第=page11頁，共=sectionpages11頁北京市昌平區(qū)新學道臨川學校2025-2026學年高二第一學期期末考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線l經過A(?1,0)，B(0,?1)兩點，則直線l的傾斜角為(

)A.π6 B.π4 C.2π32.設a∈R，若直線l1:ax+2y?8=0與直線l2:x+(a+1)y+5=0平行，則aA.1 B.?2 C.1或?2 D.?3.某籃球運動員投籃的命中率為0.8，現(xiàn)投了7次球，則恰有5次投中的概率為(

)A.0.85×0.22 B.C754.設P是雙曲線y24?x2A.4 B.23 C.25.如圖，在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且OM=12MA，N為BC的中點，則MNA.53a+32b+126.隨機變量X服從正態(tài)分布X～N(2,σ2)，若P2≤X<4=0.3A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.57.若1?3x8=a0+aA.?32 B.32 C.?225 D.2558.下列說法正確的個數(shù)是(????)．①從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為4②若隨機變量X～B10,1③若隨機變量X～N(1,σ2)，④已知隨機變量X的分布列為PX=i=aA.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的有(

)A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a=(2,3,?1)，b=(?2,3,1)，則l1//l2

B.直線l的方向向量a=(1,?1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,?1)，則l⊥α

C.兩個不同的平面α，β的法向量分別是u=(2,2,?1)，v=(?3,4,2)，則α⊥β

D.10.某生物制藥企業(yè)使用兩條生產線生產同一種疫苗.第1條生產線的疫苗效價不達標的概率為6%，第2條生產線的疫苗效價不達標的概率為5%，生產后的疫苗混放在一起.已知第1、2條生產線生產的疫苗數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%.記“任取一份疫苗是由第i條生產線生產(i=1,2)”為事件Ai，“任取一份疫苗效價不達標”為事件B，則(

)A.P(B)=0.054 B.P(A2B)=0.03 C.P(B|11.設F是拋物線C：y2=4x的焦點，直線l過點F且與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，則下列結論正確的是(

)A.|AB|≥4

B.|OA|+|OB|>8

C.若點P(4,1)，則|PA|+|AF|的最小值是5

D.若AB傾斜角為π3，且|AF|>|BF|，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.根據(jù)下表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程y=2.2x?a，則a=x1234y145813.若有5個人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有

種.(用數(shù)字作答)14.已知雙曲線C:y29?x2=1，則雙曲線C的漸近線方程為

；F1,F2是雙曲線C的焦點，點四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知直線l：x?y+1=0和圓C：x?12(1)判斷直線l與圓C的位置關系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長；(2)求過點4,7且與圓C相切的直線方程．16.(本小題15分)

甲、乙兩所學校高三年級學生分別有1000人和800人，為了解兩所學校全體高三年級學生在該地區(qū)八校聯(lián)考的數(shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了72名學生的數(shù)學成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：甲校分組[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)3148103x乙校分組[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)210y221(1)計算x，y的值；

(2)若規(guī)定考試成績在[130,150]內為尖子，現(xiàn)從兩校的尖子生中隨機抽取4人，求恰有1人來自乙校的概率；

(3)若規(guī)定考試成績在[120,150]內為優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩所學校的數(shù)學成績有差異．甲校乙校總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(0.10.050.01χ2.7063.8416.63517.(本小題15分)在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學”活動，此活動為學生提供了多種網絡課程資源以供選擇使用.活動開展一個月后，某學校隨機抽取了高三年級的甲、乙兩個班級進行網絡問卷調查，統(tǒng)計學生每天的學習時間.這兩個班級各有40名學生，均提供了有效的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知該校高三年級共有600名學生，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)知，甲班每天學習時間不超過4小時的學生頻率為0.05，乙班每天學習時間不超過4小時的學生頻率為0.1，求甲、乙兩班每天學習時間不超過4小時的學生各多少人？(2)從甲、乙兩個班級每天學習時間不超過4小時的學生中隨機抽取3人，記從乙班抽到的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)記甲、乙兩個班級學生每天學習時間的方差分別為D1，D2，試比較D1，D218.(本小題17分)如圖，ABCD是邊長為4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3．(1)證明：BF//平面DEC；(2)求直線BC與平面BEF所成角的正弦值．(3)線段AC上是否存在一點P，使得點P到平面BEF的距離為52121？若存在，求線段19.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2(1)求C的方程；(2)若直線l:y=kx+m與C相交于不同于A的P，Q兩點，PQ的中點為M，當∠PMA=2∠PQA時，①求證：∠PAQ為直角．②求m的值．

