10/11專題2.3空間幾何體截面問題及動點問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點的解題策略與實戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體截面問題及動點問題是高考空間幾何體中高頻考點，主要考察空間幾何體的一些截面長度問題，截面的面積問題，截面軌跡問題以及截面軌跡中的最值以及范圍問題。另外空間幾何體中的動點問題也是高考數(shù)學(xué)中的一個重難點。預(yù)測2026年：考向01判斷截面形狀考向02截面周長問題考向03截面面積問題考向04截面最值及范圍問題考向05空間幾何體中動點軌跡問題考向06空間幾何體動點問題的定量計算考向01判斷截面形狀1截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.2高頻幾何體的截面問題(1)正方體的基本斜截面：正六面體的斜截面不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．(2)圓柱體的基本截面：圓柱體：當(dāng)平面平行于底面去截時，得到的截面是圓；當(dāng)平面垂直于底面去截時，得到的截面是矩形；當(dāng)平面既不平行也不垂直于底面去截時，得到的截面是橢圓或橢圓的一部分圓錐體：當(dāng)平面平行于底面去截時，得到的截面是圓；當(dāng)平面通過圓錐的頂點且垂直于底面去截時，得到的截面是等腰三角形；當(dāng)平面既不平行于底面，也不通過頂點去截時，得到的截面是橢圓或拋物線或雙曲線的一部分球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.1在正方體中，P、Q、R分別是棱BC、、的中點，過P、Q、R三點的平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形2已知正方體中，點、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形考向02截面周長問題1常見空間幾何體截面的作法技法1直接法若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內(nèi)，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，直接連線作截面.技法2平行線法若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質(zhì)：①如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.2解題步驟：先作出截面圖形，在根據(jù)題設(shè)條件求出截面的周長，要注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問題．1如圖所示正方體中棱長為1，是棱的中點，則由，，三點確定的平面與正方體相交所得截面圖形的周長為．2如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是（

）

A． B． C． D．3已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為．考向03截面面積問題1常見空間幾何體截面的作法技法1直接法若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內(nèi)，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，直接連線作截面.技法2平行線法若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質(zhì)：①如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.2解題步驟：先作出截面圖形，在根據(jù)題設(shè)條件求出截面的周長，要注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問題．求解面積問題。截面一般是圓弧或者是特殊的平面多邊形。1已知正四面體棱長為4，所有與它四個頂點距離相等的平面截這個四面體所得的截面之和為（

）A．4 B． C． D．2在長方體中，．若，點M在長方體內(nèi)且，則平面ADM截長方體的截面面積為．3已知正方體的棱長為3，點分別在棱，，則過，，三點的平面截正方體所得多邊形的面積為考向04截面最值及范圍問題1（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，過棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．2如圖，正方形的邊長為．現(xiàn)沿對角線將翻折到的位置，使二面角成直二面角．分別為的中點，點四點都在球的表面上，則過直線的平面截球所得截面圓面積的最小值是．

3三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，分別在棱上，且平面平面，若，則平面與三棱錐的交線圍成的面積最大值為．4已知正四棱柱為對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是.考向05空間幾何體中動點的軌跡問題1對于翻折問題的動點及軌跡問題(1)翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡.(2)翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡.(3)可以利用空間坐標(biāo)運算求軌跡.2判斷軌跡的類型問題，常常要借助于圓錐曲線的定義來判斷，常見的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等.在考查學(xué)生的空間想象能力的同時，又融合了曲線的軌跡問題1如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，其所在平面為α，且∠BAD=60°，AB=2AA1=2．O是AC，A.若C1P=2，則動點P的軌跡長度為2π

B.若∠OC1P=90°，則動點P的軌跡是一條直線

C.若OP=C1P，則動點P的軌跡是一條直線

2如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿PD，PC翻折至A，B兩點重合，其中P是AB中點，在折成的三棱錐A(B)?PDC中，點Q在平面PDC內(nèi)運動，且直線AQ與棱AP的所成角為60°，則點Q運動的軌跡是

(

)

圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線3已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，點P是四邊形A1B1C1D1內(nèi)(點P的軌跡為一條拋物線

