廣東汕尾市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.2.半徑為1圓中，的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是（）A. B. C.60 D.303.的值是（）A. B. C. D.4.下列各選項(xiàng)中，是必要不充分條件的是（）A. B.C. D.：四邊形是長(zhǎng)方形，：四邊形對(duì)角線互相垂直且平分5.向一個(gè)下底面積小于上底面積的圓臺(tái)形容器勻速注水（容器原本無水，注水速率恒定），設(shè)注水時(shí)間為，容器內(nèi)水面高度為，則以下函數(shù)中，最能近似反映與這一變化現(xiàn)象的是（）A. B. C. D.6.已知連續(xù)的奇函數(shù)的定義域?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，且，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.7.關(guān)于的方程有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.，且8.已知方程和的根分別是，則的值是（）A.2 B.4 C.12 D.6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，是真命題的是（）A.必有算術(shù)平方根 B.是無理數(shù)C.為奇數(shù) D.是無理數(shù)10.（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖诔?shù)使得函數(shù)為奇函數(shù)，則稱的圖象關(guān)于中心對(duì)稱．下列說法正確的是（）A.若，則圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則C.若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則D.若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對(duì)稱，則是周期函數(shù)11.（多選）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的根，它們從小到大依次為，則（）A. B.C. D.有7個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的取值范圍為___________．13.已知在[3,15]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．14.已知函數(shù)和（其中且）．若函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1，則實(shí)數(shù)的值為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值16.已知集合，其中．（1）求集合及；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的值．17.“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”在廣東持續(xù)深入推進(jìn)，汕尾某駐村幫扶隊(duì)結(jié)合當(dāng)?shù)亍昂ＸS油粘米”特色產(chǎn)業(yè)，推出“禮盒裝油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通過電商助銷拓展銷路．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研：該禮盒的種植、加工及包裝成本為24元／盒，每萬盒的銷售收入（單位：萬元）與銷售量（單位：萬盒）的關(guān)系為：（1）利潤(rùn)（單位：萬元）＝銷售收入-總成本，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售量為多少萬盒時(shí)，幫扶村落能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少萬元？18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)定義域內(nèi)的所有均有成立，．（1）求的值；（2）規(guī)定：對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在一個(gè)非零整數(shù)，使得對(duì)任意的，都有且，那么稱是周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期．根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想的一個(gè)周期，并加以證明；（3）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若的定義域?yàn)槿w整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.在函數(shù)性質(zhì)中，我們定義兩種函數(shù)變換：對(duì)于函數(shù)，定義其偶性分量，奇性分量為．設(shè)函數(shù)，其中．（1）求的偶性分量和奇性分量；（2）若的最小值為2，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，且，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．廣東汕尾市2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．3．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解.【詳解】集合，集合，則或,所以故選：D2.半徑為1的圓中，的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是（）A. B. C.60 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，由弧長(zhǎng)公式可得弧長(zhǎng)為.故選：B3.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：A4.下列各選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是（）A. B.C. D.：四邊形是長(zhǎng)方形，：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分【答案】A【解析】【分析】由必要不充分條件的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以或，即由不能推出，但由能推出，所以是的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B，由等式的性質(zhì)可知由能推出，由能推出，不滿足是的必要不充分條件，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，則，或，即由能推出，但由不能推出，不滿足是的必要不充分條件，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)角線互相平分，但不一定垂直，對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，而菱形不一定是長(zhǎng)方形，即由不能推出，由不能推出，不滿足是的必要不充分條件，故D不正確.故選：A.5.向一個(gè)下底面積小于上底面積的圓臺(tái)形容器勻速注水（容器原本無水，注水速率恒定），設(shè)注水時(shí)間為，容器內(nèi)水面高度為，則以下函數(shù)中，最能近似反映與這一變化現(xiàn)象的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析注水過程中水面高度與注水時(shí)間的關(guān)系，再分析各函數(shù)的圖像特征，逐一判斷即可.【詳解】圓臺(tái)形容器下底面面積小于上底面面積，當(dāng)勻速注入水時(shí)隨著注水時(shí)間的增加，水面高度的增長(zhǎng)速度會(huì)逐漸變慢，對(duì)于A，，指數(shù)函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來越快，呈爆炸式增長(zhǎng)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度越來越快，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，冪函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來越慢，且始終遞增，故C正確；對(duì)于D，對(duì)數(shù)函數(shù)，雖然增長(zhǎng)速度越來越慢，但其定義域?yàn)?，不滿足初始時(shí)刻時(shí)水面高度的實(shí)際情況，故D錯(cuò).故選：C6.已知連續(xù)的奇函數(shù)的定義域?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，且，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，結(jié)合單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】連續(xù)的奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所?,所以;故選：B7.關(guān)于的方程有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.，且【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合分析即可求解.【詳解】若關(guān)于的方程有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像如下：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，要使函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得：且，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，要使函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得：且，當(dāng)時(shí)，無意義，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，且；故選：D8.已知方程和的根分別是，則的值是（）A.2 B.4 C.12 D.6【答案】D【解析】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，再根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可以得到兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)和的根分別為，即和分別與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；又因?yàn)榕c互為反函數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱；又圖像也關(guān)于對(duì)稱，則和與的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，即兩交點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱（兩交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)交叉相等），故，，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，是真命題的是（）A.