試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)柳州市2026屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．樣本數(shù)據(jù)10，12，15，16，22，26，27，34的第分位數(shù)是（

）A．26 B．25 C．24 D．223．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．4．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．某商場(chǎng)要在大廳頂懸掛一個(gè)棱長(zhǎng)為2米的正方體物件作為裝飾，如圖，，，，為該正方體的頂點(diǎn)，，，為三根直繩索，且均垂直于屋頂所在平面.若平面與平面平行，且直繩索的長(zhǎng)度為米，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則（

）.A．該圓錐的側(cè)面積為 B．該圓錐的體積為C． D．的面積為811．已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的兩條漸近線，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足依次為，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為.13．為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類(lèi)都被抽到的概率為；14．若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，記的極小值為，證明：.17．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的中點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)斜率不為0的動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)，直線AD，BC交于點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，證明為定值；（ii）以為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)是否為定值?如果是定值，請(qǐng)求出定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．某中學(xué)手工社團(tuán)每周開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，制作并展示手工藝品，社團(tuán)每周需要準(zhǔn)備一定數(shù)量的手工材料包（如陶土、布料等）.根據(jù)過(guò)往活動(dòng)記錄，發(fā)現(xiàn)參與活動(dòng)的學(xué)生對(duì)手工材料包的需求量相對(duì)穩(wěn)定，每周對(duì)手工材料包的不同需求量（單位：份）及對(duì)應(yīng)概率如下表：需求量（份）0123概率若以手工材料包的庫(kù)存作為供給量，為了減少資源浪費(fèi)，每周末社團(tuán)會(huì)清點(diǎn)材料庫(kù)存：若手工材料包全部被領(lǐng)用，則在周末及時(shí)采購(gòu)2份新材料包，只要手工材料包還有1個(gè)存貨，就不采購(gòu)新的材料包.記為第周開(kāi)始時(shí)社團(tuán)的材料包供給量，假設(shè).(1)求的分布列；(2)記為第周開(kāi)始時(shí)供給量的概率向量，隨著的增大，若，則趨向一個(gè)定常態(tài)分布，記這個(gè)定常態(tài)分布為.（i）求該材料包的定常態(tài)分布；（ii）從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，求該材料包需求量大于供給量的概率.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而利用幾何意義確定象限即可.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.2．D【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計(jì)算求解.【詳解】從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)10，12，15，16，22，26，27，34，共8個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的第分位數(shù)是第五個(gè)數(shù)據(jù)值.故選：D.3．B【分析】由得到，再利用交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】由，得到，所以，所以.故選：B.4．C【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程的定義可得.【詳解】因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C5．C【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合比較法逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，所以不正確；B：，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此不正確；C：因?yàn)?，，所以有，正確；D：因?yàn)?，，所以有，即，所以不正確.故選：C6．B【分析】根據(jù)給定條件，可得在處取得最大值，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，得在處取得最大值，則，解得，所以的最小值是.故選：B7．B【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，顯然，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知的零點(diǎn)位于.故選：B8．D【分析】利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，可求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，由正方體可得，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為，又因?yàn)槠矫媾c平面平行，直繩索的長(zhǎng)度為米，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D9．BC【分析】根據(jù)兩角和差公式計(jì)算求解判斷A，B，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系判斷C，應(yīng)用二倍角正弦公式計(jì)算判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，已知，，則，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，所以，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤；故選：BC.10．BCD【分析】根據(jù)二面角的定義與圓錐的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，則，平面，平面，由二面角定義可知，，又，所以，在中，，所以，，所以，，C正確；所以，D正確，，A錯(cuò)誤；，故B正確.故選：BCD.11．ABD【分析】對(duì)于A，設(shè)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出距離再比較；對(duì)于B，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；對(duì)于C，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算兩個(gè)面積即可；對(duì)于D，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算.【詳解】設(shè)，且，又，，則，則，故B正確；直線，直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，則，又，所以，故A正確；直線，直線，聯(lián)立，得，則，聯(lián)立，得，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，故，故C錯(cuò)誤；，等號(hào)成立時(shí)，故，故D正確.故選：ABD12．【分析】根據(jù)方向向量計(jì)算出直線的斜率，再由可求傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，則，所以.故答案為：13．【分析】由題意，利用古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．【詳解】解：從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類(lèi)都被抽到的方法共有種，而所有的抽取方法共有種，故每一類(lèi)都被抽到的概率為＝＝，故答案為：．14．5【分析】該函數(shù)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)零點(diǎn)與正弦型函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，再對(duì)、、分類(lèi)討論，即可得取其取值范圍.【詳解】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以m的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，故在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)椋缘娜≈狄来螢?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故答案是：5．15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)結(jié)合等差數(shù)列的基本量計(jì)算解出，，進(jìn)而求解即可；（2）先得到，然后利用分組求和求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意可得，解得，，則.（2）由（1）可知，則，故.16．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）對(duì)的取值分類(lèi)討論，根據(jù)的單調(diào)性可求得，分析法證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以的定義域?yàn)?，，，所以，即在點(diǎn)處的切線斜率為.由點(diǎn)斜式可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由知的定義域?yàn)?，?①當(dāng)時(shí)，恒成立，是增函數(shù)，沒(méi)有極小值，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，若，則，所以在上單調(diào)遞減；若，則，所以在上單調(diào)遞增，所以有極小值，且極小值為，所以.要證，即，只需證.令，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，也是最小值，所以，即，即.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理證明，再由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，從而；根據(jù)題目條件解得，由勾股定理；利用線面垂直的判定定理得證平面，所以.（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用公式求出直線與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）連接，，，，，由余弦定理可得.滿足，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，由，平面，得平面.由平面，得，.因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.設(shè)，，有，解得：，即.所以，滿足，即.又因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）是定值，【分析】（1）根據(jù)為的中點(diǎn)可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知，根據(jù)離心率可求得，進(jìn)而可得橢圓方程.（2）（i）設(shè)出直線的方程及，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得為定值；（ii）求出的橫坐標(biāo)，從而可根據(jù)縱坐標(biāo)得到圓的方程，進(jìn)而可得所求弦長(zhǎng)的表達(dá)式，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，且為的中點(diǎn)，所以，即.又離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）（i）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，由消去得.所以，.因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，所以.，將，代入得，即為定值.（ii）是定值.因?yàn)?，由兩點(diǎn)式可得直線的方程為；因?yàn)?，，由兩點(diǎn)式可得直線的方程為.因?yàn)橹本€，交于點(diǎn)，所以，將代入得，整理得.由得，所以.同理，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可解得，因此，所以直線垂直于軸，以為直徑的圓的圓心為，半徑，所以圓的方程為，令，可得.將代入直線的方程得，同理得.則.將代入得，所以，解得，故弦長(zhǎng)為，是定值，即以為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)是定值，為.19．(1)分布列見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）先分情況討論的取值，再根據(jù)的取值進(jìn)一步討論的取值，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的概率得到分布列.（2）（i）設(shè)，先由轉(zhuǎn)移關(guān)系得到方程組；進(jìn)而求出的值；（ii）分兩種情況討論求解，最后相加即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)?shù)谝恢苄枨罅繛?時(shí)，，此情況概率為；當(dāng)?shù)谝恢苄枨罅繛?時(shí)，，此情況概率為；當(dāng)?shù)谝恢苄枨罅繛?時(shí)，，此情況概率為；當(dāng)?shù)谝恢苄枨罅繛?時(shí)，因?yàn)楣┙o量只有2份，全部領(lǐng)完，，此情況概率為；所以.當(dāng)時(shí)，若第二周需求量為0，則，