中考數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用典型題匯編函數(shù)作為描述變量之間依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，其應(yīng)用廣泛且靈活，是中考數(shù)學(xué)考查學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要載體。掌握函數(shù)應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型，并運用函數(shù)的性質(zhì)求解。本匯編精選中考中函數(shù)應(yīng)用的典型題型，涵蓋一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的核心應(yīng)用場景，旨在幫助同學(xué)們梳理思路，提升解題能力。一、一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)因其線性特性，在實際問題中常用于刻畫勻速變化過程、方案選擇、最值比較等場景。解決此類問題的關(guān)鍵是找到兩個變量之間的線性關(guān)系，確定函數(shù)解析式，進而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)或?qū)嶋H意義求解。（一）行程與工程問題典型題1：甲、乙兩地相距若干千米，一輛貨車從甲地勻速駛向乙地，到達乙地后停止。另一輛轎車從乙地勻速駛向甲地，到達甲地后停止。兩車同時出發(fā)，設(shè)貨車行駛的時間為x小時，兩車之間的距離為y千米，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示。（1）求甲、乙兩地之間的距離。（2）求轎車的速度。（3）求兩車相遇后，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。分析：這類問題的圖象往往直觀反映了行程中的關(guān)鍵節(jié)點，如出發(fā)點、相遇點、終點等。首先要明確橫縱坐標(biāo)的含義（x：時間，y：兩車距離）。圖象起點（0，初始距離）即為甲乙兩地距離。圖象下降階段表示兩車相向而行直至相遇，相遇時y=0。之后圖象上升，需判斷哪輛車先到達終點，從而確定y的變化趨勢及后續(xù)函數(shù)關(guān)系。解答：（1）由圖象可知，當(dāng)x=0時，y的值即為甲、乙兩地之間的距離，所以兩地距離為[具體數(shù)值需結(jié)合圖象]千米。（2）設(shè)貨車速度為v?千米/小時，轎車速度為v?千米/小時。根據(jù)圖象中相遇的時間點（設(shè)為t?），可得(v?+v?)*t?=兩地距離。再結(jié)合貨車或轎車單獨行駛?cè)痰臅r間（圖象中y達到最大并保持不變的時間點t?或t?），可列出方程求出v?。（3）相遇后，兩車?yán)^續(xù)行駛，y表示兩車距離。需分情況討論：若轎車先到達甲地，則轎車停止后，貨車?yán)^續(xù)行駛，y的變化僅由貨車速度決定；反之亦然。根據(jù)圖象轉(zhuǎn)折點確定關(guān)鍵時間，進而求出不同階段的函數(shù)解析式。點評：行程問題的核心是速度、時間、路程的關(guān)系。結(jié)合函數(shù)圖象時，要抓住圖象的“拐點”所代表的實際意義，明確每個時間段內(nèi)物體的運動狀態(tài)。（二）經(jīng)濟與決策問題典型題2：某商店銷售一種進價為每件a元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)值如下表：銷售單價x（元）...bc...:--------------:--:--:--:--銷售量y（件）...de...（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）若商店每天想獲得f元的利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）為了回饋顧客，該商店決定在每天獲得不低于g元利潤的前提下，盡可能讓利于顧客，銷售單價應(yīng)定為多少元？分析：經(jīng)濟問題中，常用到的等量關(guān)系有：利潤=（售價-進價）×銷售量。題目已告知y與x是一次函數(shù)關(guān)系，故可設(shè)y=kx+m，利用表格中的兩組數(shù)據(jù)求出k和m。第（2）問通過利潤公式列出方程求解。第（3）問則是在利潤不低于g元的條件下，求使售價x最低（讓利于顧客）的值，需結(jié)合函數(shù)性質(zhì)或不等式求解。