必有算術(shù)平方根 B.是無理數(shù)C.為奇數(shù) D.是無理數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根定義、命題的真假判斷AD；舉例判斷BD；【詳解】對(duì)于A，必有算術(shù)平方根為，命題真命題，A正確；對(duì)于B，取，是有理數(shù)，命題是假命題，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋沂沁B續(xù)整數(shù)且其中必有一個(gè)是偶數(shù)，所以一定是偶數(shù)，不可能是奇數(shù)，命題是假命題，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取是無理數(shù)，是無理數(shù)，故該命題是真命題，D正確；故選：AD.10.（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)使得函數(shù)為奇函數(shù)，則稱的圖象關(guān)于中心對(duì)稱．下列說法正確的是（）A.若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則C.若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則D.若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對(duì)稱，則是周期函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，令，利用中心對(duì)稱的定義判斷；對(duì)于BC，由定義可知是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷；對(duì)于D，利用奇函數(shù)和周期性的概念判斷.【詳解】對(duì)于A，令，易知奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，A說法正確；對(duì)于B，若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由定義可知是奇函數(shù)，所以，即，所以，B說法正確；對(duì)于C，若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由定義可知是奇函數(shù)，所以，即，整理得，所以，C說法錯(cuò)誤；對(duì)于D，若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是奇函數(shù)，①，若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則是奇函數(shù)，，由可得，即②，①②聯(lián)立得，所以是周期為2的周期函數(shù)，D說法正確；故選：ABD11.（多選）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的根，它們從小到大依次為，則（）A. B.C. D.有7個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】方程有4個(gè)不同的根，即的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的大致圖象判斷A，根據(jù)圖像通過求解判斷B，根據(jù)圖象得到，，進(jìn)一步計(jì)算求解判斷C，令，求出的根，代入，再根據(jù)圖象可求得零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的大致圖象如圖所示，對(duì)于A，方程有4個(gè)不同的根，即的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知，A說法正確；對(duì)于B，由圖象可知，即，解得，B說法正確；對(duì)于C，由題意可得，，所以，，所以，，C說法正確；對(duì)于D，函數(shù)，令，則，即，令可得或，令可得或，所以對(duì)于可得，，，，當(dāng)時(shí)，由圖可得有0個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得有3個(gè)根，綜合可得函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn)，D說法錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】由于，則，所以,即,則的取值范圍為;故答案為：13.已知在[3,15]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】由題意可得，或，得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：14.已知函數(shù)和（其中且）．若函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1，則實(shí)數(shù)的值為___________．【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)，可得是其中一個(gè)交點(diǎn)，則另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用求出的值即可.【詳解】由可知由反比例函數(shù)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，由可知由指數(shù)函數(shù)向下平移2個(gè)單位得到，結(jié)合函數(shù)圖象易知，即對(duì)于任意且，是函數(shù)和的圖象的其中一個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)檫@兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1，所以另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即，解得，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式將題干化簡(jiǎn)，即可求得（2）對(duì)所求的式子兩邊同時(shí)除以，再將（1）得到得結(jié)果代入即可.【小問1詳解】由誘導(dǎo)公式，，以及，所以，即.【小問2詳解】將分子分母同時(shí)除以，（因?yàn)椋駝t無意義），所以，又由（1）知代入上式得，故.16.已知集合，其中．（1）求集合及；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1），或．（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合一元二次不等式求出集合，利用補(bǔ)集的定義即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，分和兩種情況討論即可求解；（3）首先得到，由，得求解即可.【小問1詳解】由，得，解得，故，故或．【小問2詳解】由，得，若，即，解得，若，即時(shí)，解得，此時(shí)，解得，聯(lián)立可得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問3詳解】由，得，即，，得，即，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，符合題意，故．17.“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”在廣東持續(xù)深入推進(jìn)，汕尾某駐村幫扶隊(duì)結(jié)合當(dāng)?shù)亍昂ＸS油粘米”特色產(chǎn)業(yè)，推出“禮盒裝油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通過電商助銷拓展銷路．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研：該禮盒的種植、加工及包裝成本為24元／盒，每萬盒的銷售收入（單位：萬元）與銷售量（單位：萬盒）的關(guān)系為：（1）利潤(rùn)（單位：萬元）＝銷售收入-總成本，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售量為多少萬盒時(shí)，幫扶村落能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少萬元？【答案】（1）（2）15萬盒，170萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤(rùn)=銷售收入－成本，分和，兩種情況討論，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過比較大小，即可求解．【小問1詳解】總成本=每盒成本×銷售量，即24x萬元．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此利潤(rùn)函數(shù)為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，可知該二次函數(shù)圖象為開口向下拋物線，其對(duì)稱軸為直線，由于區(qū)間在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增，故在的最大值為（萬元）；當(dāng)時(shí)，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即（負(fù)值舍去）時(shí)等號(hào)成立，即最大值為170萬元．比較兩段的最大值：，故當(dāng)銷售量為15萬盒時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為170萬元．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)定義域內(nèi)的所有均有成立，．（1）求的值；（2）規(guī)定：對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在一個(gè)非零整數(shù)，使得對(duì)任意的，都有且，那么稱是周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期．根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想的一個(gè)周期，并加以證明；（3）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若的定義域?yàn)槿w整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）4是函數(shù)的一個(gè)周期，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系及依次代入求解即可；（2）觀察（1）中結(jié)果猜想函數(shù)是周期函數(shù)，且是的一個(gè)周期，利用周期函數(shù)的定義及遞推關(guān)系