參考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.CD

10.ABC

11.ACD

12.1

13.24

14.y=±3x

15.解：(1)由題意得圓C的圓心C(1,?2)，半徑r=3，則圓心到直線l的距離d=1?(?2)+1所截得的弦長為2故直線與圓相交，所截得的弦長為2．(2)因為圓心C(1,?2)到(4,7)的距離為(4?1所以點(4,7)在圓外，此時有兩條切線，①當直線斜率存在時，由題意設直線y?7=k(x?4)，即kx?y+7?4k=0，由直線kx?y+7?4k=0與圓相切得圓心C(1,?2)到直線的距離等于半徑，即d=k?1?(?2)+7?4kk此時切線方程為4x?3y+5=0；②當直線斜率不存在時，直線為x=4，易得圓心C(1,?2)到x=4的距離為3，故x=4也滿足條件，此時切線方程為x=4，綜上，過點4,7且與圓C相切的直線方程為4x?3y+5=0或x=4．

16.解：(1)根據(jù)題意知，甲校應抽取72×10001800=40(人)，

乙校應抽取72×8001800=32(人)，

所以x=2，y=15；

(2)由表中數(shù)據(jù)知，甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，

恰有1人來自乙校的概率為P=C甲校乙?？傆媰?yōu)秀15520非優(yōu)秀252752總計403272由表中數(shù)據(jù)，計算χ2=72×(15×27?5×25)240×32×20×5217.解：(1)甲班每天學習時間不超過4小時的學生人數(shù)為40×0.05=2人，乙班每天學習時間不超過4小時的學生人數(shù)為40×0.1=4人.(2)兩個班級每天學習時間不超過4小時的學生人數(shù)共有6人，記從乙班抽到的學生人數(shù)為X，易得隨機變量X符合超幾何分布，X的取值為1,2,3則有PX=k則PX=1=C41則分布列為：X123P0.20.60.2則E(X)=1×0.2+2×0.6+3×0.2=2，即X的數(shù)學期望為2．(3)根據(jù)頻率分布直方圖，可以觀察到甲班每天學習時間較為集中，乙班學習時間較為分散，故可得乙班數(shù)據(jù)波動較大，方差較大，則有D1

18.解：(1)在DE上取點P，使DP=AF=1，連接FP，PC，如下圖：因為AF//DE，即AF//DP，且AF=DP，故四邊形AFPD是平行四邊形，則有FP//AD且FP=AD，因為ABCD是正方形，則有BC//AD且BC=AD，故FP//BC且FP=BC，即四邊形FPCB是平行四邊形，則有BF//PC，因為BF?平面DEC，PC?平面DEC，故BF//平面DEC．(2)由題意可設D為原點，DA,DC,則D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,3),F(4,0,1)，BE=(?4,?4,3),設平面BEF的法向量m=(x,y,z)，則有令y=1，則x=2,z=4，即m=(2,1,4)，直線BC的方向向量為v設直線BC與平面BEF的夾角為θ，則有sin?θ=故直線BC與平面BEF所成角的正弦值為2(3)已知B(4,4,0)，平面BEF的法向量m=(2,1,4)，且|設P是線段AC上一點，由A(4,0,0),C(0,4,0)可設P(t,4?t,0),t∈[0,4]，則BP=(t?4,?t,0)點P到平面BEF的距離d=|令d=52121，解得t=13>4(舍)或則AP=(3?4)2

19.解：(1)由題意知，

2c=2

，

c=1

，又橢圓經過點

A0,3

，所以

3