解答：（1）設(shè)y=kx+m，將（b，d），（c，e）代入，解方程組可得k和m的值，從而得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）根據(jù)利潤=（x-a）y=f，將（1）中所求y代入，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程并檢驗，舍去不符合實際意義的解。（3）由題意得（x-a）y≥g，將y代入后得到關(guān)于x的不等式?？上惹蟪隼麧櫟扔趃元時的售價x?和x?（x?<x?），結(jié)合二次函數(shù)（利潤關(guān)于x的函數(shù)）的開口方向，確定利潤不低于g元時x的取值范圍。再根據(jù)“盡可能讓利于顧客”，選擇該范圍內(nèi)的最低售價。點評：解決經(jīng)濟決策類問題，要明確各量之間的關(guān)系，尤其是利潤的構(gòu)成。對于最值或取值范圍問題，要結(jié)合函數(shù)的增減性及自變量的實際取值范圍綜合考慮。二、反比例函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)在實際問題中常用來表示兩個成反比例關(guān)系的變量，如路程一定時，速度與時間的關(guān)系；壓力一定時，壓強與受力面積的關(guān)系等。其核心是理解“乘積為定值”的含義。（一）基本量的反比例關(guān)系典型題3：某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一條河，他們想知道河的寬度。小組選了河對岸岸邊的一棵樹A，在河這邊沿岸選取了點B和點C，使得B、C、D在同一直線上，且BC=h米。測得∠ACB=α度，∠ADB=β度。已知他們使用的測角儀高度為i米（即觀測點到地面的距離）。（1）請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用含h、α、β、i的式子表示河寬AE（E為樹A在地面上的垂足，假設(shè)AE垂直于BC所在直線）。（2）若h=j米，α=k度，β=l度，i=m米，求河寬AE（精確到n米）。（注：此題為幾何測量，若引入反比例函數(shù)，可假設(shè)在一定范圍內(nèi)，測量誤差與測量距離成反比例關(guān)系，此處為示例，原題可能直接為幾何計算，反比例應(yīng)用需另尋典型）（調(diào)整后反比例典型題）典型題3：某汽車油箱的容積為p升，汽車每行駛q千米耗油1升。設(shè)汽車行駛的路程為x千米，油箱剩余油量為y升。（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。（2）若該汽車從A地出發(fā)，前往相距r千米的B地，在途中不加油的情況下，油箱中的油是否夠用？請說明理由。（3）若汽車油箱中的剩余油量y（升）與行駛時間t（小時）滿足反比例函數(shù)關(guān)系y=s/t（s為常數(shù)），當(dāng)t=u小時時，y=v升。求當(dāng)t=w小時時，油箱中的剩余油量。分析：（1）此問為一次函數(shù)關(guān)系，y=p-(x/q)。（3）此問為反比例函數(shù)應(yīng)用。已知一對t與y的值，可求出比例系數(shù)s，進而得到反比例函數(shù)解析式，再代入t=w求解。解答：（3）因為y與t成反比例，設(shè)y=s/t。當(dāng)t=u時，y=v，所以v=s/u，解得s=u*v。因此，反比例函數(shù)解析式為y=(u*v)/t。當(dāng)t=w小時時，y=(u*v)/w升。點評：反比例函數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵是找到兩個變量的乘積為常數(shù)k。在審題時要注意識別“成反比例”或隱含反比例關(guān)系的表述。三、二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)因其圖象為拋物線，具有最值性質(zhì)，故在實際問題中常用于解決“最大利潤”、“最大面積”、“最優(yōu)化方案”等問題。建立二次函數(shù)模型后，通過配方或利用頂點公式求最值是常用方法。（一）圖形面積的最值問題典型題4：如圖，在一面靠墻（墻足夠長）的空地上，用長為t米的籬笆圍成一個矩形花園ABCD，其中點A、D在墻上，點B、C在籬笆上。（1）設(shè)AB=x米，花園的面積為S平方米，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。（2）當(dāng)x為何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形面積=長×寬。