B.直線PA1與直線CD所成角的最大值為π4

C.線段PB長的最小值為3

D.三棱錐考向06空間幾何體中動點的軌跡定量計算問題1對于翻折問題的動點及軌跡問題(1)翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡.(2)翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡.(3)可以利用空間坐標(biāo)運算求軌跡.2對于動點在某條直線或者是線段上移動，一般采用向量表示。1已知正三棱錐，側(cè)棱長為5，底面邊長為8，若空間中的一個動點M滿足，則的取值范圍是．2如圖，在棱長為2的正方體中，M是棱的中點．（1）三棱錐的體積是；（2）點P是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且MP∥平面，則線段MP長度的取值范圍是3在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.(1)求證：平面；(2)求二面角的大??；(3)線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（建議用時：60分鐘）一、單選題1如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，且，下列說法不正確的是（

）A．B．若E是棱的中點，則平面截該正方體所成的截面是五邊形C．當(dāng)三棱錐體積最大時，的長度為D．當(dāng)三棱錐體積最大時，二面角的正切值是2如圖所示，在正方體中，若經(jīng)過的平面分別交和于點，則四邊形的形狀是（

）A．直角梯形 B．菱形 C．平行四邊形 D．等腰梯形3在長方體中，分別是棱的中點，點滿足，若過點的平面截長方體所得的截面為五邊形，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4如圖所示，正方體的棱長為為棱（包括端點）上的動點，在的運動過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積始終為定值.B．平面截正方體的截面不可能為等腰梯形.C．恒有大于.D．的最小值為.5如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點，在底面內(nèi)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．當(dāng)時，點的軌跡長度為C．存在唯一，使D．若，則三棱錐外接球的半徑為6如圖，已知正方體的棱長為2，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），且分別是棱的中點，則（

）

A．平面截該正方體所得的截面圖形是正五邊形B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則點的軌跡長度為7（多選）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的有（

）A．異面直線與所成的角為45°；B．此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；C．若點為棱上的動點，則的最小值為；D．若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.三、填空題8已知四面體的頂點都在同一球面上，若該球的表面積為是邊長為3的正三角形，則四面體的體積的最大值為.9如圖，正方體棱長為2，為線段的中點，為正方形的內(nèi)切圓⊙上的動點，則面積的最大值為．10已知在棱長為的正四面體中，動點滿足，記所在平面為，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.11在棱長為的正方體中，E是正方形的中心，M為的中點，過的平面α與直線DE垂直，則平面α截正方體的截面面積為．12已知在四棱錐中，底面，且，動點E在側(cè)面內(nèi)以點P為圓心，1為半徑的圓弧上，動點F在直線上，則的最小值為．13已知直四棱柱中高為1，底面是一個矩形，且，點是底邊中點，動點在以為球心1為半徑的球與（包括邊界）的交線上，動點在直線上，則的最小值為．四、解答題14如圖①所示，矩形中，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，得到圖②的四棱錐為中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的大小；(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．15如圖①所示，四邊形是直角梯形，，，且，為線段的中點．現(xiàn)沿著將折起，使點到達(dá)點，如圖②所示；連接、，其中為線段的中點．

(1)求證：平面；(2)若，，則在線段上（不含端點）是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請指出點位置；若不存在，請說明理由．

