duì)論動(dòng)力學(xué)：*計(jì)算相對(duì)論質(zhì)量、動(dòng)量、動(dòng)能和總能量，應(yīng)用質(zhì)能關(guān)系和動(dòng)量能量關(guān)系解決問(wèn)題。*示例：一靜止質(zhì)量為m?的粒子，在恒力F（相對(duì)論情況下，力仍定義為動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率F=dp/dt）作用下從靜止開始沿力的方向運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)粒子速度達(dá)到v時(shí)，其所經(jīng)歷的時(shí)間和通過(guò)的距離。*解答要點(diǎn)：相對(duì)論動(dòng)量p=m?v/√(1-v2/c2)。由F=dp/dt分離變量積分可求得時(shí)間t與速度v的關(guān)系。再利用v=dx/dt，結(jié)合已得的t(v)，通過(guò)積分求出距離x。此過(guò)程需要一定的微積分運(yùn)算技巧。四、解題策略與建議1.深刻理解基本概念與規(guī)律：電動(dòng)力學(xué)的公式繁多，但均由基本概念和規(guī)律導(dǎo)出。務(wù)必吃透麥克斯韋方程組的物理意義，掌握?qǐng)龅寞B加原理、高斯定理、安培環(huán)路定理、法拉第電磁感應(yīng)定律等核心規(guī)律的適用條件和應(yīng)用方法。2.重視數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用：矢量分析（散度、旋度、梯度、高斯公式、斯托克斯公式）是電動(dòng)力學(xué)的語(yǔ)言，微積分（多重積分、線面積分、常微分方程、偏微分方程）是解決問(wèn)題的主要工具。應(yīng)熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)，并能靈活應(yīng)用于物理問(wèn)題。3.培養(yǎng)物理圖像與建模能力：面對(duì)具體問(wèn)題，首先要分析物理過(guò)程，明確研究對(duì)象，建立清晰的物理圖像，然后選擇合適的坐標(biāo)系和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行描述和求解。對(duì)稱性分析在簡(jiǎn)化問(wèn)題中往往起到關(guān)鍵作用。4.規(guī)范解題步驟：解題時(shí)應(yīng)步驟清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。寫出必要的文字說(shuō)明，明確公式中各物理量的含義。先進(jìn)行公式推導(dǎo)，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算。注意單位的一致性。5.多做練習(xí)，勤于總結(jié)：通過(guò)大量習(xí)題練習(xí)可以加深對(duì)概念的理解，熟悉解題方法。但切忌盲目刷題，要注重總結(jié)歸納，舉一反三，特別是對(duì)于典型題型和解題思路的梳理。對(duì)于錯(cuò)題要認(rèn)真分析原因，及時(shí)糾正。結(jié)語(yǔ)電動(dòng)力學(xué)