AB=x米，由于一面靠墻，籬笆只圍了三邊（假設(shè)BC和CD、DA，需根據(jù)圖形確定）。若AB和CD為寬，BC為長，則BC=t-2x。因此面積S=x(t-2x)。自變量x需滿足t-2x>0，即x<t/2，且x>0。（2）S是關(guān)于x的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為x=t/4，在自變量取值范圍內(nèi)，頂點處取得最大值。解答：（1）S=x(t-2x)=-2x2+tx。自變量x的取值范圍是0<x<t/2。（2）S=-2x2+tx=-2(x2-(t/2)x)=-2(x-t/4)2+t2/8。因為a=-2<0，所以拋物線開口向下，當(dāng)x=t/4時，S取得最大值，最大值為t2/8平方米。點評：面積最值問題是二次函數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型。關(guān)鍵在于根據(jù)圖形特點，用含一個變量的代數(shù)式表示出面積，從而建立二次函數(shù)模型。注意自變量的取值范圍要符合實際意義，最值不一定在頂點處取得，需結(jié)合對稱軸與取值范圍判斷。（二）利潤與銷售的最值問題典型題5：某網(wǎng)店銷售一種時令水果，每盒進價為v元，售價為w元時，每天可售出x盒。為了擴大銷售，增加盈利，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每盒水果每降價1元，那么每天可多售出y盒。設(shè)每盒水果降價m元。（1）用含m的代數(shù)式表示：每盒水果的售價為______元，每天的銷售量為______盒。（2）若該網(wǎng)店每天銷售這種水果的盈利為z元，求z與m之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）當(dāng)每盒水果降價多少元時，每天的盈利最大？最大盈利是多少元？分析：（1）售價=原售價-降價金額，即(w-m)元；銷售量=原銷售量+因降價而增加的銷售量，即(x+y*m)盒。（2）盈利z=(售價-進價)×銷售量=(w-m-v)(x+y*m)。展開后即可得到z關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式。（3）將（2）中所得二次函數(shù)配方成頂點式，或利用頂點坐標(biāo)公式，結(jié)合m的實際取值范圍（m≥0，且w-m-v>0），求出盈利的最大值及對應(yīng)的m值。解答：（1）售價：(w-m)；銷售量：(x+y*m)。（2）z=(w-m-v)(x+y*m)=((w-v)-m)(x+y*m)=(w-v)x+(w-v)y*m-x*m-y*m2=-y*m2+[(w-v)y-x]m+(w-v)x。（3）z=-y*m2+[(w-v)y-x]m+(w-v)x，其中a=-y<0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。對稱軸為m=-b/(2a)=-[(w-v)y-x]/(2*(-y))=[(w-v)y-x]/(2y)。若對稱軸m的值在m≥0且w-m-v>0的范圍內(nèi)，則當(dāng)m取對稱軸值時，z有最大值，將m代入z的表達式即可求出最大盈利。若對稱軸m的值不在此范圍內(nèi)，則根據(jù)函數(shù)的增減性在邊界處取得最大值。點評：此類問題與一次函數(shù)的經(jīng)濟問題類似，但因銷售量隨價格變動的幅度更大（通常是“每降/漲a元，銷量增/減b件”），導(dǎo)致利潤函數(shù)成為二次函數(shù)。求解時務(wù)必注意自變量m的取值范圍，確保售價高于進價?？偨Y(jié)與備考建議函數(shù)應(yīng)用題型千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，核心在于“數(shù)學(xué)建?！薄獙嶋H問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。同學(xué)們在備考時應(yīng)注意以下幾點：1.強化審題能力：仔細閱讀題目，圈點關(guān)鍵信息，明確已知量、未知量以及它們之間的關(guān)系。特別注意區(qū)分“一次”、“反比例”、“二次”等函數(shù)特征詞。2.熟練掌握函數(shù)表達式的求法：無論是通過待定系數(shù)法求解析式，還是根據(jù)題意直接列出函數(shù)關(guān)系式，都需要扎實的基本功。3.注重數(shù)學(xué)思想方法的運用：如方程思想（列方程求解函數(shù)解析式中的參數(shù)或特定值）