專題2.3空間幾何體截面問題及動點問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點的解題策略與實戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體截面問題及動點問題是高考空間幾何體中高頻考點，主要考察空間幾何體的一些截面長度問題，截面的面積問題，截面軌跡問題以及截面軌跡中的最值以及范圍問題。另外空間幾何體中的動點問題也是高考數(shù)學(xué)中的一個重難點。預(yù)測2026年：考向01判斷截面形狀考向02截面周長問題考向03截面面積問題考向04截面最值及范圍問題考向05空間幾何體中動點軌跡問題考向06空間幾何體動點問題的定量計算考向01判斷截面形狀1截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.2高頻幾何體的截面問題(1)正方體的基本斜截面：正六面體的斜截面不會出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．(2)圓柱體的基本截面：圓柱體：當(dāng)平面平行于底面去截時，得到的截面是圓；當(dāng)平面垂直于底面去截時，得到的截面是矩形；當(dāng)平面既不平行也不垂直于底面去截時，得到的截面是橢圓或橢圓的一部分圓錐體：當(dāng)平面平行于底面去截時，得到的截面是圓；當(dāng)平面通過圓錐的頂點且垂直于底面去截時，得到的截面是等腰三角形；當(dāng)平面既不平行于底面，也不通過頂點去截時，得到的截面是橢圓或拋物線或雙曲線的一部分球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.1在正方體中，P、Q、R分別是棱BC、、的中點，過P、Q、R三點的平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】利用平面的性質(zhì)作出過P、Q、R三點的截面，從而可判斷其形狀.【詳解】如圖，延長交的延長線于點，連接交于點，連接，因為P、Q、R分別是棱BC、、的中點，所以為的中點，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，則，連接交于點，交于點,連接，則六邊形為過P、Q、R三點的平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形.故選：D2已知正方體中，點、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】B【解析】如圖，因為點、滿足，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，延長與交于點，連接交于，延長交于點，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形，故選B．考向02截面周長問題1常見空間幾何體截面的作法技法1直接法若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內(nèi)，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，直接連線作截面.技法2平行線法若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質(zhì)：①如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.2解題步驟：先作出截面圖形，在根據(jù)題設(shè)條件求出截面的周長，要注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問題．1如圖所示正方體中棱長為1，是棱的中點，則由，，三點確定的平面與正方體相交所得截面圖形的周長為．【答案】【解析】延長相交于點，連接交于點，連接，則四邊形即為所求截面圖形,如圖，因為為的中點，由相似比可知為的中點，則，因為，分別為，中點，所以，所以，，同理，，所以周長為.2如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在正方體中，取的中點，的中點，連接，

由是的中點，得，則四邊形為平行四邊形，，由是的中點，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周長是.故選：B3已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為．【答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.考向03截面面積問題1常見空間幾何體截面的作法技法1直接法若截面上的點都在幾何體的棱上，且兩兩在同一個平面內(nèi)，可借助基本事實“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”，直接連線作截面.技法2平行線法若截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可以借助于兩個性質(zhì)：①如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行，利用平行線法作截面.2解題步驟：先作出截面圖形，在根據(jù)題設(shè)條件求出截面的周長，要注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問題．求解面積問題。截面一般是圓弧或者是特殊的平面多邊形。1已知正四面體棱長為4，所有與它四個頂點距離相等的平面截這個四面體所得的截面之和為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【詳解】如圖1，E，F(xiàn)，G分別為正四面體棱的中點，此時它的四個頂點到截面EFG的距離相等，是邊長為2的等邊三角形，．這樣的截面有4個；如圖2，E，F(xiàn)，M，N分別為正四面體棱的中點，此時它的四個頂點到截面EFMN的距離相等，四邊形EFMN是邊長為2的正方形，，這樣的截面有3個，所以滿足條件的截面的面積之和為：．故選：C．2在長方體中，．若，點M在長方體內(nèi)且，則平面ADM截長方體的截面面積為．【答案】【詳解】已知，則，設(shè)，因為，，，，所以，化簡得，得，即．又，則因，則組成一個平面，由可知在線段點在上，故點在平面內(nèi)，連接并延長交于點，連接，過點作，交于點，連接，則矩形即平面截長方體得到的截面.因，即，．故答案為：.3已知正方體的棱長為3，點分別在棱，，則過，，三點的平面截正方體所得多邊形的面積為【答案】【解析】如圖所示：分別在棱上取點，且，易得，，故，同理可得，故，同理可求得，，故過三點的平面截正方體所得的多邊形為六邊形，其面積等于兩個等腰梯形與的面積之和，由條件可得，，，從而可得梯形的高為，梯形的高為，故梯形的面積為，梯形的面積為，六邊形的面積為．考向04截面最值及范圍問題1（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，過棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作平面，垂足為，取的中點，外接球的球心為，連接，易得為的中心，則，所以，設(shè)外接球半徑為，則，即，解得，當(dāng)垂直過的截面時，截面的面積最小，此時截面圓的直徑為長，最小面積為，當(dāng)截面過球心時，截面圓的面積最大，最大面積為，故截面面積的取值范圍是.故選：B.2如圖，正方形的邊長為．現(xiàn)沿對角線將翻折到的位置，使二面角成直二面角．分別為的中點，點四點都在球的表面上，則過直線的平面截球所得截面圓面積的最小值是．

【答案】【分析】法一：記的中點為，可得為外接球球心，當(dāng)點O到EF的距離即為球心O到截面圓的距離時，截面面積最小，結(jié)合勾股定理即可求解；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，同法一即可求解．【詳解】方法一：由四邊形為正方形，得球心即為BD的中點，所以球的半徑，又連結(jié)、、、，則，，再過E作，垂足為G，過F作，垂足為H，則，

且由已知條件可得，則在等腰中，頂點O到底邊EF的距離，當(dāng)頂點O到底邊EF的距離即為球心O到截面圓的距離時，截面圓面積最大，此時截面圓的半徑，故最大面積為．方法二：易知球心即為BD的中點，所以球的半徑，又連結(jié)、，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)，，

則，，所以點O到直線EF的距離為：，以下同方法一；故答案為：．3三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，分別在棱上，且平面平面，若，則平面與三棱錐的交線圍成的面積最大值為．【答案】【解析】如圖所示，因為平面，設(shè)面，所以，同理：，設(shè)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，即，且，取中點，連接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四邊形為矩形，所以面與三棱錐的交線圍成的面積，當(dāng)，即為中點時，面積最大，最大值為，4已知正四棱柱為對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是.【答案】【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．【詳解】為的中點，即為正四棱柱的中心，由對稱性，為的中點，則，，，，所以，所以，故答案為：．

考向05空間幾何體中動點的軌跡問題1對于翻折問題的動點及軌跡問題(1)翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡.(2)翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡.(3)可以利用空間坐標(biāo)運算求軌跡.2判斷軌跡的類型問題，常常要借助于圓錐曲線的定義來判斷，常見的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等.在考查學(xué)生的空間想象能力的同時，又融合了曲線的軌跡問題1如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，其所在平面為α，且∠BAD=60°，AB=2AA1=2．O是AC，A.若C1P=2，則動點P的軌跡長度為2π

B.若∠OC1P=90°，則動點P的軌跡是一條直線

C.若OP=C1P，則動點P的軌跡是一條直線

解析：對于選項A，因為C1P=2，C1故點P的軌跡是以C為圓心，半徑為3其軌跡長度是23π對于選項B，因為∠OC1P=故點P的軌跡是過點C1且垂直O(jiān)C1的平面與α對于選項C，因為OP=C故點P的軌跡是過OC1的中點且垂直O(jiān)C1的平面與對于選項D，因為空間中到直線OC1的距離為1的點的軌跡是一個以因此點P的軌跡是一個以O(shè)為中心的橢圓，短半軸長為1，長半軸長a滿足asin30°而底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°,AB=2因此點A，C為該橢圓的焦點，PA+PC=4，所以選項D正確．故選：BCD．2如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿PD，PC翻折至A，B兩點重合，其中P是AB中點，在折成的三棱錐A(B)?PDC中，點Q在平面PDC內(nèi)運動，且直線AQ與棱AP的所成角為60°，則點Q運動的軌跡是

(

)

圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解：因為直線AQ與棱AP所成的角為60°，所以直線AQ旋轉(zhuǎn)形成了與棱AP為軸的圓錐側(cè)面，

要判斷點Q在平面PDC內(nèi)的軌跡，只需判斷平面PDC與圓錐的軸AP所成的角的大小即可．

因為AP⊥AD，AP⊥AC，AD∩AC=A，所以AP⊥平面ADC，則AP⊥DC．

取DC的中點E，連接AE，PE．

由AD=BC得AE⊥DC，所以DC⊥平面APE，則平面ADC⊥平面APE，

所以∠APE即為直線AP與平面PDC所成的角，

在Rt△APE中，AP=1，PE=2，易得∠APE=60°，

所以平面PDC與圓錐側(cè)面相交得到的曲線為拋物線，即點Q3已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，點P是四邊形A1B1C1D點P的軌跡為一條拋物線

B.直線PA1與直線CD所成角的最大值為π4

C.線段PB長的最小值為3

D.三棱錐解;對于A，過P點作PO垂直于底面ABCD，垂足為O，過O作

OH⊥AD

，垂足為H，連接OB，PH，PB，則

∠PHO=α

，

∠PBO=β

，又

α=β

，∵

OH=OB

，而O為P點在底面的投影，∴

PH=PB

，過P作

PM⊥A1D1

，垂足點為M，連接

PB1

，

則易得

PM=PB1

，∴點P的軌跡是以

B1

為焦點，

A1D1

為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，如圖所示，故A錯誤；

對于B，∵

PA1

與

CD

所成的角即

PA1

與

C1D1

所成的角，

∴當(dāng)

P

與

C1

重合時，

PA1

與

C1D1

所成的角最大為

π4

，故B正確，

對于C，當(dāng)P點在

A1B1

的中點時，PB最短，此時

PB=3

，故C正確；

對于D，∵

VP?AABC1=V考向06空間幾何體中動點的軌跡定量計算問題1對于翻折問題的動點及軌跡問題(1)翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡.(2)翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡.(3)可以利用空間坐標(biāo)運算求軌跡.2對于動點在某條直線或者是線段上移動，一般采用向量表示。1已知正三棱錐，側(cè)棱長為5，底面邊長為8，若空間中的一個動點M滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)O為中點，先由題設(shè)得和，進(jìn)而得點M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，接著設(shè)，再將轉(zhuǎn)化成即可計算求解.【詳解】如圖，O為中點，則由題意且，所以.因為，則即，所以點M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，設(shè)，則，所以.故答案為：.2如圖，在棱長為2的正方體中，M是棱的中點．（1）三棱錐的體積是；（2）點P是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且MP∥平面，則線段MP長度的取值范圍是【答案】【分析】（1）由直接計算求解即可；（2）取的中點為，的中點為，的中點為，證明平面平面，平面，線段掃過的圖形為，通過證明，說明為直角，得線段長度的取值范圍為即可得解．【詳解】（1）；（2）取的中點為，的中點為，的中點為，作圖如下：由圖可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，因為，故平面平面，因為平面，所以平面，線段MP掃過的圖形為，由知，，在中，，即，所以，所以，即為直角，故線段長度的取值范圍為，即，故答案為：；．3在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.(1)求證：平面；(2)求二面角的大??；(3)線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，（3）設(shè)出得點坐標(biāo)，由空間向量列式求解.【詳解】（1）在梯形中，，，，P為的中點，可得為等邊三角形，四邊形為菱形，故，而平面，平面，平面，（2）由（1）得，，，故，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取得，平面的一個法向量為，故，二面角的大小為；（3）設(shè)，則，,,的，，設(shè)平面的一個法向量為CQ與平面所成角的正弦值為，化簡得，解得（舍去）故存在，使得CQ與平面所成角的余弦值為．（建議用時：60分鐘）一、單選題1如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，且，下列說法不正確的是（

）A．B．若E是棱的中點，則平面截該正方體所成的截面是五邊形C．當(dāng)三棱錐體積最大時，的長度為D．當(dāng)三棱錐體積最大時，二面角的正切值是【答案】B【分析】對A，建系由向量法證明；對B，由面面平行的性質(zhì)定理確定截面形狀；對C，由三棱錐的體積和的關(guān)系確定；對D，由三垂線定理得到二面角的平面角計算判斷.【詳解】對于A：以C為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，所以，A正確；對于B：若為棱的中點，則為的中點，所以，因為平面平面，所以平面與平面交線與平面和平面的交線平行，所以平面和平面的交線為，所以平面截該正方體所成的截面是四邊形，B錯誤；對于C：因為，所以當(dāng)三棱錐體積最大時，最大，又由可知最大時此時分別為線段中點，，C正確；對于D：當(dāng)三棱錐體積最大時，分別為線段中點，取中點，連接，則，連接，由三垂線定理可知，所以是二面角的平面角，又，所以二面角的正切值是，D正確；故選：B.2如圖所示，在正方體中，若經(jīng)過的平面分別交和于點，則四邊形的形狀是（

）A．直角梯形 B．菱形 C．平行四邊形 D．等腰梯形【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)四點共面及向量的運算可得，又因為不共線，從而可證明四邊形為平行四邊形.【詳解】設(shè)正方體的棱長為a，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.∵在同一個平面內(nèi)，∴，即，解得.所以，，即，所以且，又因為不共線，所以四邊形是平行四邊形.故選：C.3在長方體中，分別是棱的中點，點滿足，若過點的平面截長方體所得的截面為五邊形，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，以及面面相交的概念，判斷截面為五邊形時的情況，進(jìn)而判斷結(jié)果.【詳解】如圖所示，要使點所在的截面為五邊形，則截面與棱相交，因為是的中點，所以，因為，，所以，所以，在長方體中，，所以，所以，同理可得，即，因為，所以，即，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多選題4如圖所示，正方體的棱長為為棱（包括端點）上的動點，在的運動過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積始終為定值.B．平面截正方體的截面不可能為等腰梯形.C．恒有大于.D．的最小值為.【答案】AD【分析】根據(jù)三棱錐的體積公式、面面垂直等知識逐項判斷即可.【詳解】

因為面面，且交線為，棱與平行，所以點M到面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，而面積也為定值，所以三棱錐的體積始終為定值，故A對；如圖，當(dāng)M點位于棱中點時，平面截正方體的截面為等腰梯形，故B錯；當(dāng)M運動到時，三角形為等邊三角形，故，故C錯；展開圖中，由三邊關(guān)系，當(dāng)三點共線時等號成立，所以最小值為，故D對.故選：AD5如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點，在底面內(nèi)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．當(dāng)時，點的軌跡長度為C．存在唯一，使D．若，則三棱錐外接球的半徑為【答案】BCD【分析】作關(guān)于平面的對稱點，則，根據(jù)長度及勾股定理，即可判斷A的正誤；過點作于，則為在平面上的射影，根據(jù)條件可證，即可得為的中點，分析求解，即可判斷B的正誤；如圖建系，求得各點坐標(biāo)，進(jìn)而可得，坐標(biāo)，根據(jù)，求得P點坐標(biāo)，可判斷C的正誤；因為，，所以三棱錐外接球的直徑為，求出長度，即可判斷D的正誤.【詳解】選項A：作關(guān)于平面的對稱點，則，所以的最小值為，故A項錯誤；選項B：過點作于，則為在平面上的射影，若要，只要即可，因為四邊形為正方形，是棱的中點，且，所以，所以，又，所以，所以，即為的中點，又，所以點的軌跡的中位線，長度為，故B項正確；選項C：以為原點，以，，所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，即為的中點，故C項正確；選項D：因為，，所以三棱錐外接球的直徑為，又，所以外接球的半徑為，故D項正確．故選：BCD6如圖，已知正方體的棱長為2，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），且分別是棱的中點，則（

）

A．平面截該正方體所得的截面圖形是正五邊形B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則點的軌跡長度為【答案】BD【分析】作出過點的截面，判斷截面形狀，可判斷A的真假；根據(jù)線面垂直判定面面垂直，可判斷B的真假；確定點位置，根據(jù)，的取值范圍，判斷C的真假；確定點軌跡，求軌跡長度，判斷D的真假.【詳解】對A：作出過的截面如下圖：

延長和的延長線交于點，延長和交于點，因為為中點，所以為中點，同理為中點.則，即為的中位線，連接，則過點，連接，則四邊形為過點的截面，所以平面截該正方體所得的截面是四邊形，故A錯誤；對B：連接，，如下圖：

因為為正方體，分別為，中點，所以.又，，平面，所以平面.所以平面，又平面，所以平面平面.故B正確；對C：當(dāng)時，（），所以點在線段上，所以，時取等號；，時取等號.所以恒成立，而，所以的最小值為不可能為，故C錯誤；對D：因為，所以，所以點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓周的.所以點軌跡長度為：，故D正確.故選：BD7（多選）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的有（

）A．異面直線與所成的角為45°；B．此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；C．若點為棱上的動點，則的最小值為；D．若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.【答案】BD【分析】利用正八面體的性質(zhì)，找出異面直線與所成的角，即可求得其大小，判斷A；分別求出八面體的外接球與內(nèi)切球的半徑，即可判斷B；將沿折疊至平面中，結(jié)合平面圖形性質(zhì)，即可求得的最小值，判斷C；求出三角形的內(nèi)切圓半徑，確定當(dāng)點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，結(jié)合正八面體的對稱性，即可求得動點的軌跡長度，判斷D.【詳解】對于A：連接，取中點，連接、，由題意可得在正八面體中，、為同一直線，、、、四點共面，又，故四邊形為菱形，故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，結(jié)合正八面體每個面都是正三角形，即得異面直線與所成的角等于，故A錯誤；對于B：由四邊形為正方形，有，即，故四邊形亦為正方形，即得，即點到各頂點距離相等，即此八面體的外接球球心為，半徑為，設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，則有，即化簡得，則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為，故B正確；對于C：將沿折疊至平面中，如圖所示：則在新的平面中，、、三點共線時，有最小值，則，故C錯誤.對于D，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則由等面積法，有，解得，由B可知，點到平面的距離為，而，所以，這表明當(dāng)點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，它的周長是，根據(jù)對稱性可知動點的軌跡長度為，故D正確.故選：BD.三、填空題8已知四面體的頂點都在同一球面上，若該球的表面積為是邊長為3的正三角形，則四面體的體積的最大值為.【答案】【分析】求得球心到平面的距離，可求得到平面的距離的最大值，進(jìn)而可求四面體的體積的最大值.【詳解】設(shè)球心為，因為球的表面積為，所以球的半徑.因為是邊長為3的正三角形，所以的外接圓半徑為，所以到平面的距離，所以到平面的距離的最大值為，所以四面體的體積的最大值為：.故答案為：9如圖，正方體棱長為2，為線段的中點，為正方形的內(nèi)切圓⊙上的動點，則面積的最大值為．【答案】/【分析】令，以為原點建系，設(shè)，利用坐標(biāo)計算在上的投影向量的模長，再勾股定理計算點到直線的距離，最后結(jié)合一元二次函數(shù)求最值.【詳解】令，而O是上底面內(nèi)切圓圓心，故可以為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，又內(nèi)切圓半徑為，則圓，且，因為正方形的內(nèi)切圓圓上的動點，故可設(shè)，則，則在上的投影向量的模長為，則點到直線的距離為，又，則面積為，令，則，對稱軸為，且開口朝下，故當(dāng)時，，則面積的最大值為.故答案為：10已知在棱長為的正四面體中，動點滿足，記所在平面為，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.【答案】【分析】以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題意，求得點的軌跡為一個球面，求得球心到平面的距離，結(jié)合截面圓的性質(zhì)，得到截面圓的半徑為，即可求解.【詳解】以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正四面體的棱長為，設(shè)為的中心，可得平面，且，則，設(shè)，因為，可得，整理得，即點的軌跡為以為球心，半徑為的球面，則球心到平面的距離為，即球心到平面的距離為，又由截面圓的性質(zhì)，可得截面圓的半徑為，所以截面圓的周長為.故答案為：.11在棱長為的正方體中，E是正方形的中心，M為的中點，過的平面α與直線DE垂直，則平面α截正方體的截面面積為．【答案】【分析】記AB的中點為N，連接MC，CN，，先由線面垂直的判定定理證明平面和平面進(jìn)而得到截面，然后由菱形的面積公式可解.【詳解】如圖，在正方體，記AB的中點為N，連接MC，CN，．平面即為平面α，證明如下：由正方體性質(zhì)可知，，則，M，C，N四點共面，記的中點為F，連接DF，易證．連接EF，則，平面，所以平面，又平面，則，同理可證，，，平面，則平面，所以平面即為平面α，且四邊形即為平面α截正方體的截面，因為正方體的棱長為，易知四邊形是邊長為的菱形，其對角線，，所以其面積．故答案為：.12已知在四棱錐中，底面，且，動點E在側(cè)面內(nèi)以點P為圓心，1為半徑的圓弧上，動點F在直線上，則的最小值為．【答案】【分析】先明確動點進(jìn)行軌跡分析，再利用余弦定理進(jìn)行距離轉(zhuǎn)化，利用線面角的性